江西省上饶市四十八中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

江西省上饶市四十八中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若变量满足，则关于的函数图象大致是（

）参考答案：B2.已知集合，则A∪B=（

）A．(－2,+∞)

B．(－2,2)

C.(1,2)

D．(2,+∞)参考答案：A3.设x,y满足

（

）（A）有最小值2，最大值3

（B）有最小值2，无最大值（C）有最大值3，无最小值

（D）既无最小值，也无最大值参考答案：B4.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.(

)A． B． C． D．参考答案：B略6.函数f（x）=ex+x﹣4的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用函数零点的判定定理、函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵f（1）=e﹣3＜0，f（2）=e2﹣2＞0，∴f（1）f（2）＜0，∴有一个零点x0∈（1，2）．又函数f（x）单调递增，因此只有一个零点．故选：C．7.函数在区间［0，］上的零点个数为（

）A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B8.空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

（

）A.

B.C.

D.参考答案：A9.△ABC中，若，，则=(

)A． B． C． D．参考答案：B略10.若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知复数

()的模为,则的最大值是

.参考答案：由题意知，即，所以对应的圆心为，半径为。设，则。当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得，所以由图象可知的最大值是。12.（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中x2项的系数为．（用数字作答）参考答案：25【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x﹣1）5按照二项式定理展开，可得（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中x2项的系数．【解答】解：∵（x﹣2）?（x﹣1）5=（x﹣2）?（x5﹣?x4+?x3﹣?x2+?x﹣），故展开式中x2项的系数为+2=25，故答案为：25．13.已知向量，满足：，，，则_____．参考答案：3【分析】由题意结合平行四边形的性质可得的值.【详解】由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：，即：，据此可得：.【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.在正三棱锥V﹣ABC内，有一个半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积的最小时，其底面边长为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由于正三棱锥的侧面为全等的等腰三角形，故侧面与球的切点在棱锥的斜高上，利用等积法得出棱锥的高与棱锥底面边长的关系，得出棱锥的体积关于高h的函数V（h），利用导数与函数的最值得关系计算V（h）的极小值点，然后转化为底面边长得答案．【解答】解：设△ABC的中心为O，取AB中点D，连结OD，VD，VO，设OD=a，VO=h，则VD==．AB=2AD=2a．过O作OE⊥VD，则OE=2，∴S△VOD=OD?VO=VD?OE，∴ah=2，整理得a2=（h＞2）．∴V（h）=S△ABC?h=××a2h=a2h=．∴V′（h）=4×=4×．令V′（h）=0，得h2﹣12=0，解得h=2．当2＜h＜2时，V′（h）＜0，当h＞2时，V′（h）＞0，∴当h=2，即a=，也就是AB=时，V（h）取得最小值．故答案为：．【点评】本题考查了球与外切多面体的关系，棱锥的体积计算，导数与函数的最值，属于中档题．15.设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn（x）=．参考答案：略16.若实数x，y满足x+y﹣4≥0，则z=x2+y2+6x﹣2y+10的最小值为

．参考答案：18【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用配方得到z的几何意义，作出不等式对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：z=x2+y2+6x﹣2y+10=（x+3）2+（y﹣1）2，则z的几何意义为区域内的点到点D（﹣3，1）的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，当BD垂直直线x+y﹣4=0时，此时BD的距离最小，最小值为点D到直线x+y﹣4=0的距离d==，则z=（）2=18，故答案为：18【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合数形结合是解决本题的关键．17.f（x）=，则不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集是

．参考答案：{x|﹣≤x≤}【考点】一元二次不等式的解法．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据分段函数f（x），讨论x≥2与x＜2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0的解集情况，求出对应的解集即可．【解答】解：∵f（x）=，∴当x≥2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化为x2﹣1+x﹣2≤0，即x2+x﹣3≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，此时不等式的解不满足条件；当x＜2时，不等式x2﹣f（x）+x﹣2≤0化为x2+1+x﹣2≤0，即x2+x﹣1≤0，解得﹣≤x≤，又＜2，∴此时不等式的解满足条件；综上，原不等式的解集是{x|﹣≤x≤}．故答案为：{x|﹣≤x≤}．【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数满足，对于任意都有，且，令.（1）求函数的表达式；（2）函数在区间上有两个零点，求的取值范围.参考答案：(1)；(2).（2）①当时，可知函数在区间上单调递增，又，，故函数在区间上只有一个零点，②当时，则，而，，，（ⅰ）若，由于，且，此时，函数在区间上只有一个零点；（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间上有两个不同的零点，综上所述，当时，函数在区间上有两个不同的零点.考点：二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用．【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式.然后再借助题设函数在区间上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数的取值范围,从而使得问题获解.19.已知命题：方程在上有解，命题：函数的值域为，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围．参考答案：．试题分析：对方程进行因式分解，得出方程的根（用表示出）．利用其根在上，得出关于的不等式，求出当命题为真时的取值范围；利用相应的二次方程的判别式等于0得出关于的方程，求出的取值范围；再根据命题“或”是假命题，得出的取值范围即可．试题解析：若命题为真，则，显然，或

故有或，若命题为真，就有，或命题“或”为假命题时，．考点：四种命题的真假关系；一元二次不等式的解法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．20.（本小题满分14分）在中，内角，，所对的边分别为，已知（1）求角的大小；（2）已知，的面积为6，求边长的值.参考答案：（1）由已知得，化简得，故，所以，因为，所以.（2）因为，由，，，所以，由余弦定理得，所以.

21.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，过点A作圆的切线交BC的延长线于点F．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）若BD=4CD=4CF=8，求△ABC的外接圆的半径．参考答案：【考点】相似三角形的判定．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）证明三角形中两对对应角相等，即可证明结论；（2）利用切割线定理，结合三角形相似的性质，即可求△ABC的外接圆的半径．【解答】（1）证明：∵AE是直径，∴…（1分）又∵∠AEB=∠ACD…（2分）∴△ABE∽△ADC…（4分）（2）解：∵过点A作圆的切线交BC的延长线于点F，∴AF2=FC?FB∴FA=2，…（5分）∴AD=2…（7分）∴AC=2…（8分）∴AB=6，…（9分）由（1）得∴AE=6∴△ABC的外接圆的半径为3．…（10分）【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=DC=DD1，过A1、B、C1三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，E、F分别为A1B、BC1的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）由三角形中位线定理得EF∥A1C1，由平行公理得EF∥AC，由此能证明EF∥平面ABCD．（Ⅱ）以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的一个法向量和平面A1BC1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面A1BC1与平面ABCD的夹角θ的余弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵在△A1BC1中，E、F分别为A1B、BC1的中点，∴EF∥A1C1，∵在ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∥A1C1，∴EF∥AC，∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．…（Ⅱ）解：以D为坐标轴原点，以DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设AD=DC==1，则A（1，0，0），