高中数学2.3.4圆与圆的位置关系一 新人教B必修2

2.3.4圆与圆的位置关系.

1.理解五种圆与圆的位置关系，掌握它的位置关系的判定方法．2．会利用圆与圆的位置关系求解圆的方程，了解圆系的使用方法．学习目标.

课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案2.3.4.课前自主学案温故夯基初中平面几何介绍的两个圆的位置关系，画图表示如图．.知新益能1．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系如下表所示(注意“⇔”与“⇒”的不同)．.几何法两圆的位置关系代数法|C1C2|＞r1＋r2⇔相离⇒__________|C1C2|＝r1＋r2⇔外切⇒Δ＝0|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2⇔相交⇒________|C1C2|＝|r1－r2|⇔内切⇒_________|C1C2|＜|r1－r2|⇔内含⇒_________Δ＜0Δ＞0Δ＝0Δ＜0.思考感悟两圆没有交点，一定外离吗？提示：不一定，还可能内含．.2．相交弦与公切线问题设两圆圆心距为d，两圆半径分别为R、r(R≥r)，则(1)当d＞R＋r时，两圆_______，此时有_______公切线；(2)当d＝R＋r时，两圆______，连心线过切点，有_______外公切线，_______内公切线；(3)当R－r＜d＜R＋r时，两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有_______外公切线；(4)当d＝R－r时，两圆内切，连心线过切点，只有一条公切线．外离四条外切两条一条两条.3．圆系与圆系方程具有某种共同性质的圆的集合，称为_______．(1)同心圆系(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，x0，y0为常数，r为参数．(2)圆心共线且半径相等圆系(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，r为常数，圆心(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上移动．(3)过两已知圆fi(x，y)＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)的交点的圆系方程，x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，圆系.即f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ≠－1)．当λ＝－1时，变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，表示过两圆的交点的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)，当两圆相交时，此直线为公共弦所在直线；当两圆相切时，此直线为两圆的公切线；当两圆相离时，此直线为与两圆连心线垂直的直线．(4)过直线与圆交点的圆系方程设直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0表示过直线l与圆C的两个交点的圆系方程．.课堂互动讲练考点一判断两圆的位置关系考点突破利用几何法计算圆心距．.例1

判断下列两圆的位置关系，若相交，请求出交点坐标及公共弦长．(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1和(x－2)2＋(y－5)2＝16；(2)x2＋y2＋6x－7＝0和x2＋y2＋6y－27＝0.【分析】

由两圆的圆心距与半径关系可判定两圆的位置关系，两圆相交求交点，可由圆的方程联立方程组，解方程组求交点坐标，求弦长可由两点间的距离公式或由几何法求解．...求弦长的另一种方法：因为③式是公共弦所在直线的方程，所以第一个圆的圆心(－3,0)到直线的距离为..(2)求两圆相交时的公共弦长的方法，方法一：代数法，即求两圆交点，再利用两点间的距离公式求解；方法二：利用几何法求解，两种方法比较，选用方法二更简捷．.跟踪训练1

a为何值时，两圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，(1)相切；(2)相交；(3)外离．解：将两圆方程化为标准方程(x－a)2＋(y＋2)2＝9，(x＋1)2＋(y－a)2＝4.设两圆圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2.当d＝1即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，.此时a＝－1或a＝－2.(2)当1<d<5即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相交，此时－5<a<－2或－1<a<2.(3)当d>5即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或a<－5..考点二公共弦问题研究公共弦所在直线的方程或弦长．.例2

已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度．【分析】

只有当两圆相交时，才能将两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，并求公共弦的长度．..【点评】求两相交圆的公共弦的方程及公共弦长时，一般不用求交点的方法，常用两方程相减法消去二次项，得到公共弦的方程，再由勾股定理求弦长．.跟踪训练2判断两圆C1：x2＋y2－2x＝0与C2：x2＋y2－4y＝0的位置关系．若相交，求其公共弦长．...考点三圆系方程的应用灵活选择圆系方程来待定其系数．.例3

求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．【分析】

求出圆心坐标，代入直线方程即可．..【点评】关键是求圆心坐标，并进行检验是否增、失根．.跟踪训练3求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点，且面积最小的圆的方程．解：设过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，整理得x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.要使圆的面积最小，即要求半径r最小．..考点四两圆位置关系的应用利用两圆位置关系的几何性质，建立代数关系式．.例4如图，Rt△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，BC的延长线交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．.【分析】

建立平面直角坐标系，用字母或数值表示A，P，Q的坐标，代入式子化简推证．【证明】

如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0)．.设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2(x≠±m)上，|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2.∵m，n均为定值，∴|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．【点评】本题为一几何问题，若不通过建系用坐标方法则不易解决，解答过程中应注意：(1)点B，C关于O点对称，点P，Q关于O点对称，(2)A(x，y)满足x2＋y2＝m2(x≠±m)．.跟踪训练4一动圆经过定点M(－4,0)且与已知圆(x－4)2＋y2＝9相外切，求动圆圆心的轨迹方程．解：∵(x－4)2＋y2＝9，∴圆心C(4,0)，r1＝3.如图所示．..方法感悟.方程组有两组不同实数解⇔两圆相交，有一组实数解⇔