概率论课件-08 -随机向量及其分布

到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.

在打靶时,命中点的位置是由一对随机变量(两个坐标)来确定的.

飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量(三个坐标）来确定的等等.随机向量及其分布一、n维随机向量

以n个随机变量X1，X2，…，Xn为分量的向量X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。一维随机变量及其分布n维随机向量及其分布

由于从二维推广到n维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.n维随机向量是一维随机变量的推广二、二维随机向量及其分布函数设随机试验E的样本空间是Ω。

X=X()和Y=Y()是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的向量(X,Y),称为二维随机向量。二维随机向量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究。为此,首先引入二维随机向量(X,Y)的分布函数的概念。二维随机变量（X,Y）X和Y的联合分布函数X的分布函数一维随机变量X1.

F(x,y)是变量x,y的非减函数.

即yR取定,当x1<x2时,F(x1,y)≤F(x2,y).

同样,xR

取定,当y1<y2时,F(x,y1)≤F(x,y2).2.x,yR

有0≤F(x,y)≤1二维分布函数F(x,y)的三条基本性质：3.

yR,F(-∞,y)=0，

xR,F(x,-∞)=0，

F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1如果把(X,Y)看成平面上随机点的坐标。取定x0,y0R，F(x0,y0)就是点(X,Y)落在平面上的以(x0,y0)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率。见右图。由上面的几何解释,易见:随机点(X,Y)落在矩形区域:x1<x≤x2,y1<y≤y2内的概率为：P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)

说明

这里我们介绍了二维随机向量的概念、二维随机向量的分布函数及其性质。二维随机向量也分为离散型和连续型，下面我们分别讨论它们。其中:二、离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布⒈二维离散型随机向量的概念如果二维随机向量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或至多可

列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y

分别都是一维离散型的。⒉联合概率分布及其性质称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的联合概率分布,

其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下:Xx1x2…xi…y1y2…yj…p11p12…p1j…p21p22…p2j………………pi1pi2…pij………………Y

②∑∑pij=1;③P{(X,Y)∈D}=联合概率分布性质:①pij≥0;i,j=1,2,…例1.二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y0120.050.10.10.10.20.1a0.20.05求:(1)常数a的取值;(2)P(X≥0,Y≤1);(3)P(X≤1,Y≤1)解:(1)由∑pij=1得:a=0.1(2)由P{(X,Y)∈D}=得P(X≥0,Y≤1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X≤1,Y≤1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75XY二维联合概率分布区域图:-10121P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}3.离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所有取值数对;2.计算每个数值对的概率;3.列出联合概率分布表.例2.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上的次数,Y表示

反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.解：X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)==1/4=6/16P(X=3,Y=1)==1/4P(X=4,Y=0)=0.54=1/16X01234Y01234联合概率分布表为:00001/160001/40006/160001/40001/160000P(X=1,Y=3)=0.54=1/16例3.设随机变量Y~N(0，1)，令解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|≥1,|Y|≥2)=P(|Y|≥2)=1-P(|Y|<2)=2-2Φ(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|≥1,|Y|<2)=P(1≤|Y|<2)=P(-2≤Y<-1)+P(1≤Y<2)=2P(1≤Y<2)=2[Φ(2)-Φ(1)]=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|<1,|Y|≥2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|<1,|Y|<2)=P(|Y|<1)=2Φ(1)-1=0.6826联合概率分布表为:X101X2010.04550.271900.6826，求(X1，X2)的联合概率分布。4、边缘概率分布

(1)定义:随机向量X=（X1,X2,…,Xn）中每一个Xi的分布，称为X关于Xi的边缘分布。(2)边缘分布列对于离散型随机向量(X,Y),分量X,Y的分布列称为边缘分布列。若(X,Y)的联合概率分布为pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则

P(X=xi)=(i=1,2,...)同理:一般地,记:P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,...)分布表如下:XY.例4.设(X,Y)的联合概率分布表为:Pi.0.250.40.35X-101Y0120.050.10.10.10.20.10.10.20.05p.j0.250.50.25求:(1)X,Y的边缘分布;(2)X+Y的概率分布.解:(1)由分析得:X-101P0.250.40.35Y012P0.250.50.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)同理，P(X+Y=2)=0.3,+P(X=-1,Y=2)=0.4X+Y-10123P0.050.20.40.30.05P(X+Y=3)=0.05三、连续型随机向量的联合密度函数、边缘密度函数⒈定义:设二维随机向量(X,Y)的分布函数为F(x,y).如果存在一个非负函数f(x,y),使得对任意实数x,y,总有则称(X,Y）为二维连续型随机向量,f(x,y)为联合概率密度函数，记为（X，Y)～f(x,y)。⒉性质:(1)f(x,y)≥0，(x,y)∈R2或例5.验证是否构成二维随机向量的联合概率密度函数?其中：D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积。解:=1(1)f(x,y)≥0;(2)称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。例6.若(X,Y)～

试求:(1)常数A；(2)P{X<2,Y<1}；(3)

P(X≤x,Y≤y)；解:(1)所以,A=6=A/6=1(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.XY0P{X<2,Y<1}21{X<2,Y<1}(3)xXY0y所以,当x≥0,y≥0时,即:(4)P{(X,Y)∈D},其中D为2x+3y≤6.322x+3y=6XY0(5)P{(X,Y)∈D},其中D为y=-x+1,y=x+1,y=0所围区域.XY0y=-x+1y=x+111P{(X,Y)∈D}3.边缘密度函数对于连续型随机向量(X,Y)～f(x,y)，分量X,Y的密度函数称为边缘密度函数。已知联合密度函数，容易求出边缘密度函数。事实上,(1)f1(x)≥0,(2)若a<b,则P{a<X<b}=P{a<X<b,-∞<Y<+∞}=所以,f1(x)是X的概率密度,同理可证f2(y).例7.设随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中

D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y)。解:(1)由题意得:XY-11当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0当|x|≤1时,所以,同理,注意:均匀分布的边缘密度不是一维均匀分布例8.（924）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为求:⑴求X的边缘密度函数；⑵求概率P{X+Y≤1}.解:(1)x≤0时,f1(x)=0;x>0时,f1(x)=所以,⑵P{X+Y≤1}y=xx+y=11/2

二维正态分布定义:如果(X,Y)的联合密度函数为其中σ1,σ2为正数.则称(X,Y)服从参数为的二维正态分布,简记为：

性质:边缘分布分别为X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22);

2.（895）已知随机变量X和Y的联合概率分布为

(x,y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,