第八章静电场和稳恒电场

第八章静电场和稳恒电场§8-1电场电场强度§8-2电通量高斯定理§8-3电场力的功电势§8-4场强与电势的关系§8-5静电场中的导体§8-6静电场中的电介质§8-7电容电容器§8-8电流稳恒电场电动势§8-9电场的能量返回目录下一页上一页4

电荷守恒定律在一孤立系统内，无论发生怎样的物理过程，该系统电荷的代数和保持不变，这就是电荷守恒定律.

1

电荷有正负之分

强子的夸克模型具有分数电荷（或电子电荷）但实验上尚未直接证明.3

同性相斥，异性相吸.2

电荷量子化；电子电荷

§8-1电场电场强度8.1.1电荷返回目录下一页上一页真空中两个静止点电荷之间相互作用力的大小与这两个点电荷所带电量q1和q2的乘积成正比，与它们之间的距离r的平方成反比.作用力的方向沿着两个点电荷的连线，同号电荷相互排斥、异号电荷相互吸引.这就是库仑定律.8.1.2库仑定律返回目录下一页上一页：真空中的介电常数

静电力的叠加原理：当空间同时存在几个点电荷时，它们共同作用于某一点电荷的静电力等于其他各点电荷单独存在时作用在该点电荷上的静电力的矢量和.：施力电荷指向受力电荷的矢径方向的单位矢量返回目录下一页上一页1.静电场实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用是怎样实现的？电荷电场电荷场是一种特殊形态的物质.实物物质场8.1.3电场强度返回目录下一页上一页2.电场强度

单位

电场中某点处的电场强度

等于位于该点处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受力方向.电荷在电场中受力

（试验电荷为点电荷、且电量很小,故对原电场几乎无影响）：场源电荷：试验电荷返回目录下一页上一页8.1.4场强叠加原理受到的总静电力

电场中任一场点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和.这就是场强叠加原理.返回目录下一页上一页1.点电荷的电场问8.1.5场强的计算返回目录下一页上一页2.点电荷系的电场Ei为qi单独存在时在P点产生的电场的场强

根据场强叠加原理，P点总场强

返回目录下一页上一页电偶极矩（电矩）例8.1

电偶极子的电场强度电偶极子的轴讨论（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度返回目录下一页上一页返回目录下一页上一页（2）电偶极子轴线的中垂线上B点的电场强度EB沿x轴负方向，与电矩p方向相反

返回目录下一页上一页r3.电荷连续分布的带电体的电场电荷体密度电荷面密度电荷线密度返回目录下一页上一页例8.2

真空中有一均匀带电直线，长为L，总电量q，试求距直线上距离为a的P点的场强.解见图8.2，取P点到L的垂足O点为坐标原点，x轴与y轴正向如图所示.P点到L两端的连线与x轴正方向的夹角分别为和.线元dx位于x处，则,dq在P点产生的场强dE方向如图，大小为图8.2均匀带电直线外任一点的场强r为P点到dx的距离，r与x正向的夹角为θ，则返回目录下一页上一页因为所以积分后的返回目录下一页上一页图8.2均匀带电直线外任一点的场强式(8.12a)和式(8.12b)中.当λ为常量，L→∞时，

，则返回目录下一页上一页解例8.3正电荷均匀分布在半径为的圆环上.计算在环的轴线上任一点的电场强度.返回目录下一页上一页（3）（带电圆环近似为一点电荷）（1）E沿x轴离开原点O的方向E沿x轴指向原点O的方向（2）环心处E＝0返回目录下一页上一页1均匀带电薄圆盘轴线上的电场强度.有一半径为,电荷均匀分布的薄圆盘,其电荷面密度为.求通过盘心且垂直盘面的轴线上任意一点处的电场强度.解由例8.3返回目录下一页上一页返回目录下一页上一页（点电荷电场强度）讨论无限大均匀带电平面的电场强度返回目录下一页上一页8.1.6

带电体在外电场中所受的作用带电体在匀强场中：解如图所示，电矩p的方向与E的方向之间夹角为θ，则正、负点电荷受力分别为例8.4计算电偶极子在均匀外电场E中所受的合力和合力矩.返回目录下一页上一页合力所以电偶极子在电场作用下总要使电矩p转到E的方向上，达到稳定平衡状态.力偶矩的大小为考虑到力矩M的方向，上式写成矢量式为返回目录下一页上一页8.2.1

电场的图示法电力线

1）

曲线上每一点切线方向为该点电场方向

2）通过垂直于电场方向单位面积电力线数目为该点电场强度的大小.电力线规定§8-2电通量高斯定理返回目录下一页上一页点电荷的电力线正点电荷+负点电荷返回目录下一页上一页一对等量异号点电荷的电力线+返回目录下一页上一页一对等量正点电荷的电力线++返回目录下一页上一页一对不等量异号点电荷的电力线返回目录下一页上一页带电平行板电容器的电力线++++++++++++

返回目录下一页上一页电力线性质（1）不形成闭合回线也不中断，而是起自正电荷(或无穷远处)、止于负电荷(或无穷远处).（2）任何两条电力线不相交.说明静电场中每一点的场强是惟一的.返回目录下一页上一页8.2.2

电通量通过电场中任一给定面的电力线数称为通过该面的电通量.均匀电场，垂直平面均匀电场，与平面夹角返回目录下一页上一页

非均匀电场中电通量为封闭曲面时返回目录下一页上一页8.2.3

高斯定理思考：1）高斯面上的与那些电荷有关？2）哪些电荷对闭合曲面的有贡献？通过真空中的静电场中任一闭合面的电通量

等于包围在该闭合面内的电荷代数和的

分之一，而与闭合面外的电荷无关.

返回目录下一页上一页+点电荷位于球面中心高斯定理的导出高斯定理库仑定律电场强度叠加原理与r无关返回目录下一页上一页发出的条电力线不会中断，仍全部穿出封闭曲面S

，即：+

点电荷在任意闭合曲面内点电荷位于球面中心返回目录下一页上一页点电荷在闭合曲面之外返回目录下一页上一页由多个点电荷产生的电场闭合曲面取定返回目录下一页上一页1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度.4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电通量有贡献.2）高斯面为封闭曲面.5）静电场是有源场.3）穿进高斯面的电通量为负，穿出为正.总结返回目录下一页上一页正确理解高斯定理2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但不能说明高斯面上各点的E一定为零。1）高斯面上各点的场强E，例如P点的EP是所有在场的电荷共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。Ｅ－＋返回目录下一页上一页8.2.4

高斯定理的应用（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）返回目录下一页上一页其步骤为（1）首先要分析电场的对称性；（2）根据对称性选择一个合适的高斯面：或者使某一面积上为常数，或者使某面积上

处处与垂直，或者使某面积上

处处与

平行；（3）应用高斯定理计算.++++++++++++例8.5均匀带电球面的电场强度一半径为,均匀带电的球面.求球面内外任意点的电场强度.解（1）（2）返回目录下一页上一页无限大均匀带电平面的电场：（设其电荷面密度为σ）由分析可知无限大均匀带电平面的电场分布具面对称性，即电力线是一组垂直于平面的平行线;且与平面等距离的点场强大小相等。设P为平面外之一点，过P点作一与无限大平面垂直且对称的小柱形高斯面，如下图：则通过该高斯面的电通量为：返回目录下一页上一页说明无限大带电平面的电场中，各点的场强相等，与距离无关。而所以电场大小为方向垂直于平面，带正电时向外、带负电时指向平面；返回目录下一页上一页*带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：由图可知：返回目录下一页上一页例8.6

一厚度为d的无限大平板，平板体积内均匀带电，体电荷密度ρ＞0.设板内、外的介电常数均为ε0.求平板内、外场强分布.解所以E的方向垂直于平板，ρ＞0时向外，ρ＜0时向内.返回目录下一页上一页EE无限长均匀带电圆柱面的电场（设电荷线密度为λ）同前分析可知，柱面内各点E内=0，电场以中心轴线为对称。++++++++++++++横截面上的电场分布返回目录下一页上一页设P为柱面外之一点，过P作与带电柱面同轴的柱形高斯面，则高斯面的侧面S２上的各点E值相同，而上、下两底E的方向与S1、S3的法线方向垂直，所以通过该高斯面的电通量为：lr返回目录下一页上一页

可见，无限长均匀带电圆柱面外各点的电场，等同于将全部电荷集中在轴线上的无限长直带电线的电场。返回目录下一页上一页lr例8.7试求半径为R，电荷面密度为σ的无限长均匀带电圆柱面的场强.解：同理圆柱面内任一点E＝0

返回目录下一页上一页8.3.1

电场力的功点电荷的电场结果:

仅与的始末位置有关，与路径无关.

§8-3电场力的功电势返回目录下一页上一页任意带电体的电场（带电体可看成是许多点电荷的集合）结论：试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所作的功，只与电场的性质、试验电荷的电量大小及路径起点和终点的位置有关，而与路径无关.

电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。返回目录下一页上一页8.3.2

静电场的环流定理静电场的环流定理：在静电场中，场强E的环流恒等于零。（静电场是保守场）cd返回目录下一页上一页8.3.3

电势能静电场是保守力场.静电场力所做的功等于相应电势能增量的负值.令试验电荷在电场中任意一点的电势能在数值上等于把它由该点移到电势能零点处时静电场力所做的功.返回目录下一页上一页若规定无穷远处为电势零点，则电场中某点a的电势在数值上等于把单位正电荷从该点沿任意路径移到无穷远处时电场力所作的功.8.3.4

电势电势差原子物理中能量单位单位：伏特返回目录下一页上一页静电场中a，b两点的电势差等于单位正电荷从a点移到b点时电场力做的功.静电场中任意两点a和b电势之差称为a，b两点的电势差，也称为电压.

返回目录下一页上一页电势零点选择方法：有限带电体以无穷远为电势零点，实际问题中常选择地球电势为零.

物理意义把单位正试验电荷从点a

移到无穷远时，电场力所做的功.

电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势大小是相对的，与电势零点的选择有关.注意静电场力的功返回目录下一页上一页1.点电荷电场的电势令8.3.5

电势的计算返回目录下一页上一页2.电势叠加原理电荷连续分布点电荷系返回目录下一页上一页解如图，取=0，则对任一场点P，其电势例8.8求电偶极子电场中任一点的电势.电偶极子的电矩.返回目录下一页上一页例8.9求均匀带电球面的电场中电势的分布.设球面半径为R，总电量为q.解：r<RE１＝0r>R球面外各点的电势与全部电荷集中在球心时的点电荷的电势相同；球面内任一点的电势都相等，且等于球面上的电势.返回目录下一页上一页空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面.为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等.8.4.1

等势面在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功在静电场中，电场强度总是与等势面垂直的，即电力线与等势面正交.§8-4场强与电势的关系返回目录下一页上一页点电荷的等势面按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小．返回目录下一页上一页两平行带电平板的电力线和等势面++++++++++++

返回目录下一页上一页一对等量异号点电荷的电力线和等势面+返回目录下一页上一页8.4.2

场强与电势梯度的关系电场中某一点的场强沿某一方向的分量，等于电势沿该方向上变化率的负值。返回目录下一页上一页电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值.电势梯度的单位为伏特/米(V/m)表示法线n方向的单位矢量。返回目录下一页上一页

1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？

2）的地方，吗？

3）相等的地方，一定相等吗？等势面上一定相等吗？讨论电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿等势面法向且指向电势增大的方向.返回目录下一页上一页例8.10利用场强与电势梯度的关系，求半径为R，面电荷密度为σ的均匀带电圆盘轴线上的场强.则圆盘在P点产生的电势为解如图所示返回目录下一页上一页x所以P点场强为即轴线上一点的场强为返回目录下一页上一页8.5.1导体的静电平衡无外场时，整个金属的电量代数和为零，呈电中性，这时电子只是作无规则的热运动。§8-5静电场中的导体１、金属导体的电结构返回目录下一页上一页2、静电感应当把导体引入场强为E0的外场后，导体中的自由电子就在外电场的作用下，沿着与场强方向相反的方向运动，从而引起导体内部电荷的重新分布现象，这就是静电感应。因静电感应而出现的电荷称感应电荷。返回目录下一页上一页+++++++++感应电荷返回目录下一页上一页++++++++++++返回目录下一页上一页++++++++导体内电场强度外电场强度感应电荷电场强度3、导体内部的场返回目录下一页上一页4.导体的静电平衡条件1）导体内部任何一点处的场强为零；2）导体表面附近场强沿表面的法线方向.5、导体在静电平衡时的性质++++++1)导体是等势体，导体表面是等势面返回目录下一页上一页2)导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上++++++++++结论导体内部无电荷3)靠近导体表面附近场强和面电荷密度关系为表面电荷面密度表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比返回目录下一页上一页+++++++++注意:导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.导体表面电荷分布返回目录下一页上一页带电导体尖端附近电场最强带电导体表面尖端附近的电场特别强，可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即尖端放电

.尖端放电会损耗电能,还会干扰精密测量和对通讯产生危害

.然而尖端放电也有很广泛的应用

.尖端放电现象尖端放电现象的利与弊+++++++++返回目录下一页上一页尖端放电与避雷针原理接静电起电机返回目录下一页上一页8.5.2

导体壳和静电屏蔽1.空腔内无带电体的情况电荷分布在表面上问内表面上有电荷吗？返回目录下一页上一页若内表面带电所以内表面不带电++--

结论电荷分布在外表面上（内表面无电荷）++++++++++矛盾导体是等势体返回目录下一页上一页2.空腔内有带电体情况电荷分布在表面上问内表面上有电荷吗？

结论当空腔内有电荷时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷，外表面增加感应电荷.（电荷守恒）返回目录下一页上一页3.静电屏蔽屏蔽外电场外电场空腔导体可以屏蔽外电场,使空腔内物体不受外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等.空腔导体屏蔽外电场返回目录下一页上一页接地空腔导体将使外部空间不受空腔内的电场影响.

问：空间各部分的电场强度如何分布？接地导体电势为零屏蔽腔内电场++++++++返回目录下一页上一页三有导体存在的静电场场强与电势的计算计算有导体存在时的静电场分布步骤：首先根据静电平衡时导体内部场强为零和电荷守恒定律、确定导体上电荷新的分布量，然后由新的电荷分布求电场的分布。返回目录下一页上一页例8.11在一个接地的导体球附近有一个电量为q的点电荷.已知球的半径为R，点电荷到球心的距离为l.求导体球表面感应电荷的总电量q′.解：返回目录下一页上一页例、带有电荷，半径为的实心导体球，同心地罩上一个带电，内径为，外径为的导体球壳。试求：（1）静电平衡时内球和球壳的电荷分布；（2）如图所示，A、B、C、D处的场强和电势；（3）用导线把内球和球壳相连，此时的电荷分布及A、B、C、D处的场强和电势又如何？（1）据静电平衡条件和高斯定理有：内球：电荷均匀分布在球面；球壳：内表面均匀分布；外表面均匀分布。ADCB返回目录下一页上一页（2）由高斯定理，可算得：返回目录下一页上一页ADCBADCB所以返回目录下一页上一页ADCB（3）用导线把内球与球壳相连，则内球与球壳连成一导体整体。静电平衡时，电荷只分布于导体表面，故内球表面和球壳内表面都不带电，电荷均匀分布与球壳外表面，导体内场强为零，整个导体是一等势体，即ADCB返回目录下一页上一页d+q例、面积为S的接地金属板，距离d处有一点电荷+q（d很小），则板上离点电荷最近处的感应电荷面密度为多少?因板接地，故背离q的面无感应电荷。P点的电场为与的叠加，大小为零。故与如图所示。SP返回目录下一页上一页将感应电荷分成两部分：一部分以P点为圆心的圆形面元，另一部分为其余面上电荷。而第二部分电荷在P点的场强相抵消。故实际上只是上电荷产生的。由于p点离很近，故可把称为无限大带电平板，即有而返回目录下一页上一页8.6.1电介质的极化导体、半导体以外，在电场之中能与电场发生作用的物质。称为电介质。1、电介质的电结构

1)分子中等效正、负电荷的“中心”一个中性分子所带正电荷与负电荷的量值总是相等的。但一般情况下，每个分子内的正、负电荷都不是集中在一点而是分布在分子所占体积之中的，如：为了突出电介质与导体的不同，通常将电介质看作理想的绝缘体，即无可自由移动的电荷。§8-6静电场中的电介质返回目录下一页上一页-++OH+H++H2OH+++-+H+H+NNH3（氨）等效的正、负点电荷所在的位置称为等效正、负电荷的“中心”（或“重心”）。

2)有极分子电介质、无极分子电介质

①凡分子的等效正、负电荷中心不重合的电介质称为有极分子电介质，如HCl

、H2O、CO、SO2、NH3…..等。其分子有等效电偶极子、它们的电矩称作分子的固有电矩，记作Pe。+-+-返回目录下一页上一页

②凡分子的等效正、负电荷中心重合的电介质称为无极分子电介质。其分子的固有电矩Pe=0

如所有的惰性气体及CH4等。--+HeH+++-++H+H+H+CH4（甲烷）CHe+--返回目录下一页上一页3)电介质无外场时呈电中性无外电场时，无极分子电介质固有电矩为零，呈中性是显然的，对有极分子电介质，因其无规则热运动的结果，使得每个分子的固有电矩的取向都是杂乱无章的，因此，在介质内任取一个小体积元，各个分子电矩的矢量和必定为零，故呈电中性。2、电介质的极化

1)无极分子电介质的位移极化在外电场作用下，分子正电荷等效中心和负电荷等效中心发生相对位移，形成附加分子偶极子pm叫位移极化。返回目录下一页上一页无极分子电介质：（氢、甲烷、二氧化碳等）有极分子电介质：（水、有机玻璃、一氧化碳等）返回目录下一页上一页均匀极化时，只在表面出现极化电荷q/。由于这种电荷不能移动，故又称为束缚电荷。返回目录下一页上一页沈辉奇制作-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+2)、有极分子电介质的转向（取向）极化无外场有外场均匀极化+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+--+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-返回目录下一页上一页无论有极分子电介质还是无极分子电介质，当它们是均匀各向同性的，且处在均匀外场中时，由于在电介质内部相邻电偶极子正、负电荷相互靠得很近，因而介质内部也无净电荷。电介质在外电场的作用下出现极化电荷的现象称电介质极化。在两个与外场垂直的端面上将出现极化电荷──但这种电荷不能脱离分子，又不能在介质中自由移动，故又谓之束缚电荷；如果介质不均匀，或外场不均匀，或介质各向异性，则介质极化后在介质内部也会出现净电荷，这与导体静电平衡时内部无电荷有所不同。返回目录下一页上一页*8.6.2极化强度和极化电荷极化强度

是表征电介质极化程度的物理量.在均匀电介质中，极化电荷集中在介质的表面.是表面极化电荷面密度.返回目录下一页上一页越过整个闭合面S而向外移出的极化电荷总量：根据电荷守恒定律极化强度P与极化电荷分布之间的普遍关系：在介质中沿任意闭合曲面的极化强度通量等于曲面所包围的体积内极化电荷的负值.返回目录下一页上一页*8.6.3电介质的极化规律E是自由电荷场强E0和极化电荷场强E′之和，χ是介质的极化率.

一种电介质材料所能承受的不被击穿的最大场强称为这种电介质的击穿场强.返回目录下一页上一页++++++------+++++++++++-----------电位移矢量8.6.4

有电介质时的高斯定理在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合面内自由电荷的代数和.返回目录下一页上一页返回目录下一页上一页返回目录下一页上一页令电介质的相对介电常数介质中的场强小于真空中的场强.这是因为介质上的极化电荷在介质中产生的附加电场E′与E0的方向相反而减弱了外电场的缘故.

返回目录下一页上一页1）有介质时静电场的性质方程2）在解场方面的应用在具有某种对称性的情况下可以首先由高斯定理解出思路讨论返回目录下一页上一页例一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d相对介电常数为r，内部均匀分布体电荷密度为0的自由电荷。求：介质板内、外的DE解：面对称平板取坐标系如图处以x=0处的面为对称过场点（坐标为x）作正柱形高斯面S设底面积为S0

返回目录下一页上一页返回目录下一页上一页8.7.1

孤立导体的电容

电容的大小仅与导体的尺寸、形状、相对位置、其间的电介质有关.与q和U无关.单位

C为孤立导体的电容.

§8-7电容电容器返回目录下一页上一页8.7.2

电容器及其电容返回目录下一页上一页电容器的计算步骤如下：（1）设设两极板分别带电，写出两极间的电场强度表达式（一般由高斯定理求出）。（2）由公式，求出。（3）由公式，求出电容C。1.圆柱形电容器.如图所示，圆柱形电容器是由半径分别为和的两同轴圆柱面A

和B

所构成，且圆柱体的长度

l

远大于半径之差.两导体之间充满介电常数为的电介质.求此圆柱形电容器的电容.（2）（1）设两导体圆柱面单位长度上分别带电解：（3）++++----返回目录下一页上一页由高斯定理，可算得：（4）电容++++----返回目录下一页上一页AB++++++------（2）两带电平板间的电场强度解（1）设两导体板分别带电（3）两带电平板间的电势差（4）平板电容器电容返回目录下一页上一页2.平板电容器.在真空中，平板电容器由两个彼此靠得很近的平行极板A、B

所组成，两极板的面积均为S，两极板间距离为d.且，求此平板电容器的电容.由高斯定理，可算得：＋＋＋＋＋＋＋＋*3.球形电容器.在真空中，球形电容器由半径分别为和的两同心金属球壳所组成.解设内球带正电（）外球带负电（）返回目录下一页上一页1.电容器的串联各电容器都带有相同的电量＋*8.7.3

电容器的联接返回目录下一页上一页2.电容器的并联各电容器上的电压相同＋返回目录下一页上一页*8.7.4

范德格拉夫起电机利用导体的静电特性和尖端放电现象，可使物体连续不断地带有大量电荷，这样的装置叫范德格拉夫起电机，其构造和作用原理如右图.返回目录下一页上一页例8.12一平行板电容器的极板面积为S，板间距离d，电势差为U.两极板间平行放置一层厚度为t，相对介电常数为的电介质.试求：(1)极板上的电量Q；(2)两极板间的电位移D和场强E；(3)电容器的电容.Q是正极板上的电量，待求.返回目录下一页上一页解：取图示园柱形高斯面在真空间隙中在介质中(2)把代入上述和得返回目录下一页上一页由于电介质插入，电容增大了；若t＝d，即电介质充满两极板之间间隙时，有，电容扩大到原来的倍.返回目录下一页上一页++++++8.8.1

电流电流密度

1.电流单位:1A

单位时间内通过某横截面的电量称为电流强度.习惯上规定正电荷定向运动的方向为电流的方向.§8-8电流稳恒电场电动势返回目录下一页上一页I※用电流强度还不能细致地描述电流的分布。