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文档简介
函数与方程、不等式之间的关系【第1课时】函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系【教学目标】【核心素养】1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系.(难点)2.会求函数的零点.(重点)3.掌握函数与方程、不等式之间的关系,并会用函数零点法求不等式的解集.(重点、难点)1.借助函数零点概念的理解,培养数学抽象的素养.2.通过函数与方程、不等式之间的关系的学习,提升逻辑推理的素养.3.利用零点法求不等式的解集,培养数学运算的素养.【教学过程】一、新知初探1.函数的零点(1)函数零点的概念:一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称实数α为函数y=f(x)的零点.(2)三者之间的关系:函数f(x)的零点⇔函数f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根.2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系(1)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是函数f(x)=ax2+bx+c的零点.(2)ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为正数的自变量x的取值集合;ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为负数的自变量x的取值集合.3.图像法解一元二次不等式的步骤(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程;(2)求出其对应的二次函数的零点;(3)画出二次函数的图像;(4)结合图像写出一元二次不等式的解集.二、初试身手1.函数y=1+eq\f(1,x)的零点是()A.(-1,0) B.x=-1C.x=1 D.x=0答案:B解析:令1+eq\f(1,x)=0解得x=-1,故选B.2.根据表格中的数据,可以断定方程ex-(x+2)=0(e≈2.72)的一个根所在的区间是()x-10123ex0.3712.727.4020.12x+212345A.(-1,0) B.(0,1)C.(1,2) D.(2,3)答案:C解析:令f(x)=ex-(x+2),则f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.40-4=3.40>0.由于f(1)·f(2)<0,∴方程ex-(x+2)=0的一个根在(1,2)内.3.若f(x)=-x2+mx-1的函数值有正值,则m的取值范围是()A.m<-2或m>2 B.-2<m<2C.m≠±2 D.1<m<3答案:A解析:∵f(x)=-x2+mx-1有正值,∴Δ=m2-4>0,∴m>2或m<-2.4.不等式eq\f(1+x,1-x)≥0的解集为________.答案:[-1,1)解析:原不等式等价于(x+1)(x-1)≤0,且x-1≠0,∴-1≤x<1.三、合作探究类型1:函数的零点及求法例1:求函数f(x)=x3-7x+6的零点.解:令f(x)=0,即x3-7x+6=0,∴(x3-x)-(6x-6)=0,∴x(x-1)(x+1)-6(x-1)=(x-1)·(x2+x-6)=(x-1)(x-2)(x+3)=0,解得x1=1,x2=2,x3=-3,∴函数f(x)=x3-7x+6的零点是1,2,-3.规律方法求函数y=f(x)的零点通常有两种方法:一是令y=0,根据解方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是画出函数y=f(x)的图像,图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.跟踪训练1.如图所示是一个二次函数y=f(x)的图像.(1)写出这个二次函数的零点;(2)试比较f(-4)·f(-1),f(0)·f(2)与0的大小关系.解:(1)由图像可知,函数f(x)的两个零点分别是-3,1.(2)根据图像可知,f(-4)·f(-1)<0,f(0)·f(2)<0.类型2:二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系例2:利用函数求下列不等式的解集:(1)x2-5x-6>0;(2)(2-x)(x+3)<0;(3)4(2x2-2x+1)>x(4-x).解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图像知,原不等式的解集为(-∞,-1)∪(6,+∞).(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图像知,原不等式的解集为(-∞,-3)∪(2,+∞).(3)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2,即9x2-12x+4>0.解方程9x2-12x+4=0,解得x1=x2=eq\f(2,3).结合二次函数y=9x2-12x+4的图像知,原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3),+∞)).规律方法利用函数求不等式解集的基本步骤1.把一元二次不等式化成一般形式,并把a的符号化为正;2.计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ;3.求其对应一元二次方程的根;4.写出解集大于取两边,小于取中间.跟踪训练2.利用函数求下列不等式的解集:(1)2x2+7x+3>0;(2)-x2+8x-3>0;(3)x2-4x-5<0;(4)-4x2+18x-eq\f(81,4)>0.解:(1)对于方程2x2+7x+3=0,因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不相等的实数根,x1=-3,x2=-eq\f(1,2).又因为二次函数y=2x2+7x+3的图像开口向上,所以原不等式的解集为(-∞,-3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),+∞)).(2)对于方程-x2+8x-3=0,因为Δ=82-4×(-1)×(-3)=52>0,所以方程-x2+8x-3=0有两个不相等的实数根,x1=4-eq\r(13),x2=4+eq\r(13).又因为二次函数y=-x2+8x-3的图像开口向下,所以原不等式的解集为(4-eq\r(13),4+eq\r(13)).(3)原不等式可化为(x-5)(x+1)<0,所以原不等式的解集为(-1,5).(4)原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(9,2)))2<0,所以原不等式的解集为∅.类型3:用函数零点法求一元高次不等式的解集例3:求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集.解:函数的零点为-3,1,2.函数的定义域被这三个点分成四部分,每一部分的符号如下表所示.x(-∞,-3)(-3,1)(1,2)(2,+∞)f(x)-+-+由此可以画出此函数的示意图如图.由图可知,f(x)≥0的解集为[-3,1]∪[2,+∞),f(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(1,2).规律方法解题步骤:1.求出零点;2.拆分定义域;3.判断符号;4.写出解集.注意判断符号的方法,将最高项的系数化为正数,最右边的区间内为正,然后往左依次负正相间.跟踪训练3.求函数f(x)=(1-x)(x-2)(x+2)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集.解:函数的零点为-2,1,2.函数的定义域被这三个点分成四部分,每一部分的符号如下表所示.x(-∞,-2)(-2,1)(1,2)(2,+∞)f(x)+-+-由此可以画出此函数的示意图如图.由图可知,f(x)≥0的解集为(-∞,-2]∪[1,2],f(x)<0的解集为(-2,1)∪(2,+∞).四、课堂小结1.方程f(x)=g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标,也是函数y=f(x)-g(x)的图像与x轴交点的横坐标.2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系(1)ax2+bx+c=0(a≠0)的解是函数f(x)=ax2+bx+c的零点.(2)ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是使f(x)=ax2+bx+c的函数值为正数的自变量x的取值集合;ax2+bx+c<0(a≠0)的解集是f(x)=ax2+bx+c的函数值为负数的自变量x的取值集合.3.图像法解一元二次不等式的步骤(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程;(2)求出其对应的二次函数的零点;(3)画出二次函数的图像;(4)结合图像写出一元二次不等式的解集.五、当堂达标1.下列图像表示的函数中没有零点的是()答案:A解析:B,C,D的图像均与x轴有交点,故函数均有零点,A的图像与x轴没有交点,故函数没有零点.2.方程5x2-7x-1=0的根所在的区间是()A.(-1,0)B.(1,2)C.一个根在(-1,0)上,另一个根在(1,2)上D.一个根在(0,1)上,另一个根在(-2,-1)上答案:C解析:∵f(-1)·f(0)<0,f(1)·f(2)<0,∴选C.3.函数f(x)=x-eq\f(1,x)零点的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:C解析:令x-eq\f(1,x)=0,即x2-1=0,∴x=±1.∴f(x)=x-eq\f(1,x)的零点有两个.4.函数f(x)=(x2-1)(x+2)2(x2-2x-3)的零点个数是________.答案:4解析:f(x)=(x+1)(x-1)(x+2)2(x-3)(x+1)=(x+1)2(x-1)(x+2)2(x-3).可知零点为±1,-2,3,共4个.【第2课时】零点的存在性及其近似值的求法【教学目标】【核心素养】1.掌握函数零点的存在性定理,并会判断函数零点的个数.(重点)2.了解二分法是求方程近似解的常用方法,掌握二分法是求函数零点近似解的步骤.(难点)3.理解函数与方程之间的联系,并能用函数与方程思想分析问题、解决问题.(重点、难点)1.通过存在性定理的学习,培养逻辑推理的素养.2.通过二分法的学习,提升数据分析,数学建模的学科素养.3.理解函数与方程之间的联系,提升数学抽象的学科素养.【教学过程】一、新知初探1.函数零点的存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间[a,b]中至少有一个零点,即∃x0∈[a,b],f(x0)=0.2.二分法的定义(1)二分法的条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0.(2)二分法的过程:通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法,称为二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,也可以用二分法求方程的近似解.3.用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε,用二分法求函数f(x)在[a,b]上的零点近似值的步骤是:第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x1=eq\f(a+b,2),计算结束;如果不成立,转到第二步.第二步:计算区间[a,b]的中点eq\f(a+b,2)对应的函数值,若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))=0,取x1=eq\f(a+b,2),计算结束;若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))≠0,转到第三步.第三步若f(a)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))<0,将eq\f(a+b,2)的值赋给beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(用\f(a+b,2)→b表示,下同)),回到第一步;若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))f(b)<0,将eq\f(a+b,2)的值赋给a,回到第一步.二、初试身手1.下列函数不宜用二分法求零点的是()A.f(x)=x3-1 B.f(x)=lnx+3C.f(x)=x2+2eq\r(2)x+2 D.f(x)=-x2+4x-1答案:C解析:因为f(x)=x2+2eq\r(2)x+2=(x+eq\r(2))2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.2.若函数f(x)在区间[a,b]上为单调函数,且图像是连续不断的曲线,则下列说法中正确的是()A.函数f(x)在区间[a,b]上不可能有零点B.函数f(x)在区间[a,b]上一定有零点C.若函数f(x)在区间[a,b]上有零点,则必有f(a)·f(b)<0 D.若函数f(x)在区间[a,b]上没有零点,则必有f(a)·f(b)>0答案:D解析:函数f(x)在区间[a,b]上为单调函数,如果f(a)·f(b)<0,可知函数在(a,b)上有一个零点,如果f(a)·f(b)>0,可知函数在[a,b]上没有零点,所以函数f(x)在区间[a,b]上可能没有零点,也可能有零点,所以A不正确;函数f(x)在区间[a,b]上可能有零点,也可能没有零点;所以B不正确;若函数f(x)在区间[a,b]上有零点,则可能f(a)·f(b)<0,也可能f(a)·f(b)=0所以C不正确;若函数f(x)在区间[a,b]上没有零点,则必有f(a)·f(b)>0,正确;故选D.]3.用“二分法”可求近似解,对于精确度ε说法正确的是()A.ε越大,零点的精确度越高B.ε越大,零点的精确度越低C.重复计算次数就是εD.重复计算次数与ε无关答案:B解析:依“二分法”的具体步骤可知,ε越大,零点的精确度越低.4.若函数f(x)的图像是连续不断的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,则下列命题正确的是________.①函数f(x)在区间(0,1)内有零点;②函数f(x)在区间(1,2)内有零点;③函数f(x)在区间(0,2)内有零点;④函数f(x)在区间(0,4)内有零点.答案:④解析:∵f(0)>0,而由f(1)·f(2)·f(4)<0,知f(1),f(2),f(4)中至少有一个小于0.∴(0,4)上有零点.三、合作探究类型1:判断函数零点所在的区间例1:求证:方程x4-4x-2=0在区间[-1,2]内至少有两个实数解.证明:设f(x)=x4-4x-2,其图像是连续曲线.因为f(-1)=3>0,f(0)=-2<0,f(2)=6>0,所以方程在(-1,0),(0,2)内都有实数解.从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解.规律方法一般而言,判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值,进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断,可运用函数的有关性质进行判断.跟踪训练1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是()A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0答案:C解析:对于A选项,可能存在,如y=x2;对于B选项,必存在但不一定唯一,选项D一定存在.类型2:对二分法概念的理解例2:下列图像与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是()答案:B解析:利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号,在选项B中,不满足零点两侧函数值异号,不能用二分法求零点.由于A、C、D中零点的两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.规律方法二分法是求一般函数的零点的一种通法,使用二分法的前提条件是:函数零点的存在性.对“函数在区间[a,b]上连续”的理解如下:不管函数在整个定义域内是否连续,只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可.跟踪训练2.如图是函数f(x)的图像,它与x轴有4个不同的公共点.给出下列四个区间,不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是()A.(-2.1,-1) B.(1.9,2.3)C.(4.1,5) D.(5,6.1)答案:B解析:只有B中的区间所含零点是不变号零点.类型3:用二分法求函数零点例3:求函数f(x)=x2-5的负零点.(精确度为0.1)解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(-3,-2)-2.51.25(-2.5,-2)-2.250.0625(-2.25,-2)-2.125-0.4844(-2.25,-2.125)-2.1875-0.2148(-2.25,-2.1875)-2.21875-0.0771由于|-2.25-(-2.1875)|=0.0625<0.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25.规律方法利用二分法求函数零点应关注三点1.要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.2.用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.3.根据给定的精确度,及时检验所得区间长度是否达到要求,以决定是停止计算还是继续计算.跟踪训练3.证明函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]内有唯一零点,并求出这个零点(精确度为0.1).解:由于f(1)=-1<0,f(2)=4>0,又函数f(x)在[1,2]内是增函数,所以函数在区间[1,2]内有唯一零点,不妨设为x0,则x0∈[1,2].下面用二分法求解.(a,b)(a,b)的中点f(a)f(b)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))(1,2)1.5f(1)<0f(2)>0f(1.5)>0(1,1.5)1.25f(1)<0f(1.5)>0f(1.25)>0(1,1.25)1.125f(1)<0f(1.25)>0f(1.125)<0(1.125,1.25)1.1875f(1.125)<0f(1.25)>0f(1.1875)<0因为|1.1875-1.25|=0.0625<0.1,所以函数f(x)=2x+3x-6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.类型4:用二分法求方程的近似解例4:用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解(精确度为0.1).解:令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:(a,b)中点cf(a)f(b)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+b,2)))(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875-0.75|=0.0625<0.1由于|0.6875-0.75|=0.0625<0.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.规律方法用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系,求函数的零点与求相应方程的解是等价的.求方程f(x)=0的近似解,即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解,可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解,然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.跟踪训练4.求方程x2=2x+1的一个近似解.(精确度0.1)解:设f(x)=x2-2x-1.∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0.∴在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x0.取2与3的平均数2.5,∵f(2.5)=0.25>0,∴2<x0<2.5;再取2与2.5的平均数2.25,∵f(2.25)=-0.4375<0,∴2.25<x0<2.5;如此继续下去,有f(2.375)<0,f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5);f(2.375)<0,f(2.4375)>0⇒x0
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