数学模型：洁具流水时间设计

洁具流水时间设计作者：向友付我们从节能的角度对洁具目前主要采取两种不同的方案进行了比较分析，用MATLAB的相关函数和概率统计的相关知识对问题进行求解，求出个方案冲水时间T的最优解。并在此基础上，通过实际问题对建立的模型进行优化设计。关键词：洁具

冲水时间

冲水次数

一问题提出我国是个淡水资源相当贫乏的国家，人均可利用淡水量不到世界平均数的四分之一。特别是近几年来，由于环境污染导致降水量减少，不少省市出现大面积的干旱。许多城市为了节能，纷纷采取提高水价、电价的方式来抑制能源消费。而另一方面，据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。某洁具生产产家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数v，为达到节能的目的，现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为T，然后自动停止放水。若使用时间不超过T-5秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为T。但若使用时间超过2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是T……在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间(单位：秒)时间12131415161718人次1512601363（1）请你根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数T（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；

（2）从既能保持清洁又能节约能源出发，你是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。

二

问题分析

（一）模型分析在具体的问题解决过程中，我们对一些必要的为之进行了假设，从而进行求解。并排除了几个与本题无关的量，如确定水为时刻均匀，且在方案一中每个时刻间流水是连续的，排除电的其他损耗等，使用水量最少，间接分析用水总时间最少。。对方案一进行分析，当使用时间不超过T-5秒时，放水一次时间为T，否侧放水时间为T+10；对方案二进行分析，放水的起始点为T，2T，4T......,到2n*T时刻时为n-1次放水，其所用时间为（n-1）T。（三）模型假设及其符号说明

3.1符号说明T洁具中设计放水时间参数（单位秒）；t使用者使用的时间；F每个人用水的总时间（使用时间+冲水时间），则F1,F2分别表示方案一和二；ST所有使用着使用水的总时间；Q总的用水量；v单位时间内流水量3.2模型假设：1.前一个使用者和后一个使用者之间是相互独立的。2.随机抽样的100人能客观的反映问题的分析。3．其他非主要影响（见上面的问题分析）进行忽略。4.单位时间内流水量为常数四建立模型方案一：若t<=T-5,F1=T；若t>T-5,F1=T+10方案二：若t<=T-5,F2=T;若T-5<t<=2T-5,F2=2T;若t>nT-5,F2=(n+1)T注：分析方案一和方案二的节省用水量（Q=F*v）,即求Q—min（Q1，Q2）五模型求解与检验利用表一的数据分析用水普遍维持的时间段，可通过手工的作图，在Matlab中，可以利用条形图(Bar)相关的命令。求解过程如下：A=zeros(1,11)B=[1512601363];Bar([A,B],’group’)得到下图1从图中可以看出，使用者使用的时间呈正态分布，则我们的问题求解符合大多数人的利益。通过计算可得在方案一和方案二两种情况下，所用水的总时间。根据表中数据利用分段函数，得到下面的表和图1：（方案一）和图2：（方案二）T510151718方案一15002000250026902740方案二21102220300033833492T1920212223方案一27202220219022312300方案二34852440228922662300根据两个方案的数据可知，方案一的T的最佳值为21;方案二的T的最佳值22.对于节约,方案一更适合;对于清洁,方案二更适合.为了更加能够有说服力，看出这个最佳时间能否适应广大男性的需要，我们对模型进行进一步的求解六进一步分析分别用mean函数和std函数求出表一中的均值和方差，再用ttest(t分布检测)进行检验，再用test（t分布检测）。

a=13*ones(1,5)；b=14*ones(1,12);c=15*ones(1,60);d=16*ones(1,13);e=17*ones(1,6);f=18*ones(1,3);A=[12,a,b,c,d,e,f];U=mean(A);a=std(A);u(期望）=15.09a（方差）=1.0259[h,p,ci]=ttest(A)h=1p=9.9543e-118ci=【14.886415.2936】h=1,p=9.9543e-118表示不拒绝假设1，又知μ（期望）=15.0900中，满足ci的概率为95%，于是15.0900完全满足.我们在通过mvnrdn函数以16.09为均值，1.0259为标准差产生标准差为1000人服从的正态分布的随机数，为方便计算对其去整a=mvnrnd(15.09,1.0259,1000)';b=round(a);c12=length(b(find(b==12)))c13=length(b(find(b==13)))c14=length(b(find(b==14)))c15=length(b(find(b==15)))c16=length(b(find(b==16)))c17=length(b(find(b==17)))c18=length(b(find(b==18)))c19=length(b(find(b==19)))可得到下表：时间1213141516171819人次45323238425163112并用得到图2（方案一）和图3（方案二）的方法得到下表以及下面的图（4）T51015161718方案一15000200002500026000

2696027430方案二21635

232703000032000

33932

34974T192021222324方案一2613023290

21780

221502304023120方案二

32509

26540

2259622286

2304624000七结果分析

从上面可以看出T=22秒以前，方案一的冲水时间小于方案二的冲水时间；在T=22秒以后方案一与