高数第五章一元函数积分学

函数的积分第六章§1.定积分的概念和性质一、定积分的概念1.曲边梯形面积曲边梯形圆的面积的计算

割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.––––刘徽《九章算书注》••••••••••••曲边梯形面积A的计算(1)分割：a=x0<x1<…<xi–1<xi<…<xn=b分割[a,b]得:[xi–1,xi](i=1,2,…,n)且记xi=xi–xi–1任取分点：(2)作近似：任取

i[xi–1,xi],Aif(i)xi(i=1,2,…,n)(3)求和：作(4)取极限1≤i≤n2.变速直线运动的路程0abttiti–1

已知质点的运动速度v=v(t).求在时间段[a,b]内运动的路程s.匀速运动：距离＝速度×时间(1)分割：任取分点:

a=t0<t1<…<ti–1<ti<…<tn=b分割[a,b]得:[ti–1,ti](i=1,2,…n)且记：ti=ti–ti–1(2)作近似：任取

i[ti–1,ti],(3)求和:(4)取极限：1≤i≤ni0abttiti–1作3.定积分定义

设f(x)在[a,b]上有界，若极限的存在与[a,b]的分法和i(xi–1≤i≤xi)的取法无关，则称其为f(x)在[a,b]上的定积分.此时称f(x)在[a,b]上可积.记为f(x)R([a,b]).记上例有定理：(1)若f(x)C([a,b]),则f(x)R([a,b]) (2)若f(x)在[a,b]上单调有界，则f(x)R([a,b]) (3)若f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积. (4)若f(x),g(x)R([a,b])，则kf(x),f(x)+g(x),f(x)·g(x),|f(x)|R([a,b]).其中k为常数.4.几何意义y=f(x)a

0bxyf(x)>00xbf(x)<0a

yy=f(x)例1.例2.0y=sinxyx显然二、定积分的性质规定又有下面的讨论假设所列积分均存在.性质1.证：其中,为常数.线性性性质2.若a<c<b,则ya

y=f(x)0bxc可加性证：因为f(x)R([a,b]),故取[a,b]的分划，使c成为分点:则令0得性质3.

若x[a,b]有f(x)1,

则a

0bxy1性质4.

若x[a,b]有f(x)≥0，则≥0推论1.

若x[a,b]有f(x)≥g(x),则≥a

0bxyy=f(x)a

0bxy=g(x)y推论2.

≤(a<b)证：由于|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|则≤≤故≤性质5.设≤≤证：由于m≤f(x)≤M则≤≤故≤≤估值定理x0yMmx0yx0ya

ba

by=f(x)a

b例3.估计解：容易求得在[1,1]上最大值1，故有≤≤2性质6(定积分中值定理)若f(x)C([a,b]),则[a,b]使得分析：欲证证：由性质5有≤≤或≤≤mM其中由闭区间连续函数的介值定理知[a,b]，使得ya

y=f(x)0bxf()§2.微积分基本公式一、原函数与积分上限函数定义1.设区间IR，若F(x)使xI

有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数(反导数).例如sinx是cosx在R上的一个原函数ln|x|是在(,0)(0,+)内的一个原函数.关于原函数，我们有(1)若F(x)是f(x)的一个原函数，则对任何常数C，F(x)+C也是f(x)的原函数.这是因为[F(x)+C]'=F'(x)=f(x)

因此，f(x)若有原函数，则它就有无穷多个原函数.(2)f(x)的任意两个原函数之间仅相差一个常数.设

F(x)和(x)是f(x)的任两个原函数，则F'(x)=f(x),'(x)=f(x)于是[(x)F(x)]'='

(x)F'(x)=f(x)f(x)0故(x)F(x)=C0

(C0为常数)于是，若F(x)是f(x)的一个原函数则{F(x)+C|CR}为f(x)的全体原函数.设f(x)R([a,b]),有xx(a≤≤b)xt称为积分上限函数.记为y=f(x)ya

0bxxt定理1.若f(x)R([a,b])，则分析：欲证x0[a,b],即>0,>0,使当|xx0|<时，都有|(x)(x0)|<证：首先由f(x)R([a,b])知M>0,使x[a,b]有|f(x)|≤M从而x0,x[a,b]有

≤≤M|xx0|于是

>0，取则当|xx0|<时f(x)C([a,b]).≤M|xx0|定理2.若f(x)C([a,b])，则在[a,b]上可导，且(a≤x≤b)分析：欲证x[a,b]，证：x[a,b]，取x使x+x[a,b]=(x+x)(x)令x0,得'(x)=f(x)推论1.(原函数存在定理).若f(x)C([a,b]),则f(x)在[a,b]上存在原函数，且为f(x)的一个原函数.例1.一般地另外例2.=1例3.求解：F'(x)=(x1)(x2)2令F'(x)=0得驻点x=1,x=2对x=1,当x<1时F'(x)<0,当2>x>1时F'(x)>0故x=1为F(x)的极小值点对x=2,当1<x<2时F'(x)>0,当x>2时F'(x)>0故x=2不是F(x)的极值点F(x)的极小值二、微积分基本公式例4.

变速直线运动的路程：求时间段[a,b]内质点运动的路程s.一方面：v=v(t)故另一方面：s=s(t)故于是应有注意到s'(t)=v(t).即s(t)是v(t)的一个原函数.b00s(a)s(b)asts定理3.设f(x)C([a,b])，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则证：由定理2之推论知Newton-Leibniz公式的一个原函数，于是也是f(x)再令x=b