上海民办日日学校2021年高三数学理期末试题含解析

上海民办日日学校2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法错误的是（

）A．自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，为0.98的模型比为0.80的模型拟合的效果好参考答案：BA，C，D均正确，B错误，故选择B。2.函数的零点个数为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B3.函数是（

）A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：A略4.已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=(

) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．?参考答案：B考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答： 解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}，则P∩Q={1，2}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．5.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D6.设向量且,则锐角为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.设集合(

)

A．

B．

C.

D．参考答案：B略8.某程序框图如图所示．该程序运行后输出的S的值是（）A．1007 B．2015 C．2016 D．3024参考答案：D【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式S是求数列的和，且数列的每4项的和是定值，由此求出S的值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的算式：S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=（0+1）+（﹣2+1）+（0+1）+（4+1）+…+（0+1）+（﹣2014+1）+（0+1）+=6+…+6=6×=3024；所以该程序运行后输出的S值是3024．故选：D．9.若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线与圆的位置关系，得到圆心到直线的距离大于半径，得到关于a，b的关系式，这个关系式正好是点到圆心的距离，得到圆心与点到距离小于半径，得到点在圆的内部．【解答】解：∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，∴，∴，∴点P（a，b）到圆心的距离小于半径，∴点在圆内，故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系，本题解题的关键是正确利用点到直线的距离公式，本题是一个基础题．10.已知函数均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：A试题分析：最小正周期为,所以.因为当时，函数取得最小值，所以,可得,令,所以,在上单调递减.,.又,,所以.故选A.考点：求三角函数的解析式.【易错点晴】依题意容易得出,又当时,函数取得最小值,可解得,由此可得函数解析式,利用正弦函数的图象与性质及诱导公式,即可比较大小.不能结合已知条件求出函数解析式导致易错,不能熟练的利用周期性把不在同一单调区间的两个数转化为同一单调区间导致易错.利用函数单调性比较大小,先看自变量是否在同一单调区间,若不在,则须利用周期性转化.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，，则A=____.参考答案：【分析】由，根据正弦定理“边化角”，可得，根据余弦定理，结合已知联立方程组，即可求得角.【详解】根据正弦定理：可得根据余弦定理：由已知可得：故可联立方程：解得：.由故答案为：.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12.在的展开式中，项的系数为____．参考答案：40【分析】由题意利用排列组合的性质可得项的系数.【详解】由题中的多项式可知，若出现，可能的组合只有：和，结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得系数为：.【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题.13.设△的内角，，所对的边分别为，，.若，则角

．参考答案：14.已知函数是的导函数，则=

。参考答案：215.三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为

．参考答案：16.如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为

.参考答案：试题分析：设，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．本题中，向量和立体几何结合在一起，突破口在于利用.17.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，已知·＝3·.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝，求A的值．参考答案：(1)证明：因为·＝3·，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，

即AC·cosA＝3BC·cosB，由正弦定理知＝，从而sinBcosA＝3sinAcosB，又因为0<A<π，0<B<π，所以cosA>0，cosB>0，所以tanB＝3tanA.(2)因为cosC＝，0<C<π，所以sinC＝＝，从而tanC＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，亦即＝－2，由(1)得＝－2，解得tanA＝1或－，因为cosA>0，故tanA＝1，所以A＝19.已知函数和的图象关于原点对称，且．（1）解关于x的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数c的取值范围．参考答案：（1）（2）试题分析：（1）由函数和的图象关于原点对称可得的表达式，再去掉绝对值即可解不等式；（2）对，不等式成立等价于，去绝对值得不等式组，即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）∵函数和的图象关于原点对称，∴，∴原不等式可化为，即或，解得不等式的解集为；（2）不等式可化为：，即，即，则只需，解得，的取值范围是.20.（本题满分14分）如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小．参考答案：解:（Ⅰ）连接，如图，∵、分别是、的中点，是矩形，∴四边形是平行四边形，∴．

…2分∵平面，平面，∴平面．…………4分（Ⅱ）连接，∵正方形的边长为，，∴，，，则，∴．

……6分∵在长方体中，，，∴平面，又平面，∴，又，∴平面．

………………8分（Ⅲ）在平面中过点作于，连结，∵，，∴平面，又平面，

………………9分∴，又，且，∴平面，而平面，

…………10分∴．∴是二面角的平面角．

………12分在中，，∴，，∴二面角的大小为．

…14分解法2（坐标法）：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，∴又点，，∴∴，且与不共线，∴．又平面，平面，∴平面．

…………………4分（Ⅱ）∵，∴，，即，，又，∴平面．

……8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，∴为平面的法向量．∵，，∴为平面的法向量．∴，∴与的夹角为，即二面角的大小为．…14分（Ⅲ）（法三）设二面角的大小为，在平面内的射影就是，根据射影面积公式可得，，∴，∴二面角的大小为

…14分21.（本题满分13分）已知数列是一个等差数列，且，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前n项和．参考答案：解：（Ⅰ）设等差数列