函数与方程、不等式之间的关系教案-高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

函数与方程、不等式之间的关系【第1课时】函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系【教学目标】【核心素养】1．理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．（难点）2．会求函数的零点．（重点）3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．（重点、难点）1．借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．【教学过程】一、新知初探1．函数的零点（1）函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f（x）在实数α处的函数值等于零，即f（α）＝0，则称实数α为函数y＝f（x）的零点．（2）三者之间的关系：函数f（x）的零点⇔函数f（x）的图像与x轴有交点⇔方程f（x）＝0有实数根．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．二、初试身手1．函数y＝1＋eq\f(1,x)的零点是（）A．（－1，0） B．x＝－1C．x＝1 D．x＝0答案：B解析：令1＋eq\f(1,x)＝0解得x＝－1，故选B．2．根据表格中的数据，可以断定方程ex－（x＋2）＝0（e≈2．72）的一个根所在的区间是（）x－10123ex0．3712．727．4020．12x＋212345A．（－1，0） B．（0，1）C．（1，2） D．（2，3）答案：C解析：令f（x）＝ex－（x＋2），则f（－1）＝0．37－1<0，f（0）＝1－2<0，f（1）＝2．72－3<0，f（2）＝7．40－4＝3．40>0．由于f（1）·f（2）<0，∴方程ex－（x＋2）＝0的一个根在（1，2）内．3．若f（x）＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是（）A．m＜－2或m＞2 B．－2＜m＜2C．m≠±2 D．1＜m＜3答案：A解析：∵f（x）＝－x2＋mx－1有正值，∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2．4．不等式eq\f(1＋x,1－x)≥0的解集为________．答案：[－1，1）解析：原不等式等价于（x＋1）（x－1）≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1．三、合作探究类型1：函数的零点及求法例1：求函数f（x）＝x3－7x＋6的零点．解：令f（x）＝0，即x3－7x＋6＝0，∴（x3－x）－（6x－6）＝0，∴x（x－1）（x＋1）－6（x－1）＝（x－1）·（x2＋x－6）＝（x－1）（x－2）（x＋3）＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f（x）＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3．规律方法求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪训练1．如图所示是一个二次函数y＝f（x）的图像．（1）写出这个二次函数的零点；（2）试比较f（－4）·f（－1），f（0）·f（2）与0的大小关系．解：（1）由图像可知，函数f（x）的两个零点分别是－3，1．（2）根据图像可知，f（－4）·f（－1）＜0，f（0）·f（2）＜0．类型2：二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系例2：利用函数求下列不等式的解集：（1）x2－5x－6＞0；（2）（2－x）（x＋3）＜0；（3）4（2x2－2x＋1）＞x（4－x）．解：（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6．结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，原不等式的解集为（－∞，－1）∪（6，＋∞）．（2）原不等式可化为（x－2）（x＋3）＞0．方程（x－2）（x＋3）＝0的两根为x1＝2，x2＝－3．结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图像知，原不等式的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）．（3）由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，即9x2－12x＋4＞0．解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝eq\f(2,3)．结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))．规律方法利用函数求不等式解集的基本步骤1．把一元二次不等式化成一般形式，并把a的符号化为正；2．计算其对应一元二次方程的根的判别式Δ；3．求其对应一元二次方程的根；4．写出解集大于取两边，小于取中间．跟踪训练2．利用函数求下列不等式的解集：（1）2x2＋7x＋3＞0；（2）－x2＋8x－3＞0；（3）x2－4x－5＜0；（4）－4x2＋18x－eq\f(81,4)＞0．解：（1）对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－eq\f(1,2)．又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，所以原不等式的解集为（－∞，－3）∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))．（2）对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，x1＝4－eq\r(13)，x2＝4＋eq\r(13)．又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，所以原不等式的解集为（4－eq\r(13)，4＋eq\r(13)）．（3）原不等式可化为（x－5）（x＋1）＜0，所以原不等式的解集为（－1，5）．（4）原不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(9,2)))2＜0，所以原不等式的解集为∅．类型3：用函数零点法求一元高次不等式的解集例3：求函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x＋3）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－3，1，2．函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．x（－∞，－3）（－3，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）－＋－＋由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞），f（x）＜0的解集为（－∞，－3）∪（1，2）．规律方法解题步骤：1．求出零点；2．拆分定义域；3．判断符号；4．写出解集．注意判断符号的方法，将最高项的系数化为正数，最右边的区间内为正，然后往左依次负正相间．跟踪训练3．求函数f（x）＝（1－x）（x－2）（x＋2）的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f（x）≥0和f（x）＜0的解集．解：函数的零点为－2，1，2．函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．x（－∞，－2）（－2，1）（1，2）（2，＋∞）f（x）＋－＋－由此可以画出此函数的示意图如图．由图可知，f（x）≥0的解集为（－∞，－2]∪[1，2]，f（x）＜0的解集为（－2，1）∪（2，＋∞）．四、课堂小结1．方程f（x）＝g（x）的根是函数f（x）与g（x）的图像交点的横坐标，也是函数y＝f（x）－g（x）的图像与x轴交点的横坐标．2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系（1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解是函数f（x）＝ax2＋bx＋c的零点．（2）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集是使f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集是f（x）＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．3．图像法解一元二次不等式的步骤（1）解一元二次不等式对应的一元二次方程；（2）求出其对应的二次函数的零点；（3）画出二次函数的图像；（4）结合图像写出一元二次不等式的解集．五、当堂达标1．下列图像表示的函数中没有零点的是（）答案：A解析：B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是（）A．（－1，0）B．（1，2）C．一个根在（－1，0）上，另一个根在（1，2）上D．一个根在（0，1）上，另一个根在（－2，－1）上答案：C解析：∵f（－1）·f（0）＜0，f（1）·f（2）＜0，∴选C．3．函数f（x）＝x－eq\f(1,x)零点的个数是（）A．0B．1C．2D．3答案：C解析：令x－eq\f(1,x)＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1．∴f（x）＝x－eq\f(1,x)的零点有两个．4．函数f（x）＝（x2－1）（x＋2）2（x2－2x－3）的零点个数是________．答案：4解析：f（x）＝（x＋1）（x－1）（x＋2）2（x－3）（x＋1）＝（x＋1）2（x－1）（x＋2）2（x－3）．可知零点为±1，－2，3，共4个．【第2课时】零点的存在性及其近似值的求法【教学目标】【核心素养】1．掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数．（重点）2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．（难点）3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．（重点、难点）1．通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．【教学过程】一、新知初探1．函数零点的存在性定理如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）＜0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f（x0）＝0．2．二分法的定义（1）二分法的条件：函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断且f（a）f（b）＜0．（2）二分法的过程：通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．3．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数f（x）在[a，b]上的零点近似值的步骤是：第一步：检查|b－a|＜2ε是否成立，如果成立，取x1＝eq\f(a＋b,2)，计算结束；如果不成立，转到第二步．第二步：计算区间[a，b]的中点eq\f(a＋b,2)对应的函数值，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＝0，取x1＝eq\f(a＋b,2)，计算结束；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≠0，转到第三步．第三步若f（a）feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＜0，将eq\f(a＋b,2)的值赋给beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(用\f(a＋b,2)→b表示，下同))，回到第一步；若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))f（b）＜0，将eq\f(a＋b,2)的值赋给a，回到第一步．二、初试身手1．下列函数不宜用二分法求零点的是（）A．f（x）＝x3－1 B．f（x）＝lnx＋3C．f（x）＝x2＋2eq\r(2)x＋2 D．f（x）＝－x2＋4x－1答案：C解析：因为f（x）＝x2＋2eq\r(2)x＋2＝（x＋eq\r(2)）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．2．若函数f（x）在区间[a，b]上为单调函数，且图像是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（）A．函数f（x）在区间[a，b]上不可能有零点B．函数f（x）在区间[a，b]上一定有零点C．若函数f（x）在区间[a，b]上有零点，则必有f（a）·f（b）＜0 D．若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0答案：D解析：函数f（x）在区间[a，b]上为单调函数，如果f（a）·f（b）＜0，可知函数在（a，b）上有一个零点，如果f（a）·f（b）＞0，可知函数在[a，b]上没有零点，所以函数f（x）在区间[a，b]上可能没有零点，也可能有零点，所以A不正确；函数f（x）在区间[a，b]上可能有零点，也可能没有零点；所以B不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上有零点，则可能f（a）·f（b）＜0，也可能f（a）·f（b）＝0所以C不正确；若函数f（x）在区间[a，b]上没有零点，则必有f（a）·f（b）＞0，正确；故选D．]3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是（）A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关答案：B解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．4．若函数f（x）的图像是连续不断的，且f（0）>0，f（1）·f（2）·f（4）<0，则下列命题正确的是________．①函数f（x）在区间（0，1）内有零点；②函数f（x）在区间（1，2）内有零点；③函数f（x）在区间（0，2）内有零点；④函数f（x）在区间（0，4）内有零点．答案：④解析：∵f（0）>0，而由f（1）·f（2）·f（4）<0，知f（1），f（2），f（4）中至少有一个小于0．∴（0，4）上有零点．三、合作探究类型1：判断函数零点所在的区间例1：求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．证明：设f（x）＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．因为f（－1）＝3＞0，f（0）＝－2＜0，f（2）＝6＞0，所以方程在（－1，0），（0，2）内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．规律方法一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．跟踪训练1．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0B．若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0C．若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0D．若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0答案：C解析：对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．类型2：对二分法概念的理解例2：下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）答案：B解析：利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．规律方法二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．跟踪训练2．如图是函数f（x）的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f（x）的零点近似值的是（）A．（－2．1，－1） B．（1．9，2．3）C．（4．1，5） D．（5，6．1）答案：B解析：只有B中的区间所含零点是不变号零点．类型3：用二分法求函数零点例3：求函数f（x）＝x2－5的负零点．（精确度为0．1）解：由于f（－2）＝－1<0，f（－3）＝4>0，故取区间（－3，－2）作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值（－3，－2）－2．51．25（－2．5，－2）－2．250．0625（－2．25，－2）－2．125－0．4844（－2．25，－2．125）－2．1875－0．2148（－2．25，－2．1875）－2．21875－0．0771由于|－2．25－（－2．1875）|＝0．0625<0．1，所以函数的一个近似负零点可取－2．25．规律方法利用二分法求函数零点应关注三点1．要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．2．用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．3．根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．跟踪训练3．证明函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点（精确度为0．1）．解：由于f（1）＝－1<0，f（2）＝4>0，又函数f（x）在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2]．下面用二分法求解．（a，b）（a，b）的中点f（a）f（b）feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))（1，2）1．5f（1）<0f（2）>0f（1．5）>0（1，1．5）1．25f（1）<0f（1．5）>0f（1．25）>0（1，1．25）1．125f（1）<0f（1．25）>0f（1．125）<0（1．125，1．25）1．1875f（1．125）<0f（1．25）>0f（1．1875）<0因为|1．1875－1．25|＝0．0625<0．1，所以函数f（x）＝2x＋3x－6的精确度为0．1的近似零点可取为1．25．类型4：用二分法求方程的近似解例4：用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解（精确度为0．1）．解：令f（x）＝2x3＋3x－3，经计算，f（0）＝－3<0，f（1）＝2>0，f（0）·f（1）<0，所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解．取（0，1）的中点0．5，经计算f（0．5）<0，又f（1）>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0．5，1）内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：（a，b）中点cf（a）f（b）feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))（0，1）0．5f（0）<0f（1）>0f（0．5）<0（0．5，1）0．75f（0．5）<0f（1）>0f（0．75）>0（0．5，0．75）0．625f（0．5）<0f（0．75）>0f（0．625）<0（0．625，0．75）0．6875f（0．625）<0f（0．75）>0f（0．6875）<0（0．6875，0．75）|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1由于|0．6875－0．75|＝0．0625<0．1，所以0．75可作为方程的一个正实数近似解．规律方法用二分法求方程的近似解应明确两点（1）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f（x）＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．（2）对于求形如f（x）＝g（x）的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F（x）＝f（x）－g（x）＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．跟踪训练4．求方程x2＝2x＋1的一个近似解．（精确度0．1）解：设f（x）＝x2－2x－1．∵f（2）＝－1<0，f（3）＝2>0．∴在区间（2，3）内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0．取2与3的平均数2．5，∵f（2．5）＝0．25>0，∴2<x0<2．5；再取2与2．5的平均数2．25，∵f（2．25）＝－0．4375<0，∴2．25<x0<2．5；如此继续下去，有f（2．375）<0，f（2．5）>0⇒x0∈（2．375，2．5）；f（2．375）<0，f（2．4375）>0⇒x0