上海教科实验中学2021年高二数学理期末试题含解析

上海教科实验中学2021年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数

则不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略2.已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P（1，3），离心率为的双曲线的标准方程为（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线得离心率可知为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），把点P的坐标代入即可得出．【解答】解：∵，∴a=b，∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），又点P（1，3）在双曲线上，则λ=1﹣9=﹣8，∴所求双曲线的标准方程为．故选D．3.以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底C．为直角三角形的充要条件是D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底参考答案：B略4.PA、PB、PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为(

)A． B． C． D．参考答案：A5.设平面向量=（1，2），=(-2，y），若

//，则|3十|等于

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.数列1，0，1，0，……的一个通项公式为A．B．C．D．参考答案：C7.圆的圆心和半径分别为A.圆心(1,3)，半径为2

B.圆心(1,－3)，半径为2C.圆心(－1,3)，半径为4

D.圆心(1,－3)，半径为4参考答案：B8.已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为(

)A．5 B．﹣38 C．10 D．38参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+4y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，8），此时z=2×3+4×8=6+32=38，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9.某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为()参考答案：B10.设函数f(x)在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)C.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)参考答案：D【分析】根据的图像，按分类，研究函数的单调区间，由此求得函数的极大值和极小值.【详解】解：由函数的图象可知，f′（﹣2）＝0，f′（2）＝0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选：D．【点睛】本小题主要考查利用函数的图像判断导函数的正负，并由此求得极值，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为

．参考答案：48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】综合题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由题意，长方体的长宽高分别为3，4，4，即可求出长方体的体积．【解答】解：由题意，长方体的长宽高分别为3，4，4，所以长方体的体积为3×4×4=48．故答案为48．【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定直观图的形状是关键．12.圆心在轴上，且与直线相切于点的圆的方程为________

___________．参考答案：13.函数则的解集为

参考答案：略14.已知抛物线经过点，若点到准线

的距离为，则抛物线的标准方程为

。

参考答案：略15.在数列中，=____________.参考答案：31

略16.在ABC中，已知sinA:sinB:sinC=6:5:4,则cosA=

.参考答案：17.已知则的最小值是

.参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b；（2）若存在x0≥1，使得f（x0）＜，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对a分类讨论：当a时，当a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，∴f′（1）=a+（1﹣a）×1﹣b=0，解得b=1．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f（x）=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，即，解得；②当a＜1时，则，则当x∈时，f′（x）＜0，函数f（x）在上单调递减；当x∈时，f′（x）＞0，函数f（x）在上单调递增．∴存在x0≥1，使得f（x0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若a＞1时，f（1）=，成立．综上可得：a的取值范围是．19.(本小题满分12分)已知，若q是p的必要而不充分条件，求实数的取值范围.参考答案：解：由得。由

得

·····6分∵q是p的必要而不充分条件∴由得又时命题成立。∴实数的取值范围是

·····12分略20.已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．参考答案：略21.（本题10分）设复数，当取何实数时？

（1）是纯虚数；

（2）对应的点位于复平面的第二象限。参考答案：解：（1）是纯虚数当且仅当，（2分）

解得，（5分）