数理统计课件：三大分布和分位数

三大分布和分位数记做

ξ

所服从的分布称为自由度为

n

的χ2分布.其中

n为独立随机变量的个数.1定义2.2.1(χ

2分布)：设X1，X2，…，Xn

独立同分布，

且都服从标准正态分布N(0,1)，令则称随机变量ξ

是自由度为n的χ2变量.2.2.1

χ

2分布来定义.其中伽玛函数通过积分设随机变量，则ξ

的密度函数为2定理2.2.1(χ

2分布的密度函数)

的联合密度函数为的分布函数为当x>0时，证明：作球坐标变换

令令当x>0时，当x≤0时，因此，ξ

的密度函数为特别，当n=2时，其密度函数为是数学期望为2的指数分布.下图画出了n=1,4,10,20几种不同自由度的χ2分布的密度函数的图形.说明1.χ2(n)的密度函数的支撑集(使密度函数为正的自变量的集合)是(0,+∞)；

2.当自由度n

越大，χ2(n)的密度函数的曲线越趋于对称，且

根据中心极限定理趋于正态分布；3.当自由度n

越小，χ2(n)的密度函数的曲线越不对称.性质1:

设

，则

3χ2分布的性质E(ξ)=n,D(ξ)=2n.(2)ξ

的数学期望和方差分别为(1)ξ

的特征函数为证明：(1)由特征函数定义，得其中

X1，X2，…，Xn独立同分布，且X1~N(0,1)，则(2)法一：定义法法二：特征函数法由于因此χ2分布的可加性(再生性)证明：由χ2分布的定义知：其中，Ui~N(0,1),i=1,2,…,n1，且相互独立Vj~N(0,1)

,

j=1,2

,…,n2，且相互独立又由于X1,X2相互独立，得Ui

与Vj独立同分布，均服从N(0,1)因此性质2(可加性)：设且X1与X2相互独立，则法一：定义法法二：特征函数法由性质1，得X1，X2的特征函数分别为因为，X1,X2相互独立，因此，X1＋X2的特征函数是由特征函数和分布函数相互唯一确定，得X1＋X2也服从卡方分布，自由度为n1+n2推广例2.2.1设总体X~N(0,1),X1,X2,…,X6为来自总体X的样本,记X1+X2

+X3~N(0,3),X4+X5

+X6~N(0,3)

由于X1,X2,…,X6独立同分布，且都服从N(0,1)，因此因此c=1/3.解：试确定常数c，使cY

服从χ2分布.相互独立其中α>0为形状参数,λ>0为尺度参数，则称X服从参数为(α,λ)的伽玛(Gamma)分布，记作X~

Ga(α,λ).伽玛(Gamma)分布Ga(α

,λ)如果

X的密度函数是是数学期望为1/λ的指数分布.1.当α=1时，Ga(1,λ)

的密度函数为说明2.如果α=n/2，λ=1/2，其中n为自然数，则有是自由度n的χ2分布.记做T～t(n).其分布称为自由度为n的t分布.t分布又称学生氏(student)分布.为自由度为n的t变量.2.2.2

t分布1定义2.2.2(t分布)设随机变量X～N(0,1),Y～χ2(n)，且X与Y相互独立，则称随机变量(X,Y)的联合密度函数为2定理2.2.2设随机变量T~t

(n)，则T的密度函数为证明：则令该变换的雅可比行列式为因此，(T,U)的联合密度函数为T的密度函数为：下图画出了n=2,5两种不同自由度的t分布的密度函数的图形.3t分布的性质性质1：

t分布的密度函数关于y轴对称，且性质2：

t分布的密度函数曲线形状是中间高，两边低，左右对称，与标准正态分布的密度函数图像类似，且

t(2)与N(0,1)的密度函数曲线的对比对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.

t

分布与标准正态分布的一个重要区别是:在尾部t分布比标准正态分布有更大的概率.

t(20)与N(0,1)的密度函数曲线的对比当n充分大时，t

分布近似N(0,1)分布.特别地设T~t(n)

数学期望为:当n>1时，

E(T)=0方差为:当n>2时

，D(T)=n/(n-2)性质3：证明：因此性质4：当n=1时，其密度函数为此时，t分布就是柯西分布，其数学期望不存在.例2.2.2设总体X与总体Y相互独立，且X~N(0,16),Y~N(0,9),X1,X2,…,X9

与

Y1,Y2,…,Y16

分别是来自总体X与总体

Y的样本，

求统计量所服从的分布.解：X1+X2

+…+X9~N(0,144)

且上述两个随机变量相互独立，因此且上述两个随机变量相互独立，因此根据t分布的定义得到其所服从的分布称为F分布，记做为自由度为m和n的F变量.2.2.3

F分布1定义2.2.3(F分布)设随机变量，且X与Y相互独立，则称随机变量其中m称为第一自由度，n称为第二自由度.2定理2.2.3设随机变量F~F(m,n)

，则F的密度函数为证明：(X,Y)的联合密度函数为令则该变换的雅可比行列式为于是(U,V)的联合密度函数为U的密度函数为因此F的密度函数为下图画出了几种不同自由度的F

分布的密度函数的图形.思考：峰值与多少接近，为什么？证明：根据F分布的定义设且X与Y相互独立，则随机变量性质1：因此3F分布的性质设随机变量F~F(m,n)，则1/F~F(n,m).因为

T~t(n)

因此存在X~N(0,1),Y~χ2(n)，且X与Y相互独立，使得

性质2：证明：由于X2~χ2(1)，且X2与Y相互独立，使得

特别地性质3：设

X~F(m,n),则对r>0，有

练习：随机变量X和Y都服从标准正态分布,则(1)X+Y服从正态分布(2)X2+Y2服从

2分布(3)X2和Y2都服从

2分布(4)X2/Y2服从F分布

三大分布的定义(构造性)及其性质1

χ2分布，t分布，F分布奠定了后续正态分布统计推断的基础2三大分布小结2.2.4分位数定义2.2.4(分位数)设随机变量X的分布函数为F(x),对于实数

，0<

<1，若x

满足P{X>x

}=

，则称x

为X的概率分布的上

分位数(或分位点)，简称

分位数.若X的密度函数为f(x)，则xα满足

x

上分位数x

是

的单调递减函数.一标准正态分布

设随机变量X~N(0,1)，给定实数

(0<

<1),若u

满足P{X>u

}=

，则称

u

为标准正态分布N(0,1)的上

分位数(分位点).Φ(u

)=P{X≤u

}=1−P{X>u

}=1−

u

1−

性质1：Φ(u

)=1−

证明：性质2：u1−

=

−u

得−X~N(0,1)

P{X>−u

}=P{−X<u

}=1−P{−X≥u

}

=1−

P{X>u1−

}=1−

因此

u1−

=

−u

u

u1−

常用数字u0.05=

1.645u0.025=1.96证明：由

X~N(0,1)

-u

例2.2.3设随机变量X~N(0,1)，求常数c,使其满足P{|X|>c}=.解：由X~N(0,1)

c

=u

/2得

α=

P{|X|>c}=

P{X>c}+P{X<−c}=2P{X>c}因此P{X>c}=

/2即P{|X|>u

/2}=

，

P{|X|≤u

/2}=

1-

u

/2/2-u

/2/2区间估计假设检验二t分布设随机变量X~t(n)，给定实数

(0<

<1)

，若t

(n)满足P{X>t

(n)}=

，则称t

(n)为自由度为n的t分布的上

分位数(分位点).性质2：当n较大(n>45)时,t

(n)≈u

性质1：t1−

(n)=−t

(n)t

(n)

t1−

(n)

例2.2.4求

t0.025(200).解：根据u0.025=1.96

及

t

(n)≈u

得到

t0.025(200)≈u0.025=1.96

.t

/2

(n)

/2

/2-t

/2

(n)f(x)例2.2.5设随机变量X~t(n)，求常数c,使其满足P{|X|>c}=.解：由X~t(n)

得

α=

P{|X|>c}=

P{X>c}+P{X<−c}=2P{X>c}因此P{X>c}=

/2即P{|X|>t

/2(n)}=

，

P{|X|≤t

/2(n)}=

1-

区间估计假设检验三

2分布：设随机变量X~

χ2(n)

，给定实数

(0<

<1)，若χ2α(n)满足P{X>χ2α(n)}=

，则