不等式 测试卷-高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.3不等式测试卷一、单选题1．已知，，设，则（

）A． B． C． D．2．已知为互不相等的正数，，则下列说法正确的是（

）A．与同号 B．与异号C．与异号 D．与同号3．若，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．4．下列结论正确的是（

）A．时, B．时,的最大值是,C．的最小值为 D．时一定有5．若且，则的最小值等于（

）A． B． C． D．6．下列命题是真命题的是（

）A．若，则； B．若，则；C．若，则； D．若，则．7．已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（

）A． B．ab的最大值为C．的最小值为4 D．的最小值为8．已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（

）A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立二、多选题9．若，且，在下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．10．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则11．以下说法正确的有（

）A．实数是成立的充要条件B．不等式对恒成立C．命题“，”的否定是“，”D．若，则12．下列命题中为真命题的是（

）A．设,若,则B．若,则C．若正数满足,且,则D．若,则三、填空题13．已知，利用等式的性质比较与的大小关系：________(填“”“”或“”)．14．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________.15．一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．16．若实数a、b、c满足，则的最大值为__________．四、解答题17．已知，，.(1)求的最小值并说明取得最小值时，满足的条件；(2)，恒成立，求的取值范围.18．（1）若正数满足，求的最小值．（2）已知，求的最小值．19．若，求的最小值．20．已知实数，，且(1)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值；(2)当时，求的最小值，并指出取最小值时的值.21．（1）设，，求，，的范围；（2）已知，求证：.22．为了抗击新冠，某区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为平方米，侧面长为x米，且x不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，问：当x为多少时，总价最低．参考答案1．A【分析】利用作差法判断的正负即可得出结果.【详解】由题意可知，当且仅当时，等号成立；即.故选：A2．D【分析】利用基本不等式判断出，由的大小不确定，判断出A、B不正确；分类讨论在和时，都有与同号.即可判断C、D.【详解】因为为互不相等的正数，所以.因为，所以，所以.所以.因为的大小不确定，所以的符号不确定.故A、B不正确；若，则，所以，，所以与同号.若，则，所以.因为为互不相等的正数，所以.所以与同号.综上所述：与同号.故C错误，D正确.故选：D3．C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【详解】因为，，，则，当且仅当时，即时，等号成立；所以，即的最大值为，故选：C.4．B【分析】取,即可判断选项A,由,可得,,将写为再用基本不等式,即可判断选项B,计算基本不等式中取等条件是否满足,即可判断选项C,取,即可判断选项D.【详解】解:由题知对于A:取,则,故选项A错误;对于B:,,,,当且仅当,即时取等号,故选项B正确;对于C:,当且仅当,即时成立,显然等式不能成立,即取不到的最小值为,故选项C错误;对于D:取,则,但是,故选项D错误.故选:B5．D【分析】巧用常数的关系即可求解的最小值.【详解】因为且，所以当且仅当，即，时等号成立.故选：D.6．D【分析】举反例排除A，B，C，利用不等式的基本性质判断D.【详解】对于选项A，当时，满足，但，故A错误；对于选项B，当时，满足，但，故B错误；对于选项C，当时，满足，但，故C错误；对于选项D，因为，所以，所以，则，故D正确.故选：D.7．C【分析】根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得，，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.【详解】由题意，不等式的解集为，可得，且方程的两根为和，所以，所以，，所以，所以A正确；因为，，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；由，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；由，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确．故选：C．8．C【分析】由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．【详解】解：因为，所以，①，，，当且时取等号，所以，解得，即取到最大值2；①正确；②，，当时，，当且仅当时取等号，此时不符合，不满足题意；当时，，当且仅当时取等号，此时此时取得最大值，没有最小值，②错误.故选：C.【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.9．AB【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.【详解】对于A，∵，，∴，故A正确，对于B，，，∴，故B正确，对于C，令，则，故C错误，对于D，令，，满足，但，故D错误.故选：AB.10．BC【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识确定正确答案.【详解】A选项，，，但，所以A选项错误.B选项，由于，，所以，所以，所以B选项正确.C选项，由于，，所以，，，所以，C选项正确.D选项，由于，，所以，D选项错误.故选：BC11．BCD【分析】对于A，举反例排除即可；对于B，利用作差法与完全平方公式即可判断；对于C，根据特称命题否定的方法判断即可；对于D，直接解方程得到，代入即可判断.【详解】对于A，当时，可能，不能得到，故A错误；对于B，，当且仅当时，等号成立，所以对恒成立，故B正确；对于C，特称命题的否定是全称命题，其否定方法为“改量词，否结论”，所以命题“，”的否定是“，”，故C正确；对于D，因为，所以，则，即，故，所以，故D正确.故选：BCD.12．BCD【分析】对于A,取一个反例即可,对于B,分情况讨论大小即可,对于C,根据等式化简,根据不等式找范围,求值,对于D,将写成的形式,然后分别用基本不等式,注意取等条件.【详解】解:由题知,对于选项A,当时,满足,但是,所以选项A错误;对于选项B,当时,可化为,即,所以成立,当时,不等式成立,也成立,当时,不等式不成立,舍,当时,不等式可化为,即,即,所以成立,当时,要想成立,,此时成立,当时,要想成立,,此时成立,综上,成立,所以选项B正确;对于选项C,,,,即,即,此时若想成立,,故选项C正确;对于选项D,,当且仅当,即时取等,当且仅当,即时取等,,当且仅当,即时取等,故,选项D正确,故选:BCD.13．【分析】化简得到，得到答案.【详解】，故，即，故.故答案为：14．m3>m2－m＋1##m2－m＋1<m3【分析】应用作差法求比较大小即可.【详解】∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)，又m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0，即m3>m2－m＋1.故答案为：m3>m2－m＋1.15．【分析】根据已知条件可得出不等式组.【详解】由题意可得．故答案为：．16．##0.5【分析】利用基本不等式得到，把转化为，利用二次函数求出最大值.【详解】因为，所以，即.所以.因为，所以，所以.因为，所以当时，取得最大值.故答案为：.17．(1)最小值，当，满足时取得最小值.(2)实数的取值范围是.【分析】（1）将化为，展开后由基本不等式进行求解；（2）将化为，使用基本不等式求出最小值即可求解【详解】（1）∵，∴，∵，，∴，，∴由基本不等式，有，当且仅当，即时，等号成立，∴，即的最小值为，当且仅当时，取得最小值.（2）由已知，，当时，由基本不等式，有，当且仅当，即时等号成立，∴，即已知，当且仅当时，取最小值，，又∵恒成立，∴，∴实数的取值范围是.18．（1）；（2）．【分析】（1）由题得，又得即可解决；（2）令，得即可解决.【详解】由题得，正数满足，因为，所以所以当且仅当，得，即时，等号成立；所以的最小值为.（2）因为，所以，令，所以，所以当且仅当，即时，等号成立；所以时，的最小值为．19．12【分析】利用换元法将换成（要注意变量的取值），则函数变成，利用均值不等式即可求解.【详解】设，则，所以，（当且仅当时，即，也即时取等号）所以的最小值为12．20．(1)最小值为，此时(2)最小值为4，此时.【分析】（1）变形得到，利用基本不等式“1”的妙用，求出最小值及此时的值；（2）变形得到，利用得到关于，求出的最小值及此时的值.【详解】（1）时，，因为，所以，故，当且仅当，即时，等号成立，（2）时，，变形为，即，，其中，故，因为，解得：，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，此时.21．（1），，；（2）证明见解析.【分析】（1）结合不等式的基本性质即可求解；（2）利用基本不等式的性质可知，，，从而可得，再结合即可得证.【详解】（1），，，，，，，，.故，，.（2）证明：由，两边平方得