杆的强度 稳定计算

第三章杆件的强度、刚度和稳定计算3.1轴向拉伸与压缩的概念在工程中以拉伸或压缩为主要变形的杆件，称为：拉、压杆若杆件所承受的外力或外力合力作用线与杆轴线重合的变形，称为轴向拉伸或轴向压缩。3.2轴向拉(压)杆的内力与轴力图3.2.1拉压杆的内力

唯一内力分量为轴力其作用线垂直于横截面沿杆轴线并通过形心。通常规定：轴力使杆件受拉为正，受压为负。

3.2.2轴力图

用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，垂直于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，以此表示轴力与横截面位置关系的几何图形，称为轴力图。作轴力图时应注意以下几点：

1、轴力图的位置应和杆件的位置相对应。轴力的大小，按比例画在坐标上，并在图上标出代表点数值。

2、习惯上将正值（拉力）的轴力图画在坐标的正向；负值（压力）的轴力图画在坐标的负向。例题3.1

一等直杆及受力情况如图（a）所示，试作杆的轴力图。如何调整外力，使杆上轴力分布得比较合理。解：1）求AB段轴力1–1截面：

2–2截面：

7.1扭转的概念及外力偶矩的计算扭转的概念

轴是以扭转变形为主要变形的直杆作用于垂直杆轴平面内的力偶使杆引起的变形，称扭转变形。变形后杆件各横截面之间绕杆轴线相对转动了一个角度，称为扭转角，用表示7.2

圆轴扭转时横截面上的内力及扭矩图7.2.1扭矩平衡条件

内力偶矩T称为扭矩

扭矩的单位：或扭矩的正负号规定为：自截面的外法线向截面看，逆时针转向为正，顺时针转向为负

扭矩图常用与轴线平行的x坐标表示横截面的位置，以与之垂直的坐标表示相应横截面的扭矩，把计算结果按比例绘在图上，正值扭矩画在x轴上方，负值扭矩画在x轴下方。这种图形称为扭矩图。3.1工程中梁弯曲的概念梁平面弯曲的概念

以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。

当梁上所有外力均作用在纵向对称面内时，变形后的梁轴线也仍在纵向对称平面内，这种在变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲。

梁的荷载：

（1）集中荷载即作用在梁上的横向力（2）集中力偶即作用在通过梁的轴线的平面内的外力偶。（3）分布荷载即沿全长或一段连续分布的横向力3.2梁的内力—剪力和弯矩3.2.1梁的­剪力和弯矩梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法来确定。现分析距A端为x处横截面m-m上的内力。如果取左段为研究对象，则右段梁对左段梁的作用以截开面上的内力来代替。存在两个内力分量：内力FQ与截面相切，称为剪力，内力偶矩M称为弯矩，

9.2.2剪力和弯矩的正负号规定即微段有左端向上而右端向下的相对错动时，横截面上的剪力FQ为正号，反之为负号。当微段的弯曲为向下凸即该微段的下侧受拉时，横截面上的弯矩为正号，反之为负号。

3.2.3计算指定截面上的剪力和弯矩例题3-1

外伸梁受荷载作用，图中截面1-l和2-2都无限接近于截面A，截面3-3和4-4也都无限接近于截面D。求图示各截面的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求约束反力2.求截面1-1的内力3.求截面2-2的内力4.求截面3-3的内力5.求截面4-4的内力比较截面1-1和2-2的内力发现说在集中力的两侧截面剪力发生了突变，突变值等该集中力的值。比较截面3-3和4-4的内力在集中力偶两侧横截面上剪力相同，而弯矩突变值就等于集中力偶矩。梁的内力计算的两个规律：

（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方向投影的代数和。即：若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”，或“左上，右下剪力为正”。相反为负。（2）横截面上的弯矩M，在数值上等于截面一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对该截面形心O的力矩的代数和。即：

若外力或外力偶矩使所考虑的梁段产生向下凸的变形(即上部受压，下部受拉)时，等式右方取正号，反之，取负号。此规律可简化记为“下凸弯矩正”或“左顺，右逆弯矩正”，相反为负。例题3.2

一外伸梁，所受荷载如图示，试求截面C、截面B左和截面B右上的剪力和弯矩。解：1.根据平衡条件求出约束力反力2.求指定截面上的剪力和弯矩截面C：根据截面左侧梁上的外力得：截面B左、B右：取右侧梁计算，得：在集中力作用截面处，应分左、右截面计算剪力；在集中力偶作用截面处，也应分左、右截面计算弯矩。9.3

梁的内力图—剪力图和弯矩图3.3.1剪力方程和弯矩方程在一般情况下，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，

FQ=FQ(x)

M=M(x)梁的剪力方程梁的弯矩方程3.3.2剪力图和弯矩图

以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。例题3.3

图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图解：1.列剪力方程和弯矩方程

(0＜x＜l)

(0≤x＜l)2.作剪力图和弯矩图

由剪力图和弯矩图可知：例题3.4

简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力由对称关系，可得：最大剪力发生在梁端，其值为FQ,max=2.列剪力方程和弯矩方程3.作剪应力图和弯矩图最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax例题3.5

简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪力方程和弯矩方程

（0<x<a）

(0≤x≤a)

AC段：CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力图和弯矩图例题3.6

简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。解：1.求约束反力2.列剪应力方程和弯矩方程AB段：（0<x<l）CB段：

(a<x<l)

(0≤x≤l)3.作剪力图和弯矩图CB段：

(a<x≤l)AC段：

(0≤x≤a)3.绘出剪力图和弯矩图

3.4.1分布荷载集度与剪力、弯矩(q与FQ、M)之间的微分关系3.4弯矩、剪力与分布荷载集度之间的关系微段的平衡，得剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度；

弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。

二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向，

若q(x)<0,弯矩图为下凸曲线，若q(x)>0,弯矩为上凸曲线，弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致.

9.4.2常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系1.剪力图与荷载的关系(1)在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时，若q(x)方向向下，则FQ图为下斜直线；若q(x)方向向上，FQ图为上斜直线。(2)无荷载作用区段，即q(x)=0，

FQ图为平行x轴的直线。(3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。2.弯矩图与荷载的关系在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。(2)当q(x)朝下时，M图为上凹下凸。当q(x)朝上时，M图为上凸下凹。(3)在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。(4)在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。(2)当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。3.弯矩图与剪力图的关系(3)剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。解：1.求约束反力例题3.7

简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的剪力图和弯矩图。2.画FQ图各控制点处的FQ值如下：FQA右=FQC左=15kNFQC右=FQD=15kN－10kN=5kNFQD=5kNFQB左=－15kN3.画M图MA=0,MC=15kN×2m=30kN.mMD=15kN×4m－10kN×2m=40kN.mM­D右=15kN×4m－5kN×4m×2m=20kN.mMB=0例题3.8

一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作此梁的FQ、M图。解：1.求约束力2.画内力图(1)剪力图ACB段：

FQA右=FQC=FQB左=－5kNFQ图为一水平直线

BD段：FQ图为右下斜直线。FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0作梁的剪力图

(2)弯矩图

AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m

CB段：

FQ<0,故M图为一右上斜直线，在C处弯矩有突变。MC右=－5kN×2m+12kN.mMB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.mBD段：

段内有向下均布荷载，M图为下凸抛物线，MB