高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质 新人教A必修2

2．3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质.

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栏目链接.1．理解直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的性质定理，并能利用性质定理解决有关问题．2．了解直线与平面，平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．.

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栏目链接典例精析.题型一线面垂直性质的应用

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栏目链接例1如右图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD..

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栏目链接►跟踪训练1．如图，已知直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.证明：过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ.∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c.①∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c.又a′∥a，∴a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c..题型二面面垂直性质的应用

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栏目链接例2如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．.

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栏目链接证明：利用线面垂直的判定、面面垂直的性质来解．(1)如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP.DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)如图，连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，.

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栏目链接∴PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.又∵BE∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又∵PC∩PA＝P.∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．点评：证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．.

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栏目链接►跟踪训练2．如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角BPCA的正切值．.

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栏目链接证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA∩PC＝P，BD⊄平面PAD.∴BD⊥平面PAC.(2)设AC与BD交于点O，连接OE，∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE.又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO.∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.∵OE∩BO＝O∴∠BEO为二面角BPCA的平面角．∵BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，∴四边形ABCD为正方形.

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栏目链接.题型三综合应用

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栏目链接例3如右图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．.

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(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.(2)解析：当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.取PC的中点F，连接DE，EF，DF，.

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栏目链接在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E.PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.点评：空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．.

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栏目链接►跟踪训练3．如图，在三棱锥PABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)证明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥PABC的体积．.

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栏目链接证明：(1)因为△PAB是等边三角形，所以PB＝PA，因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC.如图，取AB中点D，连接PD，CD，则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，所以AB⊥PC..

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(2)解析：作BE⊥PC，垂足为E，连接AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.因为∠AEB＝90°，∠PEB