《平面向量线性运算的应用》同步作业

6.3平面向量线性运算的应用(建议用时：45分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(1,2)解析：F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝(1,2)．答案：D3．河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A．13m/s B．12m/sC．17m/s D．15m/s答案A解析如图所示，v1是河水流速，v为小船实际速度，则v－v1为小船的静水速度．于是|v－v1|＝eq\r(v2－2v·v1＋v\o\al(2,1))＝eq\r(122＋52)＝13.3．在等腰梯形ABCD中，Aeq\o(B,\s\up12(→))＝－2eq\o(CD,\s\up12(→))，M为BC的中点，则eq\o(AM,\s\up12(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up12(→))D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up12(→))解析：因为eq\o(AB,\s\up12(→))＝－2eq\o(CD,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＝2eq\o(DC,\s\up12(→)).又M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BM,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(AB,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up12(→))＋\o(AD,\s\up12(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up12(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up12(→)).答案：B4．已知a＝(－1，eq\r(3))，eq\o(OA,\s\up12(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是()A.eq\r(3)B．2C．2eq\r(2)D．4解析：因为a＝(－1，eq\r(3))，所以|a|＝eq\r(1＋3)＝2.设AB中点为C，则eq\o(OC,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→)))＝a，则|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝|a|＝2.在直角三角形AOB中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝2|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝4，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4×2＝4.答案：D5．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为()A．(5,10) B．(－5,10)C．(10,5) D．(10，－5)答案D解析设P(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－10＋4×5＝10，,y＝10＋－3×5＝－5，))∴P(10，－5)．二、填空题6．若eq\o(AB,\s\up12(→))＝3e，eq\o(DC,\s\up12(→))＝5e，且|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|，则四边形ABCD的形状为________．答案：等腰梯形解析：由eq\o(AB,\s\up12(→))＝3e，eq\o(DC,\s\up12(→))＝5e，得eq\o(AB,\s\up12(→))∥eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(AB,\s\up12(→))≠eq\o(DC,\s\up12(→))，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.又|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|，得AD＝BC，所以四边形ABCD为等腰梯形．7．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的面积是________．答案：3解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－3,3)，eq\o(AB,\s\up12(→))＝(1,1)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－4,2)．∴eq\o(AC,\s\up12(→))＝3eq\r(2)，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(2)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\r(5).∵|eq\o(AC,\s\up12(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up12(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|2，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB||AC|＝eq\f(1,2)×3eq\r(2)×eq\r(2)＝3.8．已知某一物体在力F1＝(3,1)，F2＝(－1,7)的作用下在桌面上移动，则合力＝________.答案：(2,8)解析：∵F1＝(3,1)，F2＝(－1,7)，∴合力为(2,8)．三、解答题9．已知A(0，－4)，B(4,0)，C(6，－2)，求AB边上的中线CD的长．解析：∵A(0，－4)，B(4,0)，∴AB中点D(2，－2)．∵C(6，－2)，∴eq\o(CD,\s\up12(→))(－4,0)．∴|eq\o(CD,\s\up12(→))|＝4.10．如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解析：如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.设向量eq\o(OA,\s\up12(→))，eq\o(OB,\s\up12(→))分别表示两根绳子的拉力，则eq\o(CO,\s\up12(→))表示物体所受的重力，且|eq\o(OC,\s\up12(→))|＝300N.所以|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|cos60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150eq\r(3)N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N．[等级过关练]11．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为()A．2 B．3C．4 D．8答案B解析∵|v|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(7－42＋12－62)＝eq\r(45)，∴时间t＝eq\f(\r(45),\r(5))＝3.12．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(S△ABD,S△ABC)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,2)解析：选D.如图所示，由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))得，点D在平行于AB边的中位线上，所以eq\f(S△ABD,S△ABC)＝eq\f(1,2).13．已知点A(eq\r(3)，1)，B(0，0)，C(eq\r(3)，0)，∠BAC的平分线AE与BC相交于点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此时有\f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)))，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(CE,\s\up6(→))，其中λ等于______．解析：由eq\f(|\o(BE,\s\up6(→))|,|\o(CE,\s\up6(→))|)＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|)＝2，得|eq\o(BE,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CE,\s\up6(→))|(如图)．从而|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝3|eq\o(CE,\s\up6(→))|，又eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CE,\s\up6(→))方向相反，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝－3eq\o(CE,\s\up6(→))，所以λ＝－3.答案：－314.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是________．(写出正确说法的所有序号)①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．解析：设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜\f(π,2)))，则|F|cosθ＝|f|，所以|F|＝eq\f(|f|,cosθ).因为θ增大，cosθ减小，所以|F|增大．因为|F|sinθ增大，所以船的浮力减小．答案：①③得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up6(→)).故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.15.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.(1)试以a，b为基底表示eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))；(2)求证：A，G，C三点共线．解：(1)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b.(2)证明：因为D，G，F三点共线，则eq\o(DG,\s\up6(→))＝λeq\o(DF,\s\up6(→))，即eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)λa＋(1－λ)b.因为B，G，E三点共线，则e