上海曹杨第五中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

上海曹杨第五中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H、则以下命题中，错误的命题是（

）A．点H是△A1BD的垂心

B．AH=C．AH的延长线经过点C1

D．直线AH和BB1所成角为45参考答案：D2.已知函数是区间[－1，+∞上的连续函数，当，则f(0)=

（

）A、

B、1

C、

D、0

参考答案：A略3.已知=（1，0），||=，|﹣|=||，则，的夹角是（）A． B．C．D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得cosθ的值，可得设与夹角θ的值．【解答】解：已知=（1，0），||=，|﹣|=||，设，的夹角为θ，θ∈[0，π]，则+﹣2=，∴=2?，∴2=2?1?cosθ，∴cosθ=，∴θ=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．4.已知两个不同的平面和两条不重合的直线，下列四个命题：①若则

②若则

③若则

④若则

其中正确命题的个数是个

个

个

个参考答案：D略5.如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，与的位置关系为(

)A．相交

B．平行

C．异面而且垂直

D．异面但不垂直参考答案：D6.已知函数f(x)满足，当时，，那么函数的零点共有（

）A.7个 B.8个 C.9个 D.10个参考答案：D【分析】根据题意，由确定函数的周期，分析可以将函数的零点问题转化为图象的交点问题，结合图象，即可得到结论．【详解】根据题意，函数满足，则函数是周期为2的周期函数，设，则函数的零点个数即图象与的交点个数，由于的最大值为1，所以时，图象没有交点，在上有一个交点，，，，上各有两个交点，如图所示，在上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10；故选：D．【点睛】本题主要考查了函数零点与方程的应用，以及函数零点的概念，其中解答中把函数的零点转化为两个函数的图象的交点个数，作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于中档试题。7.函数在上最大值和最小值分别是（

）A．5,－15

B．5,－4

C．－4,－15

D

．5,－16参考答案：A8.已知锐角的面积为，，，则角大小为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略9.如图，、是椭圆与双曲线：的公共焦点，、分别是与在第二、四象限的公共点.

若四边形为矩形，则的离心率是 A.

B.

C.

D.

参考答案：C10.数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为()A．11

B．99C．120

D．121参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________________．参考答案：略12.过点且与直线平行的直线方程是

▲

．参考答案：13.若的展开式中各项的系数和为27，则实数的值是

▲

参考答案：4略14.已知幂函数y＝f(x)的图像过点(2，)，则f(x)=

▲

．参考答案：15.对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则

．参考答案：201716.设p：函数在区间[1，2]上是单调增函数，设q：方程（2a2﹣3a﹣2）x2+y2=1表示双曲线，“p且q”为真命题，则实数a的取值范围为．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】若“p且q”为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：若命题p：函数在区间[1，2]上是单调增函数为真命题，则f′（x）=x2﹣2ax+2≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤在区间[1，2]上恒成立，由y=在区间[1，]上为减函数，在[，2]上为增函数，故当x=时，y取最小值，故a≤．若方程（2a2﹣3a﹣2）x2+y2=1表示双曲线，则2a2﹣3a﹣2＜0，解得：﹣＜a＜2，若“p且q”为真命题，则命题p，q均为真命题，故a∈，故答案为：．17.若圆与圆外切，则的值为__________．参考答案：圆心，半径，圆心，半径，两圆圆心距，∴．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥的底面是正方形，底面，是上一点（1）求证：平面平面；（2）设，，求点到平面的距离；参考答案：(1)略(2)略19.（设函数的图像与直线相切于点（1，－11）。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论函数的单调性。

参考答案：解：（Ⅰ）求导得。

由于的图像与直线相切于点，

所以，即：

1－3a+3b=-11

解得:．ks5u

3-6a+3b=-12（Ⅱ）由得：

令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；又令f′（x）<0，解得-1＜x＜3.故当x（,-1）时，f(x)是增函数，当x（3,）时，f(x)也是增函数，但当x（-1，3）时，f(x)是减函数.

略20.在直角坐标平面内，每个点绕原点按逆时针方向旋转45°的变换R所对应的矩阵为M，每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换T所对应的矩阵为N.(1)求矩阵M的逆矩阵；(2)求曲线先在变换R作用下，然后在变换T作用下得到的曲线方程．参考答案：(1)；(2).试题分析：（1）在直角坐标平面内，将每个点绕原点按逆时针方向旋转的变换所对应的矩阵为.所以由旋转变换得到的公式即可求得矩阵M.再根据逆矩阵求出结论.（2）将每个点横、纵坐标分别变为原来的倍的变换所对应的矩阵为,由于曲线先在变换作用下，然后在变换作用下得到的曲线方程.所以.所以在曲线上任取一点,通过NM的变换即可得到结论.（1），，．4分（2），，代入中得：．故所求的曲线方程为：．7分考点：1.矩阵的逆.2.曲线通过矩阵变换.21.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=，短轴长为6，求椭圆的标准方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），可得，解出即可得出；当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程．【解答】解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），可得，解得a=6，b=3，可得椭圆的标准方程为=1．当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程为=1．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.已知函数.（Ⅰ）若成立，求的取值范围；（Ⅱ）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的解析式，并写出在上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案：【知识点】对数不等式的解法、函数解析式的求法、奇函数、不等式恒成立问题【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）

在和上递减；在上递增；（Ⅲ）

解析：解：（Ⅰ）由得，解得，所以x的取值范围是；（Ⅱ）当－3≤x≤－2时，g(x)=－g(x+2)=g(－x－2)=f(－x－2)=，当－