二年级数学 高中新课程数学新课标人教A版选修简单的逻辑

通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义．会判断“p∧q”，“p∨q”，“

p”命题的真假．1.3.1且(and)1.3.2或(or)1.3.3非(not)1.3

简单的逻辑联结词【课标要求】1．2．¬1．判断“p∧q”，“p∨q”，“

p”的真假．(重点)2．逻辑联结词“或”的含义．(难点)

【核心扫描】¬用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作_____，读作_______．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作_____，读作_______．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作___，读作_____或__________．自学导引1．p∧q“p且q”p∨q“p或q”“非p”“p的否定”p¬含有逻辑联结词的命题的真假判断pqp∨qp∧q綈p真真_________真假_________假真_________假假_________2．真真假真假假真假真假假真想一想：如果“p∧q”为真命题，那么“p∨q”一定是真命题吗？反之，如果“p∨q”为真命题，那么“p∧q”一定是真命题吗？提示如果“p∧q”为真命题，那么p和q都是真命题，所以“p∨q”一定是真命题；反之，如果“p∨q”为真命题，那么p和q可能都是真命题，也有可能一真一假，所以“p∧q”不一定是真命题．对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解联结词“且”与日常用语中的“且”含义一致，表示“并且”“同时”的意思，联结词“或”与日常用语中的“或”不完全一致，日常用语中的“或”往往表示二者取其一，带有“不可兼有”的意思；而逻辑用语中的“或”含有“同时兼有”的意思，如“p或q为真”包含三层意思：①p真而q假；②p假而q真；③p真且q真，即两者中至少要有一个成立．联结词“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等．名师点睛1．对联结词“且”“或”“非”含义的理解也可类比集合中“交”“并”“补”的含义理解：设A＝{x|x满足命题p}，B＝{x|x满足命题q}，U为全集，则p∧q对应于A∩B，p∨q对应于A∪B，p对应于∁UA.命题的否定与否命题的区别命题的否定与否命题是两个不同的概念，区别是：①概念：命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题是对原命题的条件和结论分别否定后组成的新命题．

2．¬②构成：对于“若p，则q”形式的命题，其否定一般为“若p，则q”，也就是不改变条件，只否定结论；而其否命题则为“若p，则q”，即否定命题的条件，又否定命题的结论．③真假：命题的否定的真假与原命题的真假相反；而否命题的真假与原命题的真假无关．¬¬¬题型一含逻辑联结词的命题的构成指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形；(3)矩形不是平行四边形．[思路探索]解答本题应先进行命题结构分析，再写出每个简单命题．【例1】解

(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数．(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形．(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：矩形是平行四边形．规律方法(1)正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解题的关键．(2)有些命题并不一定包含“或”“且”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义进行正确的命题构成的判定．

分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“

p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．解

(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．【变式1】¬¬¬指出下列命题的构成形式并判断命题的真假：(1)等腰三角形底边上的中线既垂直于底边，又平分顶角；(2)(A∩B）A；(3)1是素数或是方程x2＋3x－4＝0的根；(4)1既不是素数，又不是方程x2＋3x－4＝0的根．[思路探索]分解命题p∨q，p∧q或綈p形式中的p，q，先判断p、q的真假，再判断新命题的真假．题型二

判断含逻辑联结词命题的真假【例2】解

(1)是p∧q形式，其中p：等腰三角形底边上的中线垂直于底边；q：等腰三角形底边上的中线平分顶角．因为p真、q真，所以p∧q真．所以该命题是真命题．(2)这是綈p形式，其中p：(A∩B)⊆A是真命题，所以綈p假，故该命题是假命题．(3)这是p∨q形式命题．其中p：1是素数；q：1是方程x2＋3x－4＝0的根，因为p假q真，所以p∨q真，故该命题是真命题．(4)这是綈p∧綈q形式．其中p：1是素数，q：1是方程x2＋3x－4＝0的根，∵p假q真，∴綈p真，綈q假，∴綈p∧綈q假．故该命题是假命题．规律方法判断含逻辑联结词的命题的真假的步骤：(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”，“p∨q”，“綈p”的真假．p∧q为真⇔p和q同时为真，p∨q为真⇔p和q中至少一个为真，綈p为真⇔p为假．

分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．(1)p：6<6，q：6＝6；(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分；(3)p：函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点；q：不等式x2＋x＋2<0无解；(4)p：函数y＝cosx是周期函数．q：函数y＝cosx是奇函数．【变式2】解(1)∵p为假命题，q为真命题．∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，p为真命题．(2)∵p为假命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，

p为真命题．(3)∵p为真命题，q为真命题，∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，

p为假命题．(4)∵p为真命题，q为假命题，∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，

p为假命题．¬¬¬¬(12分)设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．审题指导

题型三

逻辑联结词的应用【例3】[规范解答]对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解这个不等式得：－3<a<1. 2分对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0. 4分又p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p、q必是一真一假. 7分当p真q假时，有－3<a≤0；当p假q真时，有a≥1.10分综上所述，a的取值范围是(－3，0]∪[1，＋∞).12分【题后反思】(1)正确理解“且”“或”“非”的含义是解此类题的关键，由p∧q为假知p，q中至少一假，由p∨q为真知p，q至少一真．(2)充分利用集合的“交，并，补”与“且，或，非”的对应关系理解题意，特别注意“p假”时，可从綈p为真求a的范围，或利用补集思想，求“p真”时a的集合的补集．

已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．解命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于【变式3】对于逻辑联结词“非”有：若p是真命题，则綈p是假命题；若p是假命题，则綈p是真命题．设U为全集，P⊆U，若a∈P，则a∉∁UP；若a∉P，则a∈∁UP，所以命题的“非”恰好与集合中的“补”对应，因此在解决正面较难解决的问题时，常将命题间的关系转化为集合间的关系，利用补集的思想解决．

方法技巧补集思想的应用下列三个不等式：①|x－1|＋|x＋4|<a；②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；【示例】[思路分析]“至多两个”的否定是“至少三个”，故可以先求三个不等式的解集都是空集时，实数a的取值范围，然后再求其补集．解对于①，因为|x