2023年全国高考理科数学试题及答案-全国卷III

PAGEPAGE82023年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷3〕理科数学一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1．集合，，那么中元素的个数为A．3 B．2 C．1 D．02．设复数满足，那么A． B． C． D．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量，收集并整理了2023年1月至2023年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，以下结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳4．的展开式中的系数为〔〕A．-80 B．-40 C．40 D．805．双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点．那么的方程为〔〕A． B．C． D．6．设函数，那么以下结论错误的是〔〕A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在单调递减7．执行右图的程序框图，为使输出的值小于91，那么输入的正整数的最小值为A．5B．4C．3D．28．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为〔〕A．B．C．D．9．等差数列的首项为1，公差不为0．假设成等比数列，那么前6项的和为A．-24B．-3C．3D．810．椭圆〔〕的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，那么的离心率为〔〕A．B．C．D．11．函数有唯一零点，那么〔〕A．B．C．D．112．在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．假设，那么的最大值为A．3B．C．D．2二、填空题：〔此题共4小题，每题5分，共20分〕13．假设满足约束条件那么的最小值为________．14．设等比数列满足，那么________．15．设函数那么满足的的取值范围是________．16．为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有以下结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最小值为；④直线与所成角的最大值为．其中正确的是________〔填写所有正确结论的编号〕三、解答题：〔共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答〕〔一〕必考题：共60分．17．〔12分〕的内角的对边分别为，〔1〕求；〔2〕设为边上一点，且，求的面积．18．〔12分〕某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货本钱每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温〔单位：℃〕有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．〔1〕求六月份这种酸奶一天的需求量〔单位：瓶〕的分布列；〔2〕设六月份一天销售这种酸奶的利润为〔单位：元〕．当六月份这种酸奶一天的进货量〔单位：瓶〕为多少时，的数学期望到达最大值？19．〔12分〕如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形．，．〔1〕证明：平面平面；〔2〕过的平面交于点，假设平面把四面体分成体积相等的两局部．求二面角的余弦值．20．〔12分〕抛物线，过点〔2，0〕的直线交于，两点，圆是以线段为直径的圆．〔1〕证明：坐标原点在圆上；〔2〕设圆过点〔4，〕，求直线与圆的方程．21．〔12分〕函数．〔1〕假设，求的值；〔2〕设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值．〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕，直线的参数方程为〔为参数〕，设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．〔1〕写出的普通方程：〔2〕以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设：，为与的交点，求的极径．23．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕函数．〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设不等式的解集非空，求的取值范围．2023年普通高等学校招生全国统一考试〔全国3〕理科数学参考答案一、选择题1．B2．C3．A4．C5．B6．D7．D8．B9．A10．A11．C12．A二、填空题13．14．15．16．=2\*GB3②=3\*GB3③三、解答题17．解：〔1〕由可得，所以在中，由余弦定理得，即解得〔舍去〕，〔2〕由题设可得，所以故面积与面积的比值为又的面积为，所以的面积为18．解：〔1〕由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为：2003005000.20.40.4〔2〕由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500当时，假设最高气温不低于25，那么；假设最高气温位于区间[20,25〕，那么；假设最高气温低于20，那么因此当时，假设最高气温不低于20，那么；假设最高气温低于20，那么因此所以时，的数学期望到达最大值，最大值为520元。19．解：〔1〕由题设可得，，从而又是直角三角形，所以取的中点，连结，那么又由于是正三角形，故所以为二面角的平面角在中，又，所以，故所以平面平面〔2〕由题设及〔1〕知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如下图的空间直角坐标系，那么由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得，故设是平面的法向量，那么同理可取那么所以二面角的余弦值为20．解：〔1〕设由可得，那么又，故因此的斜率与的斜率之积为，所以故坐标原点在圆上〔2〕由〔1〕可得故圆心的坐标为，圆的半径由于圆过点，因此，故，即由〔1〕可得所以，解得或当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为21．解：〔1〕的定义域为①假设，因为，所以不满足题意；②假设，由知，当时，；当时，。所以在单调递减，在单调递增。故是在的唯一最小值点。由于，所以当且仅当时，故〔2〕由〔1〕知当时，令，得，