上海民办育海中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

上海民办育海中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合A＝｛x｜2－3x－2x2＞0｝，B＝｛x｜y＝ln（x2一1）｝，则AB＝A．（一2，一1）B．（一，一2）U（1，＋）C．（一1，）D．（一2，一1）U（l，＋）参考答案：A2.在等比数列{an}中，·且前n项和，则项数n等于（

）

A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B在等比数列中，又解得或。当时，，解得，又所以，解得。同理当时，由解得，由，得，即，综上项数n等于5，选B.3.设函数定义在实数集上,,且当x≥1时,,则有（

）A． B． C． D．参考答案：C试题分析：∵∴函数的对称轴为，∵时，，∴函数以为对称轴且左减右增，故当时函数有最小值，离越远，函数值越大，故选C．考点：对数值大小比较.4.若两个单位向量，的夹角为60°，则A．2 B．3 C． D．参考答案：D5.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝f（x），且在区间［0,2］上是增函数，则当时不等式参考答案：A6.设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A． B．2 C． D．0参考答案：A【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A．7.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：P=．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概率计算公式的合理运用．8.在锐角三角形中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，设B=2A，则的取值范围是（

） A．

B．

C.

D．（0，2）参考答案：A略9.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：“三人同行七十稀，五树梅花廿一支,七子团圆正半月,除百零五便得知”.已知正整数被3除余2，被5除余3，被7除余4，求的最小值.按此歌诀得算法图，则输出的结果为（

）A．53

B．54

C．158

D．263参考答案：A10.如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（A）0.8

（B）0.75

（C）0.5

（D）0.25参考答案：C解析：设地球半径为R,则北纬纬线圆的半径为Rcos60°＝R

而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）参考答案：①④⑤【考点】命题的真假判断与应用；分段函数的应用．【分析】作出f（x）=的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．【解答】解：f（x）=的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）=2f（+2）=4f（+4）=6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则=，则x1+x2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．12.（00全国卷）设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________参考答案：答案:

13.不等式有实数解的充要条件是_____.参考答案：14.已知抛物线：，（为参数）设为坐标原点，点在上运动，点是线段的中点，则点的轨迹普通方程为参考答案：y2=x15.

某地有居民100000户，其中普通家庭99000户,高收入家庭1000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是

.参考答案：5.7％略16.a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③ea﹣eb=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．期中真命题的有．参考答案：①③【考点】不等式的基本性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；不等式．【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣ex，x＞0，y′=1﹣ex＜0，函数单调递减，∵ea﹣eb=1，∴a＞b，∴a﹣ea＜b﹣eb，∴a﹣b＜ea﹣eb=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查不等式的性质、导数的应用等基础知识，意在考查学生分析问题解决问题的能力、推理能力、运用转化与化归思想的能力．17.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=

．参考答案：－63解答：依题意，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数（Ⅰ）求与，与；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得结果，你能发现当时，与有什么关系？并证明你的发现；（Ⅲ）求.参考答案：(Ⅰ),,,（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可发现， （6分）证明如下： （8分）（III）由（II）知：，，…， ∴原式 19.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C：，直线（t为参数）.（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程；（Ⅱ）设，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等，求点P的坐标.参考答案：（1），x－y＋9＝0；（2）.

试题解析：（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0． …4分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.20.某校从高三年级学生中随机抽取名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：，，…，后得到如下图的频率分布直方图．（1）求图中实数的值；（2）若该校高一年级共有学生人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于分的人数；（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于的概率．

参考答案：（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以．……………1分解得．

……………2分（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为．………3分由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人．

…………5分（3）解：成绩在分数段内的人数为人，

………………

6分成绩在分数段内的人数为人，

……………

7分若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法有…

9分如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．…

10分则所取两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10分的取法数为

……11分

所以所求概率为．……………………13分21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在四棱锥P–ABCD的底面梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=2，AD=3，∠ADC=45?.已知PA⊥平面ABCD，PA=1．求：(1)异面直线PD与AC所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)三棱锥C–APD的体积．参考答案：(1)过点C作CF∥AB交AD于点F，延长BC至E，使得CE=AD，连接DE，则AC∥DE，所以∠PDE就是异面直线PD与AC所成的角或其补角，………………2分因为∠ADC=45?，所以FD=2，从而BC=AF=1，且DE=AC=，AE=，PE=，PD=，在△中，，所以，异面直线与所成角的大小为………………8分(2)因为VC–APD=VP–ACD，S△ACD=?CF?AD=3PA⊥底面ABCD，三棱锥P–ACD的高为PA=1，VP–ACD=?S△ACD?PA=1，所以，三棱锥C–APD的体积为1.………14分22.如图，在△ABC中，，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小．参考答案：解：（1）∵△BCD的面积为，，∴∴BD=在△BCD中，由余弦定理可得==；（2）∵，∴CD=AD==在△BCD中，由正弦定理