2022年湖南省邵阳市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年湖南省邵阳市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.设区域，将二重积分在极坐标系下化为二次积分为()A.A.

B.

C.

D.

4.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

5.微分方程y'=1的通解为A.y=xB.y=CxC.y=C-xD.y=C+x

6.已知函数f(x)的定义域是[一1，1]，则f(x一1)的定义域为()。

A.[一1，1]B.[0，2]C.[0，1]D.[1，2]

7.

8.

9.A.2x

B.3+2x

C.3

D.x2

10.

11.设直线，ι：x/0=y/2=z/1=z/1，则直线ιA.A.过原点且平行于x轴B.不过原点但平行于x轴C.过原点且垂直于x轴D.不过原点但垂直于x轴

12.

13.（）。A.e-6

B.e-2

C.e3

D.e6

14.已知作用在简支梁上的力F与力偶矩M=Fl，不计杆件自重和接触处摩擦，则以下关于固定铰链支座A的约束反力表述正确的是()。

A.图(a)与图(b)相同B.图(b)与图(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同

15.

16.

17.A.A.1B.2C.1/2D.-1

18.A.A.0B.1C.2D.不存在

19.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

20.

二、填空题(20题)21.22.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．

23.设函数y=x2lnx，则y=__________．

24.25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.过点M1(1，2，-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为__________。

33.微分方程exy'=1的通解为______．

34.f(x)=sinx，则f"(x)=_________。

35.

36.微分方程y'=0的通解为__________。

37.

38.

39.________。

40.

三、计算题(20题)41.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

42.43.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．44.证明：45.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

46.

47.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．48.

49.

50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．52.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．53.求微分方程的通解．54.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

55.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

56.57.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

58.59.

60.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．四、解答题(10题)61.62.63.设平面薄片的方程可以表示为x2+y2≤R2，x≥0，薄片上点(x，y)处的密度，求该薄片的质量M．64.

65.

66.

67.

68.

69.将展开为x的幂级数．

70.

五、高等数学(0题)71.

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D

2.C

3.A本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分．

由于在极坐标系下积分区域D可以表示为

0≤θ≤π，0≤r≤a．

因此

故知应选A．

4.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

5.D

6.B∵一1≤x一1≤1∴0≤x≤2。

7.A解析：

8.C

9.A由导数的基本公式及四则运算法则，有故选A．

10.A解析：

11.C将原点(0，0，0)代入直线方程成等式，可知直线过原点(或由直线方程x/m=y/n=z/p表示过原点的直线得出上述结论)。直线的方向向量为(0，2，1)，又与x轴同方向的单位向量为(1，0，0)，且

(0，2，1)*(1，0，0)=0，

可知所给直线与x轴垂直，因此选C。

12.B

13.A

14.D

15.B

16.D解析：

17.C

18.C本题考查的知识点为左极限、右极限与极限的关系．

19.B由不定积分的性质可知，故选B．

20.D

21.22.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

23.

24.4π本题考查了二重积分的知识点。

25.

26.1

27.

28.

29.1/π

30.

解析：

31.11解析：

32.33.y=-e-x+C本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

由于方程为exy'=1，先变形为

变量分离dy=e-xdx．

两端积分

为所求通解．

34.-sinx

35.x=-3

36.y=C

37.

本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

38.39.1

40.(1/2)x2-2x+ln｜x｜+C

41.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

42.

43.由二重积分物理意义知

44.

45.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

46.

47.

48.

则

49.50.由等价无穷小量的定义可知

51.52.函数的定义域为

注意

53.

54.

列表：

说明

55.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

56.

57.

58.

59.由一阶线性微分方程通解公式有

60.

61.

62.

63.本题考查的知识点为二重积分的物理应用．

若已知平面物质薄片D，其