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数学理科第4页〔共4页〕2023年普通高等学校招生全国统一考试2卷理科数学考前须知:答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答时,将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:此题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。1.〔〕A.B.C. D.2.集合,那么中元素的个数为〔〕A.9B.8 C.5 D.43.函数的图象大致为〔〕4.向量,满足,,那么
A.4 B.3 C.2 D.05.双曲线的离心率为,那么其渐近线方程为
A. B. C. D.6.在中,,,,那么
A. B. C. D.7.为计算,设计了右侧的程序框图,那么在空白框中应填入A.B.C.D.8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞,如.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是A. B. C.D.9.在长方体中,,,那么异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C.D.10.假设在是减函数,那么的最大值是
A. B. C.D.11.是定义域为的奇函数,满足.假设,那么
A. B.0 C.2 D.5012.,是椭圆的左,右焦点,是的左顶点,点在过且斜率为的直线上,为等腰三角形,,那么的离心率为A. B. C.D.填空题:此题共4小题,每题5分,共20分。13.曲线在点处的切线方程为__________.假设满足约束条件那么的最大值为__________.15.,,那么__________.16.圆锥的顶点为,母线,所成角的余弦值为,与圆锥底面所成角为45°,假设的面积为,那么该圆锥的侧面积为__________.三、解答题:共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。〔一〕必考题:共60分。17.〔12分〕记为等差数列的前项和,,.〔1〕求的通项公式;〔2〕求,并求的最小值.18.〔12分〕下列图是某地区2000年至2023年环境根底设施投资额〔单位:亿元〕的折线图.为了预测该地区2023年的环境根底设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2023年的数据〔时间变量的值依次为〕建立模型①:;根据2023年至2023年的数据〔时间变量的值依次为〕建立模型②:.〔1〕分别利用这两个模型,求该地区2023年的环境根底设施投资额的预测值;〔2〕你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.〔12分〕设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.〔1〕求的方程;〔2〕求过点,且与的准线相切的圆的方程.20.〔12分〕如图,在三棱锥中,,,为的中点.〔1〕证明:平面;〔2〕假设点在棱上,且二面角为,求与平面所成角的正弦值.21.〔12分〕函数.〔1〕假设,证明:当时,;〔2〕假设在只有一个零点,求.〔二〕选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,那么按所做的第一题计分。22.[选修4-4:坐标系与参数方程]〔10分〕在直角坐标系中,曲线的参数方程为〔为参数〕,直线的参数方程为〔为参数〕.〔1〕求和的直角坐标方程;〔2〕假设
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