天津南开光明中学 2022年高三数学文期末试题含解析

天津南开光明中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是A．cm3

B．cm3

C．cm3

D．cm3参考答案：D2.设函数的图像关于直线

对称,它的周期是,则

（

）

A．的图象过点

B.在上是减函数C.的一个对称中心是ks5uD.将的图象向右平移个单位得到函数的图象.

参考答案：C略3.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是

(A)(B)(C)a2>b2(D)a3>b3参考答案：A本题主要考查了不等式的基本性质，难度很低。即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A.4.设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．【详解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分条件，故选：C．【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．5.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则△的面积为

（A）4

（B）8

（C）16

（D）32参考答案：D双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为，所以，即。所以抛物线方程为，焦点,准线方程，即,设,过A做垂直于准线于M,由抛物线的定义可知,所以,即,所以，整理得，即，所以，所以,选D.6.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（

）A．

B．

C．D．

参考答案：A略7.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列命题中的真命题是（）①将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；②将函数f（x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；③当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为；④当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据已知函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，0）代入解析式，可求出φ值，进而求出函数的解析式．利用三角函数图象变换及正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．【解答】解：由函数图象可得：A=，周期T=﹣（﹣），可得：T=，可得：ω=2，由点（，）在函数的图象上，可得：sin（2×+φ）=，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，由于|φ|＜，当k=0时，可得φ=﹣，从而得解析式可为：f（x）=sin（2x﹣），对于①，将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），将（0，0）代入不成立，故错误；对于②，将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin2x，由正弦函数的性质可知正确；当x∈[，π]时，可得：2x﹣∈[，]，故函数f（x）的最大值为f（x）max=sin=，故C错误，D正确．故选：C．8.如图：M（xM，yM），N（xN，yN）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|xN﹣xM|，则S（m）图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合，故选：C．9.已知函数f（x）是定义在R上的最小正周期为3的奇函数，当x∈（﹣，0），f（x）=log2（1﹣x），则f+f+f+f=(

)A．0 B．1 C．﹣1 D．2参考答案：C【考点】函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】先利用函数的周期性及奇偶性，把自变量转化到区间x∈（﹣，0），即可求出函数的值．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的最小正周期为3，∴f+f+f+f=f（670×3+1）+f（671×3﹣1）+f（671×3）+f（671×3+1）=2f（1）+f（﹣1）+f（0），又已知函数f（x）是定义在R上奇函数，∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），又∵当x∈（﹣，0），f（x）=log2（1﹣x），∴f（﹣1）=log2[1﹣（﹣1）]=log22=1，∴f（1）=﹣1，∴f+f+f+f=2×（﹣1）+1+0=﹣1．故选C．【点评】本题综合考查了函数的奇偶性及周期性，准确理解函数的奇偶性及周期性的定义是解决问题的关键．10.已知等差数列数列{an}满足an+1+an=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据an+1+an=4n，写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．【解答】解：∵数列{an}是等差数列，且an+1+an=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3﹣a1=8﹣4=4，∵数列{an}是等差数列∴2d=4，即d=2，则a2+a1=4即2a1+d=4解得a1=1．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数有且只有2个不同零点，则实数k的取值范围是_____.参考答案：试题分析：当时，；故1是函数的零点；故当时，有且只有1个零点，而故没有零点；若则，故没有零点时，

12.下图展示了一个由区间（0,1）到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3．图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作．

下列说法:①；②是奇函数;

③在定义域上单调函数;④的图象关于点

对称．

其中正确命题的序号是

．（写出所有正确命题的序号）参考答案：13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为

.参考答案：略14.设函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为．参考答案：π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，这旋转一周所得旋转体是由一个半球与一个圆锥组成，求出半球的体积与圆锥的体积即可得到结果．解答：解：由题意可知函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体是由一个半球与一个圆锥组成，球的半径为：1，圆锥的底面半径为1，高为1，所以所求几何体的体积为：=π．故答案为：π点评：本题考查旋转体的体积的求法，判断几何体的性质是解题的关键，注意准确利用公式进行计算．15.由不等式组所确定的平面区域的面积为______________参考答案：16.某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．参考答案：300【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．17.已知等差数列

的前n的和为，且,则取得最大值时的n=

.参考答案：20由得。由，得，所以解得。所以，由得，，所以当，，所以前20项之和最大，此时。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图7，已知圆外有一点，作圆的切线，为切点，过的中点，作割线，交圆于、两点，连接并延长，交圆于点，连交圆于点，若．（1）求证：△∽△；（2）求证：四边形是平行四边形．参考答案：证明：（Ⅰ）∵是圆的切线，是圆的割线，是的中点，∴

∴又∵

∴∽，∴

即∵∴∴∴∽．

…………………（5分）（Ⅱ）∵，∴，即，∴，∵∽，∴，∵是圆的切线，∴，∴，即∴∴四边形是平行四边形．

…………（10分）19.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，，，成等比数列。（1）求数列{an}的通项公式；（2）求的前n项和参考答案：（1）；（2）分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意列出方程组，求出公差和首项的值，即可得到数列{an}的通项公式；（2）由（1）求出，利用裂项相消求出和．详解：（1）设的公差为,则由成等比数列，得，化得∵，∴解得，∴，（2）由（1）的∴令的前n项和为∴点睛：点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.20.(本题满分12分）

已知数列{}的前n项和Sn＝.

（I）求数列{}的通项公式；

（II）设，求。参考答案：（Ⅰ）a1＝S1＝(81－1)＝2．

…1分当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(8n－1)－(8n－1－1)＝23n－2．当n＝1时上式也成立，所以an＝23n－2（n∈N*）．

…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝log223n－2＝3n－2，

…7分所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝．

…12分

21.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线为圆的切线，切点为，直径，连接交于点.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求证：． 参考答案：证明：(1)∵直线PA为圆O的切线,切点为A∴∠PAB=∠ACB…………2分∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°∴∠ACB=90°-B∵OB⊥OP,∴∠BDO=90°-B……………4分又∠BDO=∠PDA,∴∠PAD=∠PDA=90°-B∴PA=PD…………………5分(2)连接OA,由(1)得∠PAD=∠PDA=∠ACO∵∠OAC=∠ACO∴ΔPAD∽ΔOCA………8分∴=

∴PA×AC=AD×OC………10分略22.即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通。根据测算，如果一列火车每次拖4节车厢，每天能来