吉林省长春市万金塔乡中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析

吉林省长春市万金塔乡中学2021-2022学年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是（

）A． B． C． D．参考答案：B对于A:函数在递减，不合题意；对于B:是偶函数且在递增，符合题意；对于C：是周期函数，在不单调，不合题意；对于D：此函数不是偶函数，不合题意；2.已知e是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式成立的是（

)A．

B．C．D．参考答案：D易知函数f（x）=ex+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；3.已知集合A={x∈Z|-1≤x≤2},集合B={y|y=},则A∩B=(

)A.{-1,0,1}

B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2}

D.参考答案：A4.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(

) A． B． C．y=3x﹣3 D．参考答案：A考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．分析：先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．解答： 解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°∴两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选A．点评：本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．5.设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能是（

）参考答案：C6.设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：B【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2由=1得：由积化和差公式得：整理得：=∴sin（3d）=-1．

∵d∈（-1，0），∴3d∈（-3，0），则3d=-，d=-．

由Sn=na1+=na1+=-+对称轴方程为n=(a1+)，由题意当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，

∴＜(a1+)＜，解得＜a1＜．

∴首项a1的取值范围是(,)．【思路点拨】利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围．7.有下列四个命题：

p1：；

p2：已知a>0，b>0，若a+b=1，则的最大值是9；

p3：直线过定点(0，-l)；

p4：区间是的一个单调区间．

其中真命题是

(A)p1,p4

(B)p2,p3

(c)p2,p4

(D)p3,p4参考答案：8.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（

）

A．20

B．30

C．40

D．50

参考答案：答案：C9.函数的图象是（

）参考答案：A10.已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与c的夹角为60°，|b|＝|a|，则a与b的夹角为

（A）30° （B）150° （C）60° （D）120°参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在点处的切线方程为______________.参考答案：【分析】求出原函数导函数，得到函数在时的导数，再由直线方程点斜式得答案．【详解】解：由，得，，曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题．12.在ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD=，∠ADB=1350，若AC=AB，则BD=

.参考答案：作AH⊥BC于H,则则.又,所以，即,，，所以，即，整理得，即，解得或（舍去）.13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，当tan（A﹣B）取最大值时，角C的值为．参考答案：考点： 两角和与差的正切函数；正弦定理的应用．

专题： 压轴题；三角函数的求值．分析： 利用正弦定理及诱导公式化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系弦化切后得到tanA=3tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A﹣B），将tanA=3tanB代入，利用基本不等式变形，求出tan（A﹣B）取得最大值时tanA与tanB的值，进而确定出A与B的度数，即可此时得到C的度数．解答： 解：利用正弦定理化简已知的等式得：sinAcosB﹣sinBcosA=sinC=sin（A+B）=（sinAcosB+cosAsinB），整理得：sinAcosB=3cosAsinB，两边除以cosAcosB得：tanA=3tanB，则tan（A﹣B）===，∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，∴3tanB+≥2，当且仅当3tanB=，即tanB=时取等号，∴tanA=3tanB=，∴A=，B=，则C=．故答案为：点评： 此题考查了两角和与差的正切函数公式，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．14.若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）．已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是__

_．参考答案：.15.如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为

;

参考答案：略16.设函数f（x）=3x+9x，则f（log32）=．参考答案：6【分析】利用对数换底公式直接求解．【解答】解：∵函数f（x）=3x+9x，∴f（log32）==2+=2+4=6．故答案为：6．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数换底公式的合理运用．17.如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方程写成的形式，则

。

参考答案：设直线上的任一点为P,因为,所以,根据正弦定理得,即，即。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.对于函数定义域内的任意x，存在常数a，b（），使得

恒成立，则函数的图象关于点P（a，b）对称，

已知函数（I）求证：存在定点M，使得函数图象关于点M对称，并求出点M的坐标；（II）定义，求的表达式，并求除以31的余数；（III）对于（II）中的求证：对于任意都有

.参考答案：解：（I）设，则由（常数）对任意x恒成立，则，解得，所以，存在定点，使得函数图像关于点对称。………………4分（II）由（I）得，…………5分又①得②①+②得

，所以

，…7分∵，∴……从而可知除以31的余数为1.……9分（III）当时，由（II）知：，故要证：对于任意都有则只需证：对于任意都有…………10分构造函数,则显然：在上恒成立，所以在为增函数，且所以：，即在上恒成立，取，则有：所以原不等式得证。…………14分略19.（本小题满分10分）己知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系．在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为．(1)写出曲线的直角坐标方程和直线，的参数方程；(2)设直线，与曲线相交于两点，求的值.参考答案：20.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的总建造费用为千元.（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用.（参考公式：球的表面积公式，球的体积公式，圆柱体的侧面积公式，圆柱体的体积公式）参考答案：（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得所以圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为所以又，所以定义域为（Ⅱ）因为所以令得；令得所以当时，该容器的建造费用最小为千元，此时：略21.已知直线l的极坐标方程为，圆C的参数方程为为参数）．（1）请分别把直线l和圆C的方程化为直角坐标方程；（2）求直线l被圆截得的弦长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；坐标系和参数方程．【分析】（1）展开两角差的正弦，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得到直线l的直角坐标方程，两式平方作和消去θ得到圆的普通方程；（2）求出圆心到直线的距离，利用弦心距、圆的半径及弦长的关系求得答案．【解答】解：（1）由，得，∴y﹣，即．圆的方程为x2+y2=100．（2）圆心（0，0）到直线的距离d=，y=10，∴弦长l=．【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了弦心距、圆的半径及弦长的关系，是基础题．22.已知点是函数的图象上一点，等比数列的前项和为数列的首项为，且前项和满足（1）数列，的通项公式；（2）若数列的前项和为，问的最小