远期和期货的定价2

第十二章

远期和期货的定价

衍生金融工具的定价（Pricing）指的是确定衍生证券的理论价格，它既是市场参与者进行投机、套期保值和套利的依据，也是银行对场外交易的衍生金融工具提供报价的依据。从第十二章至第十三章，我们将分别介绍远期、期货和期权这三种基本衍生金融工具的定价方法。

一、基本的假设1、没有交易费用和税收。2、市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。3、远期合约没有违约风险。4、允许现货卖空行为。5、当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们算出的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。6、期货合约的保证金帐户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。第一节远期价格和期货价格的关系

二、远期价格和期货价格的关系根据罗斯等美国著名经济学家证明,当无风险利率恒定，且对所有到期日都不变时，交割日相同的远期价格和期货价格应相等。但是，当利率变化无法预测时，远期价格和期货价格就不相等。至于两者谁高则取决于标的资产价格与利率的相关性。当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期价格。反之，则远期价格就会高于期货价格。远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异。在现实生活中，大多数情况下，我们仍可以合理地假定远期价格与期货价格相等，并都用F来表示。

第二节无收益资产远期合约的定价一、无套利定价法无套利定价法的基本思路为：构建两种投资组合，让其终值相等，则其现值一定相等；否则就可以进行套利，即卖出现值较高的投资组合，买入现值较低的投资组合，并持有到期末，套利者就可赚取无风险收益。众多套利者这样做的结果，将使较高现值的投资组合价格下降，而较低现值的投资组合价格上升，直至套利机会消失，此时两种组合的现值相等。这样，我们就可根据两种组合现值相等的关系求出远期价格。

为给无收益资产的远期定价，构建如下两种组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金；组合B：一单位标的资产。在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资，投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一单位标的资产。由此我们可以断定，这两种组合在t时刻的价值相等。即：

f+Ke-r（T－t）=Sf=S－Ke-r（T－t）（12.1）

（12.1）表明，无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一单位无收益资产远期合约多头可由一单位标的资产多头和Ke-r（T－t）单位无风险负债组成。二、现货-远期平价定理由于远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格（K），即当f=0时，K=F。据此可以令（12.1）式中f=0，则F=Ser（T－t）（12.2）

这就是无收益资产的现货-远期平价定理（Spot-ForwardParityTheorem），或称现货期货平价定理(Spot-FuturesParityTheorem)。式（12.2）表明，对于无收益资产而言，远期价格等于其标的资产现货价格的终值。可用反证法证明（12.2）不成立时的情形是不均衡的。假设F>Ser（T－t），则套利者可以按无风险利率r借入S现金，期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。在T时刻，该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来F现金，并归还借款本息Ser（T－t），这就实现了F－Ser（T－t）的无风险利润。若F<Ser（T－t），则套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该标的资产的远期合约，交割价为F。在T时刻，套利者收到投资本息Ser（T－t），并以F现金购买一单位标的资产，用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-F的利润。三、远期价格的期限结构远期价格的期限结构描述的是不同期限远期价格之间的关系。设F为在T时刻交割的远期价格，F*为在T*时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的无风险利率,r*为T*时刻到期的无风险利率,为T到T*时刻的无风险远期利率。则不同期限远期价格之间的关系：

(12.3)读者可以运用相同的方法,推导出支付已知现金收益资产和支付已知红利率资产的不同期限远期价格之间的关系。第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价

一、支付已知现金收益资产远期合约定价的一般方法为了给支付已知现金收益资产的远期定价，可构建如下两个组合：组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的现金;组合B：一单位标的证券加上利率为无风险利率、期限为从现在到现金收益派发日、本金为I的负债。组合A和B在T时刻的价值都等于一单位标的证券。因此，在T时刻，这两个组合的价值应相等，即：

f+Ke-r（T－t）=S-If=S-I-Ke-r（T－t）（12.4）

公式（12.4）表明，支付已知现金收益资产的远期合约多头价值等于标的证券现货价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。或者说，一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和I+Ke-r（T－t）单位无风险负债构成。我们同样可以用反证法来证明公式（12.5）假设F>(S-I)er（T－t），则套利者可借入现金S，买入标的资产，并卖出一份远期合约，交割价为F。这样在T时刻，他需要还本付息Ser（T－t），同时他将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出，从而在T时刻得到Ier（T－t）的本利收入。此外，他还可将标的资产用于交割，得到现金收入F。这样，他在T时刻可实现无风险利润F-(S-I)er（T－t）。假设F<(S-I)er（T－t），则套利者可以借入标的资产卖掉，得到现金收入以无风险利率贷出，同时买入一份交割价为F的远期合约。在T时刻，套利者可得到贷款本息收入Ser（T－t），同时付出现金F换得一单位标的证券，用于归还标的证券的原所有者，并把该标的证券在T-t期间的现金收益的终值Ier（T－t）同时归还原所有者。这样，该套利者在T时刻可实现无风险利润(S-T)er（T－t）-F。可见当公式（12.5）不成立时，市场就会出现套利机会，套利者的套利行为将促成公式（12.5）成立。二、中中长期期国债债期货货的定定价（一））长期期国债债现货货和期期货的的报价价与现现金价价格的的关系系现金价价格与与报价价的关关系为为：现金价价格=报价价+上上一个个付息息日以以来的的累计计利息息（12.6））例如，，假设设现在在是1999.11.5，2016年年8月月15日到到期，，息票票利率率为12%的长长期国国债的的报价价为94——28（即即94.875）。。由于于美国国政府府债券券均为为半年年付一一次利利息，，从到到期日日可以以判断断，上上次付付息日日是1999年年8月月15日，，下一一次付付息日日是2000年年2月月15日。。由于于1999年8月15到到11月5日之之间的的天数数为82天天，1999年年11月5日到到2000年2月15日日之间间的天天数为为102天天，因因此累累计利利息等等于：：6美美元××82/184=2.674美元元该国债债的现现金价价格为为：94.875美美元+2.674美美元=97.549美元元（二））交割割券与与标准准券的的转换换因子子芝加哥哥交易易所规规定交交割的的标准准券为为期限限15年、、息票票率为为8%的国国债，，其它它券种种均得得按一一定的的比例例折算算成标标准券券。这这个比比例称称为转转换因因子（（ConversionFactor））。。转换因因子等等于面面值为为100美美元的的各债债券的的现金金流按按8%的年年利率率（每每半年年计复复利一一次））贴现现到交交割月月第一一天的的价值值，再再扣掉掉该债债券累累计利利息后后的余余额。。在计计算转转换因因子时时，债债券的的剩余余期限限只取取3个个月的的整数数倍，，多余余的月月份舍舍掉。。如果果取整整数后后，债债券的的剩余余期限限为半半年的的倍数数，就就假定定下一一次付付息是是在6个月月之后后，否否则就就假定定在3个月月后付付息，，并从从贴现现值中中扣掉掉累计计利息息，以以免重重复计计算。。算出转转换因因子后后，我我们就就可算算出空空方交交割100美元元面值值的债债券应应收到到的现现金：：空方收收到的的现金金=期期货报报价交割债债券的的转换换因子子+交交割债债券的的累计计利息息（（12.7）例12.5：某某长期期国债债息票票利率率为14%，剩剩余期期限还还有18年年4个个月。。标准准券期期货的的报价价为90——00，求求空方方用该该债券券交割割应收收到的的现金金。首先，，我们们应计计算转转换因因子。。根据据有关关规则则，假假定该该债券券距到到期日日还有有18年3个月月。这这样我我们可可以把把将来来息票票和本本金支支付的的所有有现金金流先先贴现现到距距今3个月月后的的时点点上，，此时时债券券的价价值为为：由于转转换因因子等等于该该债券券的现现值减减累计计利息息。因因此我我们还还要把把163.73美元元贴现现到现现在的的价值值。由由于3个月月的利利率等等于，，即1.9804%，因因此该该债券券现在在的价价值为为163.73/1.019804=160.55美元元。由于3个月月累计计利息息等于于3.5美美元，，因此此转换换因子子为：：转换换因子子=160.55-3.5=157.05美元元然后，，我们们可根根据公公式（（12.7）算算出空空方交交割10万万美元元面值值该债债券应应收到到的现现金为为：1000[（90.001.5705））+3.5]=144，，845美美元（三））确定定交割割最合合算的的债券券交割最最合算算债券券就是是购买买交割割券的的成本本与空空方收收到的的现金金之差差最小小的那那个债债券。。交割差差距=债券券报价价+累累计利利息——[（（期货货报价价转换因因子））+累累计利利息]=债债券报报价——（期期货报报价转换因因子））（12.8））例12.6：：假设设可供供空头头选择择用于于交割割的三三种国国债的的报价价和转转换因因子如如表12.1所所示（（见书书）,而期期货报报价为为93—16,即93.50美元元。请请确定定交割割最合合算的的债券券。根据以以上数数据，，我们们可以以求出出各种种国债债的交交割差差距为为：国债1：144.50-(93.501.5186)=2.5109国债2：：120.00-(93.501.2614)=2.0591国债3：：99.80-(93.501.0380)=2.7470由此可见见，交割割最合算算的国债债是国债债2。（四）国国债期货货价格的的确定国债期货货的空方方拥有交交割时间间选择权权和交割割券种选选择权，，如果我我们假定定交割最最合算的的国债和和交割日日期是已已知的，，则可通通过以下下四个步步骤来确确定国债债期货价价格：1．根据据交割最最合算的的国债的的报价，，运用式式（12.6））算出该该交割券券的现金金价格。。2．运用用公式（（12.5），，根据交交割券的的现金价价格算出出交割券券期货理理论上的的现金价价格。3．运用用公式（（12.6）根根据交割割券期货货的现金金价格算算出交割割券期货货的理论论报价。。4．将交交割券期期货的理理论报价价除以转转换因子子即为标标准券期期货理论论报价，，也是标标准券期期货理论论的现金金价格。。例12.7：：假定我我们已知知某一国国债期货货合约最最合算的的交割券券是息票票利率为为14%，转换换因子为为1.3650的国债债，其现现货报价价为118美元元，该国国债期货货的交割割日为270天天后。该该交割券券上一次次付息是是在60天前，，下一次次付息是是在122天后后，再下下一次付付息是在在305天后，，市场任任何期限限的无风风险利率率均为年年利率10%（（连续复复利）。。请根据据上述条条件求出出国债期期货的理理论价格格。首先，我我们可以以运用公公式（12.6）求出出交割券券的现金金价格为为：118+(60/182)××7=120.308美元其次，我我们要算算出期货货有效期期内交割割券支付付利息的的现值。。由于期期货有效效期内只只有一次次付息，，是在122天天（0.3342年））后支付付7美元元的利息息，因此此利息的的现值为为：7e-0.33420.1=6.770美美元再次，由由于该期期货合约约有效期期还有270天天（即0.7397年年）我们们可以运运用（12.5）算出出交割券券期货理理论上的的现金价价格为：））e0.73970.1=122.255美元元再其次，，我们要要算出交交割券期期货的理理论报价价。由于于交割时时，交割割券还有有148天（即即270-122天））的累计计利息，，而该次次付息期期总天数数为183天（（即305天-122天）运运用公式式（12.6）），我们们可求出出交割券券期货的的理论报报价为：：最后，我我们可以以求出标标准券的的期货报报价：第四节支支付付已知收收益率资资产远期期合约的的定价一、支付付已知收收益率资资产远期期合约定定价的一一般方法法为了给出出支付已已知收益益率资产产的远期期定价，，可构建建如下两两个组合合：组合A：：一份远远期合约约多头加加上一笔笔数额为为Ke-r（T－t））的现金；；组合B：：e-q（T－t））单位证证券并并且所所有收收入都都再投投资于于该证证券，，其中中q为为该资资产按按连续续复利利计算算的已已知收收益率率。组合A和B在T时刻刻的价价值都都等于于一单单位标标的证证券。。因此此在T时刻刻两者者的价价值也也应相相等，，即：：（12.9）公式（（12.9）表表明，，支付付已知知红利利率资资产的的远期期合约约多头头价值值等于于e-q(T-t)单位证证券的的现值值与交交割价价现值值之差差。或或者说说，一一单位位支付付已知知红利利率资资产的的远期期合约约多头头可由由e-q（（T－－t））单位标标的资资产和和Ke-r（（T－－t））单位无无风险险负债债构成成。这就是是支付付已知知红利利率资资产的的现货货-远远期平平价公公式根据远远期价价格的的定义义，我我们可可根据据公式式（12.9））算出出支付付已知知收益益率资资产的的远期期价格格：（12.10））这就是是支付付已知知红利利率资资产的的现货货-远远期平平价公公式。。公式式（12.10）表表明，，支付付已知知收益益率资资产的的远期期价格格等于于按无无风险险利率率与已已知收收益率率之差差计算算的现现货价价格在在T时时刻的的终值值。例12.8：假假设S&P500指指数现现在的的点数数为1000点点，该该指数数所含含股票票的红红利收收益率率预计计为每每年5%（（连续续复利利），，连续续复利利的无无风险险利率率为10%，3个月月期S&P500指指数期期货的的市价价为1080点点，求求该期期货的的合约约价值值和期期货的的理论论价格格。根据公公式（（12.9），，我们们可得得：由于S&P500指指数合合约规规模为为指数数乘以以500，，因此此一份份该合合约价价值为为-65.75500=-32877美美元。。根据公公式（（12.10）），我我们可可求出出S&P500指数数期货货的理理论价价格：：二、外外汇远远期和和期货货的定定价外汇属属于支支付已已知收收益率率的资资产，，其收收益率率是该该外汇汇发行行国连连续复复利的的无风风险利利率，，用rf表示。。我们们用S表示示以本本币表表示的的一单单位外外汇的的即期期价格格，K表示示远期期合约约中约约定的的以本本币表表示的的一单单位外外汇的的交割割价格格，即即S、、K均均为用用直接接标价价法表表示的的外汇汇的汇汇率。。根据据公式式（12.9）），我我们可可以得得出外外汇远远期合合约的的价值值：（12.11））根据（（12.10））可得得外汇汇远期期和期期货价价格的的确定定公式式：（12.12））这就是是著名名的利利率平平价关关系。。它表表明，，若外外汇的的利率率大于于本国国利率率，则则该外外汇的的远期期和期期货汇汇率应应小于于现货货汇率率；若若外汇汇的利利率小小于本本国的的利率率，则则该外外汇的的远期期和期期货汇汇率应应大于于现货货汇率率。三、远远期利利率协协议的的定价价远期利利率协协议多多方的的现金金流为为：T时刻刻：A；T*时刻：：这些现现金流流的现现值即即为远远期利利率协协议多多头的的价值值：这里的的远期期价格格就是是合同同利率率。根根据远远期价价格的的定义义，远远期利利率就就是使使远期期合约约价值值为0的协协议价价格（（rK）。因因此从第5章我我们知知道代入公公式（（12.14））得：：(12.15)例子例12.9：假假设2年期期即期期年利利率（（连续续复利利，下下同））为10.5%，3年期期即期期年利利率为为11%，，本金金为100万美美元的的2年年3年远期利利率协议的的合同利率率为11%，请问该该远期利率率协议的价价值和理论论上的合同同利率等于于多少?根据公式（（12.14）和公公式（12.15）），该合约约理论上的的合同利率率为：根据公式（（12.13），该该合约价值值为：四、远期外外汇综合协协议的定价价远期外汇综综合协议多多头的现金金流为：T时刻：A单位外币币减AK本本币T*时刻：AK*本币减A单单位外币这些现金流流的现值即即为远期外外汇综合协协议多头的的价值（f）：（12.16）远期汇率和和远期外汇综综合协议的的价值由于远期汇汇率就是合合约价值为为零的协议议价格（这这里为K和和K*），因此T时刻交割割的理论远远期汇率（（F）和T*时刻交割的的理论远期期汇率（F*）分别为：：（12.17）(12.18)其结论与公公式（12.12））是一致的的。将公式式（12.17）和和（12.18）代代入公式（（12.16）得：：（12.19）远期差价有的远期外外汇综合协协议直接用用远期差价价规定买卖卖原货币时时所用的汇汇率，我们们用W*表示T时刻刻到T*时刻的远期期差价，则则W*=F*-F。将公公式（12.17））和（12.18））代入，可可得：（12.20）用W表示t时刻到T时刻的远远期差价，，可得：W=F-S（12.21）例12.10假假设美国2年期即期期年利率（（连续复利利，下同））为8%，，3年期即即期年利率率为8.5%，日本本2年期即即期利率为为6%，3年期即期期利率为6.5%，，日元对美美元的即期期汇率为0.0083美元/日元。本本金1亿日日元的2年年3年远期外外汇综合协协议的2年年合同远期期汇率为0.0089美元/日元，3年合同远远期汇率为为0.0092美元元/日元，，请问该合合约的多头头价值、理理论上的远远期汇率和和远期差价价等于多少少？根据公式（（12.17），2年期理论论远期汇率率（F）为为：美元/日元元根据公式（（12.18），3年期理论论远期汇率率（F*）为：美元/日元元根据公式（（12.20），2年3年理论远远期差价（（W*）为：美元/日元元根据公式（（12.21），2年期理论论远期差价价（W）为为：根据公式（（12.19），该该远期外汇汇综合协议议多头价值值（f）为为：第五节期期货价格格与现货价价格的关系系一、期货价价格和现在在的现货价价格的关系系期货价格和和现货价格格的关系可可以用基差差（Basis）来来描述。所所谓基差，，是指现货货价格与期期货价格之之差，即：：基差=现货货价格—期期货价格（（12.22）基差可能为为正值也可可能为负值值。但在期期货合约到到期日，基基差应为零零。这种现现象称为期期货价格收收敛于标的的资产的现现货价格，，如图5.2所示。。当标的证券券没有收益益，或者已已知现金收收益较小、、或者已知知收益率小小于无风险险利率时，，期货价格格应高于现现货价格，，如图5.2（a））所示；当当标的证券券的已知现现金收益较较大，或者者已知收益益率大于无无风险利率率时，期货货价格应小小于现货价价格，如图图5.2（（b）所示示。基差会随着着期货价格格和现货价价格变动幅幅度的差距距而变化。。当现货价价格的增长长大于期货货价格的增增长时，基基差也随之之增加，称称为基差增增大。当期期货价格的的增长大于于现货价格格增长时，，称为基差差减少。期货货价价格格收收敛敛于于标标的的资资产产现现货货价价格格是是由由套套利利行行为为决决定定的的。。假假定定交交割割期期间间期期货货价价格格高高于于标标的的资资产产的的现现货货价价格格，，套套利利者者就就可可通通过过买买入入标标的的资资产产、、卖卖出出期期货货合合约约并并进进行行交交割割来来获获利利，，从从而而促促使使现现货货价价格格上上升升，，期期货货价价格格下下跌跌。。相相反反，，若若交交割割期期间间现现货货价价格格高高于于期期货货价价格格，，那那么么打打算算买买入入标标的的资资产产的的人人就就会会发发现现，，买买入入期期货货合合约约等等待待空空头头交交割割比比直直接接买买入入现现货货更更合合算算，，从从而而促促使使期期货货价价格格上上升升。。二、、期期货货价价格格与与预预期期的的未未来来现现货货价价格格的的关关系系我们们以以无无收收益益资资产产为为例例来来说说明明期期货货价价格格与与预预期期的的未未来来现现货货价价格格之之间间的的关关系系。。根根据据预预期期收收益益率率的的概概念念，，有有：：E（（ST）=Sey(T-t)(12.23)E（（ST）表表示示现现在在市市场场上上预预期期的的该该资资产产在在T时时刻刻的的市市价价，，y表表示示该该资资产产的的连连续续复复利利预预期期收收益益率率，，t为为现现在在时时刻刻。。而F=Ser(T-t)(12.24)比较较（（12.23））和和（（12.24））可可知知，，y和和r的的大大小小就就决决定定了了F和和E（（ST）孰孰大大孰孰小小。。而而y值值的的大大小小取取决决于于标标的的资资产产的的系系统统性性风风险险。。根根据据资资本本资资产产定定价价原原理理，，若若标标的的资资产产的的系系统统性性风风险险为为0，，则则y=r，，；；若若标标的的资资产产的的系系统统性性风风险险大大于于零零，，则则y>r，，；；若若标标的的资资产产的的系系统统性性风风险险小小于于零零，，则则y<r，，。。在在现现实实生生活活中中，，大大多多数数标标的的资资产产的的系系统统性性风风险险都都大大于于零零，，因因此此在在大大多多数数情情况况下下，，F都都小小于于E（（ST）。对于有收益资资产我们也可可以得出同样样的结论。本章小结1．当无风险险利率恒定，，且对所有到到期日都不变变时，具有相相同交割日的的远期价格和和期货价格应应相等。当标标的资产价格格与利率呈正正相关时，期期货价格应高高于远期价格格；当标的资资产价格与利利率呈负相关关时，期货价价格应低于远远期价格。但但在大多数情情况下，我们们均假定远期期价格与期货货价格相等。。2．无收益资资产远期合约约的价值为：：远期价格为：：对于美国100美元面值值的国库券期期货来说，3．支付已知知现金收益资资产的远期合合约价值为：：远期价格为：：4．由于长期期国债期货报报价与现金价价格的不同，，以及空头所所拥有的时间间选择权和交交割债种选择择权，长期国国债期货价格格的确定较为为复杂。5．支付已知知收益率证券券的远期合约约价值为：远期价格为：：当我们用外汇汇发行国的无无风险利率代代替q时，就就可得国际金金融领域著名名的利率平价价关系：6．远期利率率协议多头的的价值为：为使远期利率率协议价值为为零，合同利利率应等于：：7．远期外汇汇综合协议多多头的价值为为：为使远期外汇汇综合协议价价值为零，合合约中规定的的远期汇率和和远期差价应应等于：8．随着交割割月份的逼近近，期货价格格收敛于标的的资产的现货货价格。9．对于系统统性风险大于于零的资产而而言，期货价价格应小于预预期未来的现现货价格9、静夜夜四无无邻，，荒居居旧业业贫。。。12月月-2212月月-22Saturday,December31,202210、雨中中黄叶叶树，，灯下下白头头人。。。15:33:3715:33:3715:3312/31/20223:33:37PM11、以以我我独独沈沈久久，，愧愧君君相相见见频频。。。。12月月-2215:33:3815:33Dec-2231-Dec-2212、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。15:33:3815:33:3815:33Saturday,December31,202213、乍乍见见翻翻疑疑梦梦，，相相悲悲各各问问年年。。。。12月月-2212月月-2215:33:3815:33:38December31,202214、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。31十十二二月20223:33:38下下午15:33:3812月月-2215、比不不了得得就不不比，，得不不到的的就不不要。。。。十二月月223:33下下午午12月月-2215:33December31,202216、行行动动出出成成果果，，工工作作出出财财富富。。。。2022/12/3115:33:3815:33:3831December202217、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。3:33:38下下午3:33下下午15:33:3812月-229、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。12月-2212月-22Saturday,December3