上海市浦江高级中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

上海市浦江高级中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若x，y满足，则x2+y2的最小值为（

）A.1

B.

C.

D.参考答案：D作出可行域如图：表示可行域内一点到坐标原点距离的平方，到直线的距离最小，即从而的最小值为，故选D.2.已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）A． B． C．± D．±参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积为0，列出方程即可推出结果．【解答】解：||=3，||=5，与不共线，向量k+与k﹣互相垂直，可得（k+）（k﹣）=0，得k2||2﹣||2=0，k2=，解得k=．故选：D．3.已知函数，当时，函数在，上均为增函数，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：

A,因为函数在，上均为增函数，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，令，则在，上恒成立，所以有，，,即满足,在直角坐标系内作出可行域，，其中表示的几何意义为点与可行域内的点两点连线的斜率，由图可知，所以，即的取值范围为.【考查方向】考察学生函数求导、二次函数的性质及线性规划问题，属于中档题．【易错点】函数恒成立的转化，线性规划的几何意义理解。【解题思路】根据：求导公式求出函数的导数，在根据二次函数图象求出a，b的取值范围，绘制出a，b的取值范围，根据线性规划求出其取值范围．4.函数图象的一条对称轴方程是（）A.

B.

C.

D.参考答案：A5.设，若，且，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A略6.在平面直角坐标系中，方程+=1所表示的曲线是（）A．椭圆 B．三角形 C．菱形 D．两条平行线参考答案：C【考点】曲线与方程．【分析】去掉绝对值，可得方程+=1的曲线围成的封闭图形．【解答】解：x≥0，y≥0方程为+=1；x≥0，y≤0方程为﹣=1；x≤0，y≥0方程为﹣+=1；x≤0，y≤0方程为﹣﹣=1，∴方程+=1的曲线围成的封闭图形是一个以（0，4），（2，0），（0，﹣4），（﹣2，0）为顶点的菱形，故选：C．【点评】本题考查的知识点是曲线与方程，分析出几何体的形状是解答的关键，难度中档．7.在△ABC中，已知AB=4，则△ABC的面积是（）A． B． C．或 D．参考答案：C【考点】正弦定理的应用．【分析】在△ABC中，由余弦定理可得BC的值，再由△ABC的面积为×AB×BC×sinB运算求得结果．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=42=+BC2﹣2×4×BC×cos30°，解得BC=4，或BC=8．当BC=4时，AC=BC，∠B=∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∠C=120°，△ABC的面积为?AB?BC?sinB=?4?4?=4．当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8，故选：C．8.已知等比数列的前项和为，且满足，则公比=（

）A.

B.

C.2

D.参考答案：D9.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A10.已知，且则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：因为，且所以，当且仅当时，的最小值为，故选．考点：基本不等式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为

▲

．参考答案：12.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为__________．参考答案：

13.函数的定义域是_________．参考答案：

14.若函数（且）的值域为[4,+∞)，则________；实数a的取值范围为________.参考答案：5

【分析】把，代入中，可以求出的值.求出求出当时，函数的取取值范围，然后分类的值，利用函数的单调性，分析当时，函数的取值范围，结合已知，最后求出的取值范围.【详解】因为，所以.当时，是减函数，所以.若，函数是减函数，显然当时，，不符合题意；若，函数是增函数，所以，要想函数的值域为，只需，即，所以，实数的取值范围为.【点睛】本题考查了已知分段函数的值域求参数问题，分类讨论、数形结合是解题的关键.15.已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为

．参考答案：

16.已知为原点，椭圆上一点到左焦点的距离为4，是的中点．则=

.参考答案：317.过直线上一点P作一个长轴最短的椭圆,使其焦点的F1(－3,0),F2(3,0),则椭圆的方程为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过小时收费元，超过小时的部分每小时收费元（不足小时的部分按小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过小时．（1）若甲停车小时以上且不超过小时的概率为，停车付费多于元的概率为，求甲停车付费恰为元的概率；（2）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为元的概率．参考答案：解：（1）设“甲临时停车付费恰为元”为事件，则．

甲临时停车付费恰为元的概率是．（2）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中．则甲、乙二人的停车费用共有16种等可能的结果：

.其中，种情形符合题意．“甲、乙二人停车付费之和为元”的概率为．略19.（本小题满分13分）

已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和参考答案：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则

…………1分

又

…………2分

解得

…………4分

.

…………5分

…………6分

（Ⅱ）由

…………9分

…………13分

略20.（本题满分12分）已知函数，x∈R．（其中m为常数）（1）当m=4时，求函数的极值点和极值；（2）若函数在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m的取值范围.参考答案：【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B12

【答案解析】（1）函数的极大值点是，极大值是；函数的极小值点是，极小值是.（2）

m＞3.解析：函数的定义域为R（1）当m＝4时，f（x）＝x3－x2＋10x，＝x2－7x＋10，令，解得或．令，解得,

列表0-0↗↘↗所以函数的极大值点是，极大值是；函数的极小值点是，极小值是.

……….6分（2）＝x2－（m＋3）x＋m＋6,要使函数在（0，＋∞）有两个极值点,则，解得m＞3.

……….12分【思路点拨】（1）根据到导数和函数的极值的关系即可求出．（2）y=f（x）在区间（0，+∞）上有两个极值点，等价于f′（x）=0在（0，+∞）有两个正根，问题得以解决．21.

设关于的方程(Ⅰ）若方程有实数解，求实数的取值范围；(Ⅱ）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.参考答案：（Ⅰ）原方程为，，时方程有实数解；(Ⅱ）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①.②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；

22.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．参考答案：（1）；（2）．试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时