上海控江中学附属民办学校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

上海控江中学附属民办学校2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列四个命题：①?x0∈R，使+2x0+3=1；②命题“?x0∈R，lgx0＞0”的否定是“?x∈R，lgx＜0”；③如果a，b∈R，且a＞b，那么a2＞b2；④“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是（）A．① B．② C．③ D．④参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】判断方程的实根个数，可判断①；写出原命题的否定命题，可判断②；举出反例a=1，b=﹣1，可判断③；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断④．【解答】解：方程的△=4﹣12＜0，故方程无实根，故①?x0∈R，使为假命题；②命题“?x0∈R，lgx0＞0”的否定是“?x∈R，lgx≤0”，故②为假命题；③如果a=1，b=﹣1∈R，则a＞b，但a2=b2，故③为假命题；④“若α=β，则sinα=sinβ”为真命题，故其逆否命题为真命题，故④为真命题．故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了特称命题，方程根的存在性及个数判断，不等式与不等关系，三角函数的定义等知识点，难度中档．2.参考答案：A3.若x，y满足，则的最大值为（）A.0 B.3 C.4 D.5参考答案：C试题分析：由图可得在处取得最大值，由最大值，故选C.考点：线性规划.【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.4.（09年聊城一模理）给定下列结论：①已知命题p：；命题q：则命题“”是假命题；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；④函数与函数互为反函数.正确的个数是（

）A．1

B．2 C．3 D．4参考答案：答案：C5.二项式的展开式中的常数项为A.120 B. C.160 D.参考答案：D6.已知函数（，），其图像与直线相邻两个交点的距离为，若对于任意的恒成立，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C7.函数（）的反函数是（

）

（A）（）

（B）（）（C）（）

（D）（)参考答案：A8.经过圆上上一点，且与圆相切的直线方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d参考答案：A【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案【解答】解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：A．10.已知向量，，且，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图像如图所示，则 。参考答案：012.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=____D____A.

B.

C.

D.参考答案：D选D13.已知单位向量，满足，则向量与向量的夹角的大小为__________．参考答案：【分析】根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为1，代值计算即可.【详解】因为，均是单位向量，故可得，故可得，即，解得，又因为向量夹角的范围为，故的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.14.三角形ABC中，角A.B.C对应的边分别为a.b.c，已知，，则____________.参考答案：2略15.已知，定义.经计算，……，照此规律，则_____.参考答案：略16.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心，若GI∥x轴，则的外接圆半径R=

.参考答案：517.已知抛物线上有三个不同的点A、B、C，抛物线的焦点为F，且满足，若边BC所在直线的方程为，则p=______；参考答案：8【分析】将直线的方程代入抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合直线与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，结合根与系数的关系利用，即可求得值，从而解决问题．【详解】由可得．由△，有，或．设，，，，则，设，，抛物线的焦点为，且满足，，，，，，点在抛物线上，，.故答案为：8．【点睛】本题考查向量与解析几何问题的交会、抛物线的焦半径公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的坐标运算.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的反函数为，各项均为正数的两个数列满足：，其中为数列的前项和，。（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和为，且，试比较与的大小。参考答案：解：（1）由，得

∴

由，得

当时，得

当时，

∴

∴，∵＞0

∴

∴（2）

∴＜19.在△ABC中，B（一，0），C（），动点A满足sinC-sinBsinA．

（1）求顶点A的轨迹方程5

（2）设D（-2，O），E（2，0），直线f的方程为x=2，直线l与直线AD交于Q点，试在x轴上求一点T，使AE⊥QT．参考答案：20.几何证明选讲如图，Δ是内接于圆，,直线切于点，弦，与相交于点．（Ⅰ）求证：≌；（Ⅱ）若求．参考答案：证明：（Ⅰ）∵MN是切线，且∥∴，即∴∵∴≌

-----------------------5分（Ⅱ）在和中，∵，是公共角,∴∽

------------------7分∴,即∵,

∴∴

------------------------------10分

略21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），把曲线C向左平移2个单位，再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半（横坐标不变），得到曲线C1，直线l的普通方程是，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的极坐标方程和曲线C1的普通方程；（2）记射线与C1交于点A，与l交于点B，求的值.参考答案：（1）,；（2）.【分析】（1）先消去参数得到曲线的普通方程，然后根据变换得到曲线的普通方程；根据直角坐标与极坐标的互化公式，即可得到直线的极坐标方程.（2）先求出曲线的极坐标方程，然后将射线方程分别代入曲线和直线的极坐标方程，求出，从而利用距离公式即可求出.【详解】(1)曲线C的普通方程为：，经过变换后得到的方程为：，即的普通方程为：.直线的极坐标方程为：，即：.(2)由(1)可求的极坐标方程为：，令解得：，即：，∴，同理直线的极坐标方程中令有：，故.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，坐标变换，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及在极坐标系下两点间距离问题，属于中档题.在极坐标系下两点间距离问题，如果过两点的直线经过极点，则可用公式进行求解.22.（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标为，曲线的参数方程为（为参数）．（1）求直线的直角坐标方程；（2）求点到曲线上的点的距