高等代数96教学大纲

PAGEPAGE10《高等代数96学时》教学大纲数学与信息科学学院代数几何教研室一、教学目的及要求高等代数是高等学校数学类各专业的一门重要基础课，是中学代数的继续和提高．但它与中学代数有很大的不同，这不但表现在内容的深度、广度上，更重要的是表现在观点和方法上．通过本课程教学，使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基本知识，基础理论和基本方法．在此观点指导下，对中学代数的内容有比较深入的了解，并能很好地处理中学代数的有关教材初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，培养学生的科学思维、逻辑推理和运算能力，培养由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限制辩证唯物主义观点．二、教学中应注意的问题本课程的主要内容是多项式理论，线性代数理论两部分．多项式理论主要讨论一元多项式的因式分解理论，线性代数部分包括矩阵、线性空间、线性变换、欧氏空间和二次型等内容．根据教学计划规定，本课程在第二、三学期开设，共96学时，讲授与习题的学时之比3：1．在完成大纲规定的基本内容的前提下，对讲授顺序、课时分配和教学形式可以灵活掌握．教学内容第一章基础知识(6学时)1.1集合集合的概念，集合的表示方法集合的运算及算律笛卡尔积1.2映射映射的定义满射单射1—1映射映射的合成逆映射及映射可逆的条件1.3最小数原理最小数原理第一数学归纳法第二数学归纳法．1.4整数的整除性质整数的定义及基本性质带余除法最大公因数互素素数的性质．1.5数环的数域数环数域任何数域都必含有理数域．目的要求通过本章教学，使学生掌握集合，映射、数环、数域、整数整除等概念，掌握最小数原理．具体要求l．正确理解集合、集合相等，子集、交集、并集、差集、卡尔积等概念及它们互相间关系；2．掌握集合的表示方法，理解集合运算及算律；3．掌握映射、满射、单射、1一l映射、逆映射等概念，会按定义验证一个给定的法则是不是映射、满射、单射、了解代数运算的概念4．理解自然数集的一个基本性质——最小数原理，会用最小数原理证明问题，熟练运用数学归纳法；5．理解并掌握整数整除性质及它与除法的区别；6．对带余除法，最大公因数的存在性掌握并会应用；7．对最大公因数的表示及互素要有深刻的理解．掌握素数的基本性质；8．掌握数环和数域概念，判别方法；理解有理数域的最小性．行列式(8学时)2.1排列排列，反序及排列的奇偶性，对换及对换对排列奇偶性的影响．2.2行列式定义及性质行列式定义行列式的性质行列式的计算2.3行列式的展开子式和代数余子式行列式依行(列)展开定理降阶的意义及在计箅行列式方面的作用Vandermonde行列式的计算．2.4Cramer规则行列式是线性方程组理论的—部分，是中学代数有关内容的推广和提高，也是—种重要的数学工具．目的要求通过求本章的教学，使学生掌握行列式，子式，代数余子式等基本概念，理解行列式的性质及降阶原理，用以计算行列式，并达到熟练程度．具体要求1．掌握排列、反序、反序数、对换等概念，理解一个对换改变排列的奇性；2．掌握行列式的定义，行列式的性质，并学会用行列定义、性质计算行式；3．掌握子余子式和代数余子式的定义，掌握行列式依行(列)展开定理的证明及应用，进而总结出行列式的计算方法；4．掌握vandermonde行列式的计算及应用；5．理解Cramer规则及应用．线性方程(8学时)3.1消元法用消元法解线性方程组初等变换．3.2矩阵的秩k阶子式秩的定义初等变换不改变矩阵的秩用安装等变换求矩阵的秩．3.3解的判别法系数阵与增广阵有解判定定理．3.4齐次线性方程组本章对线性方程组做一般性讨论，给出了有解的判定方法，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义，在实际和科学技术中也有广泛的应用．目的要求通过本章教学，使学生熟练运用矩阵的初等变换解线性程组，掌握线性方程组有解的判定定理及其应用，掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件．具体要求1．理解线性方程组的消元解法与系数矩阵的初等变换的关系；2．熟练运用矩阵的初等变换解线性方程组；3．理解并掌握矩阵秩的概念，学会用矩阵的初等变换求矩阵秩的方法；4．掌握线性方程组有解的判定定理及应用；5．掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件．齐次线性方程组的定义有非零解的判别方法．矩阵代数(11学时)4.1矩阵的运算矩阵的加法、数乘及矩阵的乘法矩阵运算的算律、矩阵的转置．4.2初等矩阵消法、倍法、换法矩阵初等变换和初等矩阵关系．可逆矩阵可逆矩阵定义可逆矩阵的性质可逆阵的判别方法可逆阵的求法矩阵乘积的行列式有关秩的定理．4.3分块矩阵分块的方法分块阵的运算准对角形分块矩阵的初等变换．目的要求通过本章的教学，使学生掌握矩阵运算及基本性质，掌握可逆阵．伴随阵，分块阵等基本概念，掌握可逆阵的判别方法及应用，理解分块矩阵的应用．具体要求1．矩阵的加法、数乘、乘法运算及相应算律；2．掌握初等矩阵的定义、初等矩阵与矩阵初等变换的关系；3．掌握可逆阵的定义、判别方法及逆矩阵的求法；4．理解矩阵乘积行列式的求法；5．理解矩阵分块的意义，分块的方法及分块矩阵的初等交换及分块矩阵的应用．多项式(16学时)5.1多项式的定义运算多项式的定义运算及算律多项式的次数及次数定理5.2整除的概念整除的定义及性质带余除法5.3最大公因式最大公因式的定义及存在性辗转相除法最大公因式的表达式互素的性质．5.4因式分解定理不可约多项式唯一分解定理典型分解式．5.5重因式多项式的求导法则重因式与导数的关系无重因式的条件．5.6多项式函数多项式函数定义余式定理因式定理多项式相等与多项式函数相等的关系Lagrange插值公式．5.7复数域和实数域上多项式的分解代数基本定理根与系数的关系实系数多项式的根不可约多项式的类型．5.8有理系数多项式本原多项式及高斯引理整系数多项式在有理数域上可约性Eisenstein判别法有理根的讨论．目的要求通过本章的教学，使学生掌握数域上一元多项式的定义，运算，整除性、因式分解等内容，理解复数域、实数域和有理数域上多项式的分解及有理根的求法．具体要求1．掌握一元多项式的定义，运算及算律；理解并掌握多项式的次数及次数定理；2．理解并掌握多项式整除概念和性质，掌握带余除法及其应用；3．理解最大公因式的的存在性，掌握其求法及表示法；4．掌握多项式互素概念及性质；5．掌握不可约多项式的概念、性质及唯一分解定理，了解典型分解式及应用；6．理解多项式导数的定义，求法及重因式概名；掌握多项式有无重因式的判别法；7．掌握多项式函数概念及余式定理，理解两个多项式相等与多项式函数相等的关系；8．掌握复数域、实数域上多项式因式分解定理及不可约多项式的类型；9．掌握有理数域上多项的可约性及有理根的求法；理解并掌握高斯引理的证明及应用．线性空间(15学时)6.1线性空间的定义及性质线性空间的定义例子线性空间的性质6.2子空间子空间的定义判别方法子空间的交和及直和．6.3向量的线性相关性线性组合向量的线性相关、无关定义及判别级大无关组替换定理及应用.6.4基和维数基和维数的定义及性质维数定理余子空间6.5向量的坐标向量的坐标过渡阵及性质坐标变换公式6.6线性空间的同构同构的定义及性质有限维线性空间同构的条件；6.7线性方程组的解空间矩阵秩的进一步讨论齐次线性方程组的解空间基础解系非齐次线性方程组解的结构．目的要求通过本章教学，使学生掌握线性空间，子空间，向量的相关性，向量的坐标，同构，基和维数，过度阵等概念，深入理解矩阵秩的概念，理解并掌握线性方程组有解的判别法，基础解系的求法．具体要求1．理解线性空间的概念及性质；2．掌握向量相关，无关概念，性质及判别方法，理解并掌握替换定理，会灵活运用；3．掌握线性子空间的概念和判别方法，掌握子空间的交、和、直和等概念；4．理解并掌握基和维数的概念，求法及维数定，理解余子空间的概念；5．掌握线性空间中向量坐标的概念及其意义，过渡阵概念，性质及求法；6．理解线性空间同构概念，性质及意义，掌握线性空间同构的条件；7．进一步理解矩阵秩的实质，理解线性方程组有解的判别法，掌握齐次线性方程组解空间及基础解系的概念、求法及非齐线性方程组解的结构．第七章线性变换(16学时)7.1线性映射的定义线性映射及线性换的定义，简单性质，值域和核．7.2线性变换的运算加法，数乘及算律乘法及算律可逆变换7.3线性变换的矩阵线性变换的矩阵向量坐标及象坐标的关系L(V)与Mn(F)的同构矩阵的相似及性质7.4不变子空间不变子空间的定义及性质线性变换在不变子空间上的限制不变子空间与化简矩阵的关系7.5特征根与特征向量特征根与特征向量的定义特征多项式的定义特征多项式及特征根、特征向量的求法7.6可以对角化的矩阵不同特征根的特征向量的无关性特征子空间的定义特征子空间的维数与特征根重数的关系线性变换可对角化的充要条件矩阵对角的化方法目的要求通过本章教学，使学生掌握线性变换的概念、性质、线性变换和矩阵的关系、矩阵相似及对角化的方法．具体要求1．理解线性映射的概念，掌握它的运算及性质；2．掌握线性变换的概念及其矩阵表示，掌握值域与核的概念，理解L(V)与Mn(F)的同构；3．理解矩阵相似及性质；4．掌握特征根、特征向量、特征多项式概念及特征根、特征向量的求法；5．掌握不变子空间概念，性质及它与化简矩阵的关系：6．掌握特征子空间的概念、维数及特征根重数的关系；7．理解并掌握线性变换及矩阵可以对角化的条件及方法．第八章欧氏空间(8学时)8.1欧氏空间的定义内积的定义及性质欧氏空间的定义Sehwarz不等式向量的长度,夹角及离．8.2标准正交基标准正交组的性质标准正交基的定义正交化方法子空间的正交补8.3正交变换正交变换的定义及性质正交阵正交变换定义的等价命题．8.4对称变换对称变换的定义及性质对称阵的对角化问题目的要求通过本章的教学，使学生掌握内积，欧氏空间，标准正交基，正交变换，对称变换等基本概念，理解正交化方法，并会应用，理解正交阵的性质．具体要求1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离等概念；2．掌握Sehwarz不等式及应用；3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交补的概念及用；4．理解正交变换，正交阵概念，性质及关系，了解二，三维欧氏空间中正交变换的类型5．理解对称变换的概念，性质及其与对称阵的关系．第九章二次型(8学时)9.1二次型的定义及矩阵表示二次型的定义二次型的矩阵二次型的等价与对称阵的合同合同的性质．9.2二次型的标准型合同变换化对称阵为对角形化二次型为标准型的方法9.3复二次型和实二次型复二次的标准型，实二次型的标准型，惯性定律，n元二次型的分类9.4正定二次型正定二次型的定义判别方法正定矩阵欧氏空间上的二次型与实对称阵标准的关系(主轴问题)．目的要求通过本章教学使学生掌握二次型，二次型的矩阵，正定二次型等基本概念，学会二次型化为标准型的方法及正定二次型的判定．具体要求1．掌握二次型及二次型的矩阵的概念及二次型矩阵的求法；2．掌握矩阵合同的定义及性质；理解二次型的标准的概念及化为标准型的方法；了解