期管理数量方法与分析第二章

第二部分数量方 管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二章概率与概率分布管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 4 PART

随机事件与概uuuu管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率相关概①必然出现的现象，称为确定性现象。另一类则是事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。②样本点为基本事件。把所有实验结果组成的集合称为样本空间，用Ω不可能事件，用ϕ表示。管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率1（选择事件的关系与运①事件的包含与相等若事件A生必然导致事B生，则称B含事A，或称事A含于事件即事件A事B子集若事件A含事B，事件B包含事A，则称事件AB等管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率1（选择（2）事件的关系与运②事件的并（也称事件的和）若事AB至少有一个发生，则记A∪B（A+B）,并且称为事AB并（和）管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率1（选择（2）事件的关系与运③事件的交（也称事件的积）若事件A事B同时发生，则记A∩B（AB）,并且称为事件A事B交（积）管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率1（选择（2）事件的关系与运件的A生而事B发生，则记A-B，并且称为A事件B差管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率1（选择（2）事件的关系与运⑤互不相容事件（也称互斥事件）是互不相容事件，或称AB互斥事件管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率1（选择（2）事件的关系与运立事件若事A事件A满足：AAAA，则称立事件

是A的对立事件，或者称A是A的管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率随机事件（选择（2）事件的关系与运备事件组 A1,A2,,An是有限或可数个事件，若其满足AiAj i i,j1,2,,A1A2An则称由A1A2,An所组成的事件组为一个完备事件组管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率概率的定随机事件A发生的可能性大小的度量（值），称为A生的概率，记作P(A)。一个事件A发生的可能性的大小——概率.管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率概率的性a.0PAb.P 若A与B互不相容（也称互斥），则有 PABPAPB A对立事件，则有 PA1AB任意两事件，则有：PABPAPBPAB此式称为概率的加法公式管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率古典概率（选择若一个随机试验的样本空间是由有限个样本点构成，且每个样本点在试验中是等可能那么，事件APAm

管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率3（选择例一个袋子中有3白球，2黑球，现从袋中任取2球，求取2球都是白球的概率。解：设A=｛取得2只球都是白球｝C则从5球中2，共C

种取法，即样本空间中的全部样本点

nC25555

mC23P3

2C CC

3215

6 2管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率4.条件概率与事件的独立性（选择条件概率的定义率记P(B|AA，B两个事件，且P(A)>0，则称PB|APAB为在事件A生的条件下，事件发生的条件概率 PA②采用缩减样本空间方法，即根据事件已发生的信息缩减样本空间，再在此基础上计算B的率乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率4.条件概率与事件的独立性（选择全概率公式与贝随机试验的样本空B1B2,任一A

是一个完备事件组， PBi0i1,2,,nn上式称为全概率公式管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率（3）全概率公式与贝随机试验的样本空间为B1B2,则

是一个完备事件组，A是任一事件，且

PBiPA|Binj上式称为逆概率公式，或称为贝叶斯公式管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率4.条件概率与事件的独立性（选择（3）全概率公式与贝全概率公综合分析一个事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性→该事件发生的贝叶斯公一个事件已发生→该事件发生是由其、情况或途径等中的哪一个引起管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率4.条件概率与事件的独立性（选择全概率公式与贝先验概率和后验概在全概率公式和贝叶斯公式中的B1,B2,n致事件A发生的 性。PBii1,2,,n 发生的概率，称为先验概率，一般由实际经验给出。贝叶斯式中的PBi|A称为后验概率，它反映了A生后

（i=1,2,…,n）造成的可管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第一节随机事件与概率条件概率与事件的独立性（选择事件的独立若事AB足P(ABP(A)P(B)A、B是相互独立的。n=2，事两两独立与相互独立是同一概念推广：对于n个事件A1,A2,…,An，若所有可能的组 1ijkn，则称事件A1,A2,…,An相互独立管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 量及其分 PART

u 量的概 u 连续型 量的概率分布：均匀分布、正分布、指数分管理数量方法与分析第二次

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第二节 量及其分 量的概念（简答引入 量的原在生产生活中，仅仅讨论随机事件的概率显然是不够的，为了更好地揭随机现象的规律性并利用数学分析的方法来描述。这就需要把随机试验的结果数量化，即要用某一变量的不同取值果随 因。 量的定设随机试验E的样本空间为Ω=｛e｝，若对于每一个e∈Ω，都对应唯一实数X(e)，则称变量X(e)为随 量，记作X.以后用字母X，Y，…表示随 管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量的特点①随机性。在试验前只知道它可能取值的范围，而预先不能确定具体取哪个②统计规律性。由于它的取值依赖于试验结果，而试验结果的出现是有一定概率的，因此随 量的分①根据取值的不同特点：离散型和连②根据研究的变量个数多少：一维 量 管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量的概率分布（选择 量的分布。由于随机变量的取值特点不同，因而描述概率分布的方管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择（1）离散型 量的概率分①若随 量X所有可能取的值为xk（k=1，2，…），X取各个可能值的概率，即事件Xxk的概率为 PXxP,k 离散型 量X的概率分布或分布律。分布律用表格的形式表示X………… P满足的两个条件：①P Pk k管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择（1）离散型 量的概率分②几种常用的离散型 量的概率分布a.两点分布 b.超几何分 c.二项分

应用条件：若互相独立的重复试验只有“成功”和“失败”两种结果，这种试验称为贝努利试验这类试验具有的特征第一，只有两种对立的结果，即“成功”和“失第二，若成功事件的概率为p，则失败事件的概率为1-p或q，即第三，试验为独立试验管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量的概率分布（选择离散型 量的概率分②几种常用的离散型 量的概率分布两点分 b.超几何分两点分布的分布律

二项分 XabXab1-pX011-p两点分 0-1分管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择（1）离散型 量的概率分②几种常用的离散型 量的概率分布a.两点分 b.超几何分 c.二项分 应用条件：第一，从一个含有N 的总体中，以不重复方式随机抽取n 作为样本各次抽样（试验）并非独立第二，总体中的全 分为两类，假设“成功”与“失败”，其中“成功”类 数目 数目为N-D个第三，样本中从“成功”类D中抽 数目为k个，从“失败”类N-D中抽 数目n-k管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量的概率分布（选择离散型 量的概率分超几何分总体中全部分总体中含数要取的总数“成功Dk“失败N-n-若要确定n个试验中恰好出现k次成功的概率，则需采用下列概率模型CkCnkPX

ND,CnNCn

管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量的概率分布（选择（1）离散型 量的概率分②几种常用的离散型 量的概率分布a.两点分 b.超几何分 c.二项分 应用条件：在n次贝努利试验的基础上，若要确定其恰好有k次成功的概率，其中随 量X表nPXkCkpk1pnk,kn注意：在二项分布中，若n=1时，则二项分布就变为两点分布，因此，两点分布可以看做是管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 离散型 量的概率分②几种常用的离散型 量的概率分布a.两点分 b.超几何分 c.二项分

应用条件：在通常条件下，泊松分布来描述的随量。其一，任何两个相等的间隔期内某一事件发生次数的概率相等。泊松分布的分布律为k k

e,kX管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 离散型 量的概率分②几种常用的离散型 量的概率分布管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量及其分2. 连续型 量的概率分①对于 量X的分布函数F(x)，若

连续型 义F(x)x的值等于在区间(-∞，x方，分布密度函数f(x)下方与横轴之间

f

面积 则称x为连续型随量，f(x)x的概率

管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量及其分2. 连续型 量的概率分布密f(x有下列性b fxb PaxbF

Fa

f

若f(x)在x处连续， Fxf注意：若X是连续型

管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择、简答连续型 量的概率分 量的概率分布均匀分正态分指数分管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择、简答连续型 量的概率分均匀分若连续型 ax0,则称 量X在[a,b]上服从均匀分布例如， 车站从上午六点起，每10min一辆，那么乘客在六点以后 车站候车的时间0,10服从均匀分布管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择、简答（2）连续型 量的概率分正态分若连续型 1 1

,x其中 为常数，则称X服从参数为,的正态分布。记作X~N 例如，人的身高和体重、智商的量化值、测量值、学生的学生成绩以 的收益率等都服从近似服从正态分布管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 量及其分2. （2）连续型 量的概率分密度 e2,xZ<0，等式Z1Z注意：0 管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择、简答（2）连续型 量的概率分指数分布通常用来描述完成某项任务所需时间。指数分布的概率密度函数 x

x x例如：乘客 车站等车的时间，灯泡的使 （等待用坏的时间）等管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择、简答泊松分某区间内事泊松分某区间内事件的发生指数分布和泊松分布的关通常情况下泊松分布用来描述某区间内某事件的发生次数指数分布则是用来描述两次事件之间长度管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第二节 2. 量的概率分布（选择、简答（2）连续型 量的概率分指数分布和泊松分布的关例如假定用均值为每10汽车的泊松概率分布来描1时到达某个洗车点的数，给出每小时有x辆汽车到达洗车点的概率的泊松分布函数10xf因为每小时平均有10辆汽车到达洗车点，两辆车到达之间的时间就是因此，对应的描述两辆汽车到达之间的指数分布的均值就是0.1小时辆汽车，正确的指数布密度函数为

f

e0.110e10管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 T

量的数字特征与独立u随 方u二维随机向量与 量的独立 管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 1. 量的数字特征（案例、简答、选择数学期望和方差，就是刻画 量的两个重要的数字特征（1）数学期 量的期望值也称为平均值，它是 量取的一 平均数，是 量分布的中心，它描述 量取值的平均水平管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 1. （1）数学期①离散型 量X的数学期 ②连续型 量X的数学期EXxi

EX xf

xipi收敛，则称xipi

若积

xfxdx存在，则称

xf

变量X数学期望，记作E(X

X数学期望，记作E(X管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 量的数字特征（案例、简答、选择数学期③数学期望的性a常数，则E(a)=a设X为 量，a为常数，则E(aX)=aE(X)设X、Y是两个 量，则 量，则管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 1. 量的数字特征（案例、简答、选择方 量X取值对数学期望E(X)的偏离程度。①离散型 量X的方 ③方差的计

DXEX2EX ②连续型 量X的方

一个随量取值DXEXEX

f

管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 方差的性c常数，则设X为 量，c为常数，则有D(cX)=c2D(X) 量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 量的数字特征（案例、简答、选择一些常用 量的期望和方pλλμ管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 二维随机向量与 量的独立性（选择（1）二维随机向量及其分①离散型随机向量的概率分若二维随机向量（X,Y）只取有限个或可数个值，则称（X,Y）为二维离散型随机向量若二维随机向量（X,Y）所有可能取值，即（Xi,Yj）,i，j=1,2,…；（X,Y）取相应值的概率即PXxi;Yyipij,i,j则称上式为随机向量（X,Y）的联合概率分布，简称概率分布，也称联合分布管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 2.二维随机向量与 量的独立性（选择（1）二维随机向量及其分YXypXYXypXp1p2pijp

pij两个性质0pij1i,j pij j管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 2.二维随机向量与 量的独立性（选择（1）二维随机向量及其分若已知（X,Y）的联合概率分布PXxi,Yyipiji,j1,2,，则PXxipijpi,ij为X边缘概率分布

pijpj,j 为Y边缘概率分布管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 2.二维随机向量与 量的独立性（选择（1）二维随机向量及其分②连续型随机向量的概率对于二维随机X,Y)分布函数F(X,Y)若存在非负f(x,y)，使对任意x,yxFX,Yy fx则称(X,Y)为二维连续型随机向量，f(x,y)称为(X,Y)的联合概率分布密度，简称概率密度

fX

fx,

fYx

fx,管理数量方法与分析第二次 答疑邮箱 晚到的同学先跟老师思路走，遇到问题课下解 第三节 二维随机向量与 量的独立性（选择二维随机向量及其分②连续型随机向量的概率二维随机向量(X,Y)的概率密度具有如下性质