一元二次方程根与系数关系

例 如果x,x是方程2x24x10的两个根，不解方程，求x2x2的值

x,

是方程2x24x10∴

(x(xx

12(x(xx)24x 1222242 2 x2x2(xx)(xx)2 说明x1x2x1x2的值可能为正，也可能为负例 不解方程x22x10，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的x22x10xx 则x1x22x1x21y2pyq0，它的两根分别是1

1和2x2 p(2x11)(2x21)2(x1x2)(222)6q(2x11)(2x21)4x1x22(x1x2)4(1)221∴y26y10（1）（2）分析满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足0.x2xa3)xa230xx 则xx2a3xxa2

xx2a3

由（1）

a74由（2）

a32∴a3时，方程两根互为相反数2

(2a3)24(a23)

xxa23

由（1）由（2）

a74a12,a2∴a2时，方程两根互为倒数说明方程ax2bxc0b0且a、c异号来确定例 已知关于x的方程2x2mx2m10的两个实数根的平方和是71求m值4则x

m,x

2m1 x2x2(xx)22xx m 2m

1 41

2 2 2

m11m242(2m111)2823∴舍去mm3m242(2m1)3)28(5∴m3说明例121是由0mm的值.2中的0是一个一元二次不等式m216m80m的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用例5 已知关于x的一元二次方程m2x21(32m)x的两个不等实根的倒数和为S，求S的范围.分析题中方程的一般形式为m2x22m3)x10mS的范

m2x2(2m3)x1m2(2m3)24m2解 m3且m04则xx32mxx1 S1

x1x23x1m3且m0,32m3且32m3,即S3且S326关于xx2mx3m14

①与2x29m6)xm24 m的代数式.用因式分mm的值.解：设方程①的两个实数根为则m,3m4∴22()22m223m1m23m42 42

xm2,

m若x1为整数根，根据题意，m23m2m2 解这个方程，得mx123不是整数根，不符合题意，舍去 若x2为整数根，根据题意

m23m2m22解这个方程，得

0,

12m0x2022且

024(1)0，方程①有两个实数根，符合题意m1x123不是整数，不符合题意，舍去2∴m0.

说明这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.当求出方程的两根是m2和m2m2m2是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m的值.m1m0m12m为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检m的值.典型例题例已知⊙O的面积为ABC内接于⊙O，abcA、B、333的对边，且a2b2c2,sinA、sinB是方程m333两根判定ABCm求ABC的边长

1)x2m

0解（1）由a2b2c2，知ABC是直角三角形，且C90mm(3m(3sinAsinB 3m3m(3sinAsinB 由（1）ABC是直角三角形且C90，所以sin2Asin2B1sin2Asin2B(sinAsinB)22sinAsinm(m(31)m(31)2m(333 4)m 33m333将m333

4x2(2

3)x

x1,x 3 sinA1,sinB 3或sinA 3,sinB1 3由圆的面积1，所以c23

或c2a

3,b典型例题例kx22k3)x2k40kk的取值范围.解2k3)24(2k4k220k25(2k5)20k取任何实数，方程都有两个实数根.设该方程的两根为x1,x2，则由定理，x1x22k3,x1x22kx10x20kx1x22k3xx2k41k322∴当k2时，方两个正根x1x22k3xx2k41k3223k2时，两根异号，且正根的绝对值较大2(x13)(x230x1x23(x1x2)902∴当k732说明：由于本题的一元二次方程的判别式于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑0或0了，否则，每个条件组里都必须考虑的限制条件.典型例题例（市海淀区试题，2002）已知：关于x的方程(m1)x2mx10，①有两个相y的方程m2y22mym22n230若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m2m12n的值.n1m24(n21)m24(n1)且m0,则n124m24m2(m22n224m2(1m22n24m2(14n42n24m2(2n24n8m2(nn10且m8m20,n38m2(n3)(n1)2 解法一：由

4(n1)可得n1 42n124

4

x2mx1解

2m

m2

(2m

2mm

3

m2n232n24(n132n24nm2m12nn(m212)n(4n44n28n2(2n24n)2m

设方程②的另一根为y022y0mm22y0m22n23解法三：m24(n方程②为4(n1)y22my4(n1)2n23 ∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为y1(n1)y2my1 由方程③变形，得4n1y2my1

4n2n23 2my14n2n32 y2 2n24n典型例题例(市宣武区,2002)若关于x的一元二次方程3x23(ab)x4ab0的两个判断(ab)24是否正确.若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例.证明：∵关于x的一元一次方程3x23(ab)x4ab0有两个实数根，∴0即3(ab)2434ab03(ab)216ab0 ∵x1x2∴

(ab),x1

4ab3∵x1(x11)x2(x11)(x11)(x21)∴x2xx2xxxx

1， 1 x2x2xx 1(xx)23xx 1∴(ab)234ab3(ab)24ab1，∴4ab(ab)2 3(ab)24(ab)210∴(ab)24

典型例题3例如果方程x2kx10的一个根是2 ，另一个根是，求(233值3

3)2分析：2

(2

3)是方程的两根之差，若设2

3，则有3k,1,(2就行了

3)2)2)24k24，只要求出k

3)k(2

3) k(2

3)2

3x23

3(23

3)2(2

3)k10即(2∴k

3)k

2)

典型例题例x2k2)x3k20xxx2x223k 值a1，但由b(k2c3k2bcx2x223，故可列出方程组来解之 x1x2k

xx3k

1x2x2

由（3）22x 1(k2)22(3k解得k5kk5时3k3时，45ka0及0，否则可能得出错典型例题十例已知一元二次方程ax2bxc0(a0pq，r，求arbqcp的值.分析：运 解设方程ax2bxc0的两根为x,x，则由定理， xxb xx 1 x1x2x2x2 x3x3 ∴pbaqx2x2

x)22x 12 b2

b2 a

2 rx3x3(xx)(x2x2xx 1(xx

x)23xx b

1b c

a

3 aa aab3 ∴arbq b3

b2

ba

b

c a b33abcb32abcabcx1x2x2x2 x3x3 ax2bxc 22ax2bxc22xax3bx2cx xax3bx2cx ③＋④，得a(x3x3b(x2x2c(xx)0 arbqcp0典型例题十例xx2m23)x1(m22)2xxx2x2x

17m的值

1 两个正根，必须证该方程的判别式0，且x1x20,x1x20

(m23)241(m22m44m25(m22)21设x1,x2为方程的两个根由定理，x1

m23

1(m22)2解x2x2x

17 1 (x

x)23x

17 1 (m23)23(m22)17 2m49m250解之，得m21m25（舍2 22说明：把根的判别式 定理结合起来，可讨论或判定一元二次方程根的符号，设一元二次方程为ax2bxc0(a0，其判别式b24acx

x

xxc1 x

xxc1 该 xxc1 x1x20x1x20x1x20RtABC中C90，斜边c5a、bx程x2mx2m20的两个根，求RtABC较小锐角的正弦值（2002年市东城区解：a、bx2mx2m20abm，ab2m在RtABC中，由勾股定理得a2b2而a2b2ab)22abc5 (ab)22ab即m22(2m2解关于m的方程，得m17m2a、b是RtABCabm因此m3m当m7x27x12x13x24。不妨设a3，则sinAa3 RtABC中35 x22x4 B．x22x4C．x22x4 D．x22x4 4x23 B．3x25x456C．0.5x24x3 D．2x2 561若方程x22x10的二根为x,x，则代表 1

的值是 xx xx 已知x,x是方程x2x10的两个根，则11的值是 xx xx xxx23x50的两个根，则(x

2)的值为 C．1 D．1以

1

1为根的一元二次方程是 222x2222

1

x2

122x222

1

x2

12已知和是方程2x23x40的两个实数根，则的值是 2 B．32

C．2

一元二次方程x2pxq0的两根为34那么二次三项式x2pxq可分解 (x3)(x B．(x3)(xC．(x3)(x D．(x3)(x方程x23x60与x26x30所有根的乘积等于 若方程x22x10的两个实数根为x、x，则x2x1的值是

如果x23xm0的一个根，x23xm的一根，那么的值等于 A．1或 B．0或 C．－1或 D．0或已知方程x2(m1)x(m7)0有一个正根，一个负根，那么 m

m

m

m若一元二次方程x22xa0无实数根是一次函数y(a1)x(a1) 关于x的方程

t4的值 t 1.B；2.C；3．A ;6.C； 13．A 14.已知方程4x23x20的两根是x,x，则xx ,x

已知关于x的方程(k1)x2xk232k0，则k ，另一根 一元二次方程5x2kx60的一个根是非，则它的另一根 ，k x,x是方程2x24x50的两根，则x2x2 ,(x

1) 已知、是方程x22x50的两个实数根，则22的值 xxx22xm01

2，则 xx xx 已知x,x是方程2x23x10的两个根，那么(xx)2的值 已知关于x的方程x2mxm0的两个实数根的平方和等于3，则 以1和－3为两根的一元二次方程 设方程x23x20的两极分别为x、x以x2、x2为根的一元二次方程 关于x的方程x2(2m1)mm0的两根之和与两根之积相等，则m 一元二次方程x25xk0的两实根之差是3，则k 关于x的方程x2(2k1)xk220的两实根的平方和是11，则k 1如果关于x的方程3x2mx101

123x2mx1分解因式的结果 在一元二次方程x2bxc0若系数b、c可在1，2，3，4，5，6中取值，则其中有 1．3,1；2.3,1；3.3,7