高中数学 2.2 等差数列 新一 新人教A必修5

2.2等差数列（一）.1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．.课前自主学习.1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．答案：等差公差2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的________，并且A＝________.自学导引.3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.答案：a1＋(n－1)d.自主探究.2．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式．.1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是 (

)A．an＝a＋(n－1)d

B．an＝a＋(n－3)dC．an＝a＋2(n－2)d

D．an＝a＋2nd解析：an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.答案：C预习测评.2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于 (

)A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B3．等差数列1,3,5,7…的通项公式是________．解析：因为a1＝1，公差d＝3－1＝2，所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2，即an＝2n－1.答案：an＝2n－14．3与15的等差中项是________．解析：3与15的等差中项是＝9.答案：9.课堂讲练互动.1．等差数列的定义(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．要点阐释.特别提示：(1)注意定义中“同一常数”这一要求，这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数列．.(2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．.2．等差数列的通项公式公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累差法)导出：.将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累差法”是推导给出形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方法．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．.3．等差中项及等差数列的判定判断一个数列为等差数列的常见方法有：..(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现，所以要引起重视．.题型一等差数列的通项公式典例剖析.方法点评：关于a1，an，n，d之间的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识．.1．已知数列－5，－3，－1,1，…是等差数列，判断52,2n＋7(n∈N*)是否为该数列的某项？若是，是第几项？解：根据所给数列，可得等差数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.而2n＋7＝2(n＋7)－7(n∈N*)，所以2n＋7是该数列的项，是第n＋7项．.题型二等差数列的判断【例2】已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．.方法点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．..误区解密对等差数列的定义理解不透彻.错因分析：以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．纠错心得：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．.①公差是从第二项起，每一项减去它前一项的差，即d＝an－an－1(n≥2)，或d＝an＋1－an(n∈N*)；②要证明一个数列是等差数列，必须对任意n∈N*，an＋1－an＝d，或an－an－1＝