误差理论与数据处理2016

误差理论与数据处理ErrorAnalysis&DataProcess张朝晖自动化学院仪器系

北京科技大学2016春季课程简况

课程编号：1050339

课程类别：必修

适用专业：测控技术与仪器

总学时：28+4

学分：2

先修课程：高等数学，概率论与数理统计等

考核方式：考试(70%)+作业及出勤(30%)参考文献费业泰编，《误差理论与数据处理》，机械工业出版社，2010年，第6版丁振良编，《误差理论与数据处理》，哈尔滨工业大学出版社，2002年，第2版梁晋文，《误差理论与数据处理》，中国计量出版社，2001年，第2版杨惠连编，《误差理论与数据处理》，天津大学出版社，1992年，第1版钟继贵，《误差理论与数据处理》，水利电力出版社，1993年，第1版沙定国，《实用误差理论与数据处理》，北京理工大学出版社，1993年，第1版第1章绪论第1节测量的本质

1测量对一个物体或现象进行量（quantity）的描述，称为测量。量=1个数+1个单位

第1节测量的本质

●量可以是物理、化学、生物、信息等各领域的，但归根到底是物理的，并且可以由7大基本物理量（相互独立）衍生出来：长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量、发光强度第1节测量的本质

●单位将逐渐建立在物理效应上。相应基本量的单位：长度（米）、质量（千克）、时间（秒）、电流（安培）、热力学温度（开尔文）、物质的量（摩尔）、发光强度（坎德拉）第1节测量的本质

●数

L=10.00mI=0.001A尽管我们想象某个量可能会存在一个确定数，但是，测量过程是人为施加的，测量的结果不会是一个绝对真实的数。误差总是可观存在的。●误差（Error）：

误差＝测量值－真值第1节测量的本质理论值:三角形内角之和180º理论值:整圆周角360º约定值:国际千克基准1Kg以后会看到，也可用更高精度表测得的值作为真值。导致误差的原因粗大误差系统误差随机误差第2节存在误差的原因第2节存在误差的原因系统误差（SystematicError）：

由于仪器原理不完善、环境变化所造成。在重复测试下，误差具有确定性规律。例如总是“+”，或随测试条件而波动起伏。

可以通过标定、环境补偿等方法消除。第2节存在误差的原因随机误差（AccidentalError）：

仪器本身、测量环境中不可控因素造成。在重复测试下，误差具有统计性规律（多种）。

通过本课程“误差理论及数据处理”，能够显著降低。人的误差(Humanerror):测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。为了减小测量人员误差，测量人员应该了解测量仪器的测量原理和特性，熟练掌握测量规程，精心进行测量操作；对于重要的量，可以多人测量核对。第2节存在误差的原因

误差的表达类型引用误差绝对误差相对误差第3节误差的表达特点：绝对误差具有大小、符号、单位。（不是绝对值）第3节误差的表达L＝L－L0绝对误差（AbsoluteError）

＝测量值－真值真值L0，或测量值L特点：1）相对误差有大小和符号。2）无量纲，一般用百分数来表示。相对误差（RelativeError）

=绝对误差与真值（或测量值）之比第3节误差的表达引用误差（FiducialError）标称范围（或量程）上限标称范围（量程）内的最大绝对误差

特点：方便使用，不需知道具体测量值，只要知道范围即。

第3节误差的表达第4节研究误差的意义

正确认识误差的性质，分析误差产生的原因从根本上，减小误差正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果通过计算得到更接近真值的数据正确组织实验过程，合理设计、选用仪器或测量方法根据目标确定最佳系统第5节有效数字1有效数字（SignificantFigures）

在表达“量”的“数”中，并不是每一位都有意义(携带信息)，右边的低位意义较小、甚至没有意义。如果绝对误差小于最末尾数的半个单位，那么这一位、以及往前直到非零的最高位，都称为有效数字。例如，假设某个测量的最大绝对误差是0.003（<0.005），则测量结果读数是1.2345中，有效数字是1.23，后面的4、5都不是有效数字。又如，假设最大绝对误差是0.007（<0.05），则测量结果读数1.2345中，有效数字是1.2，后面的3、4、5都不是有效数字。

又如，有效数字123.00表明最大绝对误差是0.005，7.20*10^4表明最大绝对误差是50(记法72000是含糊的）。

(这里是对测量结果的记录而言，不是寄存器数据0x00FF)

第5节有效数字2非有效数字的取舍

既然测量仪所显示的数字并不都有意义，为简洁就没必要保留所有显示数据，应该对非有效数字进行取舍。如果已知最大绝对误差是某半位，例如0.005，那么之后的非有效数字可按下规则取舍：（1）小于0.005的，舍弃3.14493.14（2）大于0.005的，进位3.145013.15（3）等于0.005的，凑偶3.16500

3.16

3.135003.14

事实上，仪表显示的有效数字是根据最大绝对误差设计的，保证都是有效数字。第5节有效数字3不同有效数字的运算

（1）在有效数字进行运算之前，为保证最后结果不丢失信息，应多保留一位作为参考数字。（2）在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。例:记录数据2643.0,987.7,4.187,0.2354，最大绝对误差小于0.05，求和：2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.13≈3635.1（有效数字也能取舍？）

48.1+78+65.38=48.1+78+65.4=

191.5≈192（有效数字也能取舍？）

48.1+78+

65.38

=

191.48≈191

（结果相同？）25.6-21.1-2.43=2.07≈2.1第5节有效数字（3）在近似数乘除运算时，以有效位数最少的为准，其余数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的相同。

483*73.67/15.67=2267.7…≈2.27*10^3

483*73.678/15.67=483*73.68/15.67=2271.0…≈2.27*10^3（4）在近似数平方、开方、指数运算时，与乘除运算相同。exp(0.0189*25）=exp(0.4725)=1.60…≈1.6第2章误差特征与数据处理

对同一量进行重复测量时，测量值（又称为测量列）或者误差的大小、正负会随机变化，不可预测，但是具有统计规律。1正态分布（1）来源如果随机误差是由大量、微小因素迭加而成的，那么这种随机误差服从正态分布。

---中心极限定理：大量的、独立的、具有一定（非无限）期望和方差的随机变量之算术平均值，服从正态分布。（无论每个随机变量服从何种分布）

第1节随机误差例如：测量装置方面的因素

环境方面的因素零部件变形及其不稳定性，信号电路的随机噪声等。温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。第1节随机误差（2）形态式中：σ标准差（或均方根）

e自然对数的底2.7182…

特点：单峰，对称，有界，0均值标准差的含义：如图第1节随机误差（3）真值的估计—均值对某量进行一系列等精度测量。设为n次测量的数值，则真值的无偏、最小方差估计就是它们的算术平均值这种估计算法的效果怎么样？

数学期望就是真值，即当n很大时非常接近真值；（4）均值的评价之一--标准差

方差是，标准差，可见是显著减小、显著改善的。第1节随机误差如果你是用户（无大量重复测试或标定的条件），应从厂商取得；如果你是厂家，可以用数据列来估计：定义残差，则贝塞尔法（样本方差法）：，别捷尔斯法：极差法：最大误差法：第1节随机误差n-1才能无偏

第1节随机误差n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44n234567891011121314dn131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.41此时，均值的标准差第1节随机误差例1求测量列的标准差。

解：按贝塞尔法，按别捷尔斯法，按极差法，按最大误差法，序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225

第1节随机误差（5）均值的评价之二—极限误差

单次测量的极限误差一般定义为，即每次测量值落在真值范围内的概率高达99.73%.

现在考虑测量n次后的均值，其标准差是，所以极限误差是

，超出此范围的概率小到0.27%。

继续考虑这个问题。如果不知道σ，就只能用，此时无法再查正态分布表。按照，应该查t分布表。例如n=10，则自由度n-1=9，查超出范围的概率小到0.27%(即置信度99.73%)的极限误差为

。

第1节随机误差第1节随机误差例2求测量列的极限误差。解：置信度99.73%的极限误差为第1节随机误差2均匀分布（1）来源在一定范围内，各点出现的概率相等。例如，刻度盘误差、模数转换误差、机械传动中的空程误差、摩擦滞后误差。

第1节随机误差分布密度：

分布函数：它的数学期望为：它的方差、标准差分别为：如果厂家未提供a,可以估计：

第1节随机误差对于U(0,a),对于U(α,β),（2）真值的估计式

第1节随机误差3其他分布（1）三角形分布两个均匀分布的随机变量，其和的分布为三角分布。

第1节随机误差（2）反正弦分布随机误差的概率密度函数与某个角度有关。（略）

第1节随机误差4不等精度测量

对于测量列l1,l2,...,ln,如果它们的期望是l0，方差分别是无论服从何种分布，都应该取下式可以证明，这是对真值的最佳线性无偏估计。第1节随机误差若σi2未知，无法用现在的测量列（例如S2）来评价。可以先估计每一个σi2例3用三种精度（误差的方差不同）的仪表测量一只钢卷尺的长度，结果分别是

σ1=0.05mm的仪表，测得l1=2000.45

σ2=0.20mm的仪表，测得l2=2000.15

σ3=0.10mm的仪表，测得l3=2000.60求：真实长度l0的最佳估计。解：第1节随机误差结果接近第一个例4用国家基准米尺连续三天测量一只工作基准米尺。三个结果分别是999.9425mm(三次平均)，999.9416mm(两次平均），999.9419mm(五次平均）。求工作基准米尺的长度估计值。解：设国家基准米尺的误差方差为σ2,无论何种分布。则每天结果的方差分别为σ2/3,σ2/2,σ2/5，即属于不等精度（方差）的测量。考虑三天个结果，长度的估计为第1节随机误差最接近5次平均的那个结果1系统误差的原因原理不完善-容积式流量计（罗茨泄漏），辐射测温（辐射率<1），接触电阻电势制造安装-零点,不对称,轨道不平行,不垂直，...环境因素-温度(伸缩、电阻率)，湿度（绝缘），时间累积（CL），...人工因素-观察倾向、反应时间（动态测量）,...

（自动测量不再有此问题）第2节系统误差2系统误差的规律

如果重复测量，误差的大小、符号不一定变化，因此不再是独立的、零均值的平稳随机数据。如果改变测量条件、环境（或时间），误差会出现一定规律，显示出关联性。由于系统噪声总是与随机噪声混迭在一起的，所以这种关联性不是分析数学、而是统计意义下的关联性。例如：●

固定不变的误差---例如基准的变化●

随测量值增加而线性变化的误差---例如反馈部件●

随测量值增加而周期变化的误差---例如偏心旋转●

随测量值增加而复杂变化的误差---例如流量开方第2节系统误差3系统误差的发现●

不同仪器的对比用更高级、或同级的另外仪器，同时测量对比。---能够发现固定不变的系统误差。例如第2节系统误差●

残差观察---红线为平均值，由此可以求出残差。

看残差的时间规律。虽然其平均值总是为0，但每个残差值有明显的时间规律，见图。马利科夫准则：如果前后两段的残差平均值相差较远，即明显非0，则可以发现线性变化的系统误差。

第2节系统误差阿贝-赫梅特准则（Abbe-Helmert

criterion）：如果相邻数据存在强关联性（Rxx(1))，则存在周期性系统误差。第2节系统误差●

秩和检验

两组测量列，之间是否存在系统误差？

xii=1～n

yii=1～m按大小顺序重新排列，找出测量列短的数据的顺序～秩，然后求出秩和T.查秩和检验表，得到T+,T-。若T-<T<T+则不存在系统误差。第2节系统误差●

t检验两组测量列，xii=1～n

yii=1～m如果都来自正态总体

,,它们间是否存在系统误差？

利用两个样本的均值和样本的方差来检验两者均值的差。

第2节系统误差不同于无偏的样本方差的含义因为所以

又因将xi,i=1,2,…,n做正交变换，可得上式实际为(n-1)项之和，因此同理，。因此

可见，第2节系统误差如果xi，yi

来自同一总体，即期望、方差分别相等，则上式简化为即此式可用于检验xi，yi是否来自同一总体!第2节系统误差

由及取，查t分布表得.又因，故无根据怀疑两组间存在系统误差。

则解：第2节系统误差例5两测量列数据为：

x=1.9，0.8，1.1，0.1，-0.1，4.4，5.5，1.6，4.6，3.4y=0.7，-1.6，-0.2，-1.2，-0.1，3.4，3.7，0.8，0.0，2.04系统误差的减小和消除（1）消除系统误差的来源

通过上述分析找到系统误差后，最好能消除其来源。

①所用基准件、标准件（如量块、刻尺、光波容器等）是否准确可靠；

②所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定，并有有效周期的检定证书；

③仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理；

④所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无理论误差；

⑤测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等；

⑥注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。第2节系统误差（2）修正法如果不能消除原因，但已经知道系统误差的大小，则应在测量值上直接修正---减去系统误差。第2节系统误差如果不能消除原因，也不知道系统误差大小，只知道规律，就应从测量方法上进行完善。（3）对恒定的系统误差①反向补偿法：针对产生系统误差的加性因素，在正、反因素下各测一次，然后取算数平均。第2节系统误差例6在使用丝杠转动机构测微小位移时，为消除微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的定回误差，可采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果，以补偿定回误差的影响。

②交换法：针对产生系统误差的乘性因素，在正、反因素下各测一次，然后取几何平均。（将某些条件交换。）

例7称重天平不等臂。先将被测量X放于天平一侧，砝码P放于其另一侧，调至平衡，则有再将X与P交换位置，天平将失去平衡。将砝码调整为P+Δ

后再次平衡，则有两者相乘，有消除了乘性因数（臂长l不等）的影响。第2节系统误差（4）对线性变化的系统误差—对称法

随着时间的变化，被测量呈线性增加。若选定某时刻为对称中点，则对称时间点的系统误差的算术平均值皆相等，即

据此，可对称地安排测量，取各对称点两次读数的算术平均值作为测得值，可消除线性系统误差（转化成固定的系统误差）。例8用“标准量块”A检验“测定量块B”的平面平行性。先以标准量块A的中心0点对零，然后按图中所示被检量块B上的顺序逐点检定，再按相反顺序进行检定，取正反两次读数的平均值作为各点的测得值，就可消除因温度变化而产生的线性系统误差。第2节系统误差（5）对于周期性变化的系统误差——半周期法先确定其周期，然后相隔半周期进行两次测量，取两次读数的平均值，即可有效消除周期性系统误差。

假设周期性系统误差可表示为当时，误差为当时，误差为取两次读数的平均值，则有由此可知半周期法能消除周期性系统误差。第2节系统误差例9仪器刻度盘偏心安装、表针回转中心与刻度盘中心偏心安装，都会引起周期性误差，可用半周期法予以剔除。（6）对复杂规律变化的系统误差

通过构造合适的数学模型，进行实验回归统计，进行系统误差的补偿或修正。第2节系统误差

在一系列重复测量中，如果个别数据的大小与其它数据有明显差异，这些可疑数据可能含有粗大误差。在小样本中，此数据会拉高与其他数据的平均值，使偏离真值更远（出现大误差的概率虽然小，但在小样本中也可能出现）。因此，应当判别出粗大误差，并剔除之。1产生的原因

①测量人员的主观原因

②客观外界条件的原因测量者工作责任感不强、工作过于疲劳、缺乏经验操作不当，或在测量时不小心、不耐心、不仔细等，造成错误的读书或记录。测量条件意外地改变（如机械冲击、外界振动、电磁干扰等）。第3节粗大误差2、粗大误差的判别（1）准则

准则是最常用、最简单的粗大误差判别准则。对正态分布的测量列，如果方差未知，可以用贝塞尔公式来估计如果测量次数充分大，这个估计是比较准确的。对某个可疑数据，若其残差满足则可认为该数据含有粗大误差，应予以剔除。第3节粗大误差例10对某量进行15次等精度测量，测量列如下表所示。假设不存在系统误差，试判别该是否含有粗大误差的测量值。第3节粗大误差序号12345678910111213141520.4220.4320.4020.4320.4220.4320.3920.3020.4020.4320.4220.4120.3920.3920.40+0.016+0.026-0.004+0.026+0.016+0.026-0.014-0.104-0.004+0.026+0.016+0.006-0.014-0.014-0.0040.0002560.0006760.0000160.0006760.0002560.0006760.0001960.0108160.0000160.0006760.0002560.0000360.0001960.0001960.000016+0.009+0.019-0.011+0.019+0.009+0.019-0.021——-0.011+0.019+0.009-0.001-0.021-0.021-0.0110.0000810.0003610.0001210.0003610.0000810.0003610.000441——0.0001210.0003610.0000810.0000010.0004410.0004410.000121因为所以l8存在粗大误差。剔除l8后重新计算上表，，将、列入表中，有所以不再有粗大误差。第3节粗大误差（2）t检验

对于正态分布的测量列，在方差未知下，如果测量次数很少，就应该用t分布而非正态分布做检验。首先将怀疑有粗大误差的测量数据（假设仅1个）作为一个测量列，将其余比较可信的数据（长度为n）作为另一个测量列。假设后一个测量列来自，其样本均值样本方差前一个测量列（单个数据），假设来自同一总体，则

第3节粗大误差可据此检验ld是否来自同一样本，即是否粗大误差。按t分布在显著度α（置信度1-α）下的检验系数来进行

注意，书中N=n+1,。若写成类似形式，书中将列成了下表：第3节粗大误差t分布的检验系数

K

N0.050.01

K

N0.050.01

K

N0.050.0144.9711.46132.293.23222.142.9153.566.53142.263.17232.132.9063.045.04152.243.12242.122.8872.784.36162.223.08252.112.8682.623.96172.203.04262.102.8592.513.71182.183.01272.102.84102.433.54192.173.00282.092.83112.373.41202.162.95292.092.82122.333.31212.152.93302.082.81第3节粗大误差t分布的双侧临界值第3节粗大误差例11仍分析上例中是否含有粗大误差。解：首先,将怀疑的第8个测量值剔除，按剩下的14个测量值，

查t分布在显著度α(置信度1-α)下的双侧临界值因为所以第8数据含有粗大误差。也可以按书,查。因为所以结论相同。第3节粗大误差（3）顺序检验

设测量列应该服从正态分布，

按从小到大的顺序，整理成顺序统计量，格罗布斯研究了最小、最大两个统计量，的分布，将显著度（一般取0.05、0.01）下的临界值列表，即，也即最大、最小者都不可能太远离平均值，否则就是含着粗大误差。

第3节粗大误差0.050.010.050.013456789101112131415161.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.441.161.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.702.75171819202122232425303540501002.482.502.532.562.582.602.622.642.662.742.812.872.963.172.782.822.852.882.912.942.962.993.013.103.183.243.343.59第3节粗大误差例12仍见上例，按大小顺序排列得已知查表得，则最小测量值（第八个）含粗大误差，应予剔除。

对剩下的14个数据重复上述分析。因为

查表得，故测量值不再含粗大误差。

第3节粗大误差（4）极差比值法

对于正态分布的测量列，狄克松（Dixon）提出了一种无需估算标准差、直接根据排序后的某几个极差之比的判别方法。首先按大小顺序排列，然后观察几个统计量

第3节粗大误差在显著度α下，这些统计量的临界值如表所示。若这些统计量超过临界值，则可以认为相关的测量值含有粗大误差。

第3节粗大误差统计量统计量0.010.050.010.053456789101112130.9880.8890.7800.6980.6370.6830.6350.5970.6790.6420.6150.3410.7650.6420.5600.5070.5540.5120.4770.5760.5460.5211415161718192021222324250.6410.6160.5950.5770.5610.5470.5350.5240.5140.5050.4970.4890.5460.5250.5070.4900.4750.4620.4500.4400.4300.4210.4130.406

而且，第3节粗大误差例13仍见以前测量数据，按大小顺序排列如下：先观察最大值。因为n=15，宜考虑统计量查表得。因为，故不含有粗大误差。顺序号顺序号顺序号顺序号20.3020.3920.3920.3920.4020.4020.4020.4112345678——123456720.4220.4220.4220.4320.4320.4320.439101112131415891011121314第3节粗大误差再观察最小值。n=15仍宜考虑统计量

因，故存在粗大误差，应剔除。继续观察剩余数据。因为n=14，宜采用下列统计量第3节粗大误差总结①大样本情况（n>50），宜用3σ准则（不必查表）。②当n较小时，用顺序检验适于剔除一个异常值，用极差比值法适于剔除多个异常值。③

当n很小时，可以采用t检验。

在重要实验场合，可以选用二、三种准则同时判断。当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的σ只是偏大一点，这样较为安全。第3节粗大误差第3章间接测量中的误差传递与分配间接测量：

通过“直接量”，及“间接量”与“直接量”之间的函数关系，计算出“间接量”，这个过程称为间接测量。

第1节误差的传递1间接测量的误差第1节误差的传递

间接测量的数学模型其中，是与间接量y有函数关系的各直接量。

“间接量”的误差不仅与“直接量”的误差有关，而且与函数形式有关，是“直接量”误差的函数。对上述函数y

求全微分,第1节误差的传递例子：①②③和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用（1）如果各“直接量”存在确定的误差（系统误差）对y的影响为：为各个输入量在该测量点处的误差传播系数第1节误差的传递例1用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长l=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm

,弦长的系统误差l=1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。

解:大工件直径的间接测量函数不考虑直接量的系统误差，可求出在，处的直径为

第1节误差的传递车间工人测量弓高h、弦长l

的系统误差

直径的系统误差:故修正后的测量结果:

第1节误差的传递当然，也可以先校正直接量，再计算直径，结果相同。

例2用双球法间接测量内锥角。如图，已知求内锥角。

解:内锥角的间接测量函数故第1节误差的传递系统误差为：第1节误差的传递校正后，内锥角为：也可以先对直接量进行校正后，再计算内锥角，结果相同，见下。第1节误差的传递（2）如果各“直接量”存在随机误差第1节误差的传递假设“直接量”xi

的方差为，且各直接量之间相互独立，则“间接量”y的方差、标准差为例：第1节误差的传递解：已经估计出D=1292.6mm例1中，若已知。试估计该工件的直径及标准差。第1节误差的传递例2中，若已知试估计内锥角的标准差。解：内锥角的标准差为第1节误差的传递第2节误差的分配

误差分配：给定“间接量”的允许误差，如何选择各“直接量”的误差？这里只考虑随机误差，且各“直接量”相互独立，因为在给定了y

之后，如何确定每一个i

？这是一个多解问题，建议按下列三步骤进行：（1）均匀分配误差（2）根据可行性、经济性等因素进行调整（3）结果验算（1）均匀分配误差

例3为了测量一圆柱的体积，可以间接地测量直径D

及高度

h，根据关系式

计算出体积V。已知直径和高度的公称值（nominal)分别为若要求体积的相对误差不超出1％，试确定直径D及高度h的极限误差。解：公称值允许的绝对误差为1%*15708=157.08mm2，这可以视为极限误差。第2节误差的分配对于正态分布的误差，由于极限误差δ是标准差σ的3倍（或t倍），故极限误差关系也满足标准差关系，即这里所以查不同型号量具的极限误差，可知：测量直径应该选用2级千分尺，极限误差为0.013mm，测量高度应该选用分度值为0.1mm的卡尺，极限误差为0.150mm。

第2节误差的分配（2）按可能性、经济性进行调整

如果完全平均分配误差，有的直接测得量很容易达到，而另一些很难达到，特别是对误差传递系数大的那些变量的要求将十分苛刻。因此，在满足总体要求的前提下，完全可以进行调整。例4继续上例，总的极限误差过小，说明测量直径的2级千分尺经济性差。将测量直径的量具降低为刻度0.05mm、极限误差0.08mm的卡尺；同时用它测量高度，则性能还能否满足吗？第2节误差的分配第2节误差的分配（3）结果验算因此，用一支中等精度的量具，就可以进行满意的测量。最佳测量方案：在间接测量中，采用什么方法才能使测量结果的误差最小？第3节最佳测量方案的确定对于确定的系统误差，可以在直接量中进行修正。现在我么选择最佳测量方案，只需考虑随机误差（未定系统误差也按随机误差对待）。

（1）直接量越少越好

如果间接测量的函数形式可选择，则所包含的直接量越少越好，即式中项数越少，总的标准差越小。

第3节最佳测量方案的确定例5用分度值为O.05mm游标卡尺测量两轴的中心距L，试选择最佳测量方案。已知测量的标准差分别为:方法一：测量两轴直径d1、d2和外尺寸L1，其函数式及误差为由计算结果可知，方法三误差最小。这主要是因为方法三包含的直接量最少。测量中心距L有下列三种方法：第3节最佳测量方案的确定方法二

：测量两轴直径d1、d2和内尺寸L2，其函数式及误差为方法三

：测量外尺寸L1和内尺寸

L2，其函数式及误差为（2）误差传播系数尽量小

由误差传递公式，若使各直接量的误差传播系数为0或最小，则间接误差可相应减少。

据此，在测量实践中，应该尽量寻找到这样的途径。第3节最佳测量方案的确定例6

用弓高弦长法测量工件直径，已知其函数式为试确定最佳测量方案。

解：由函数式求得函数误差的误差表达式欲使为最小，有下列途径。①使此条件要求。由图中几何关系可知此时还会有，因而无实际意义。②使为最小若使为最小，即愈大、愈小则愈好。③使若满足此条件须使，即要求直接测量直径，才能完全消除对的贡献。第3节最佳测量方案的确定④

使最小相当于使，即要求尽可能接近直接测量直径。第3节最佳测量方案的确定相上述②、④是矛盾的。假设l、h量具的标准差相同，它在

时取得极小值，即顶角在35o附近可取得最高测量精度。35O第3节最佳测量方案的确定例7在双球法测定内锥角的例子里，因此L-l,D-d尽量小，或者H尽量大。前者不现实，后者平方关系更明显。因此，应采用尽可能相差大的两球。第3节最佳测量方案的确定例8间接测量导线的电导率ν，可以看到，增大或减小l都没有明显效果；R也是不可选的；只有d

大一些才会有明显效果。而且，d

应该用高精度量具进行测量。习题、实验习题：3-1，3-8，3-9，3-12习题、实验实验：1正态分布的误差（1）设定真值x0=10.00（2）设定一个σ2（3）产生误差δi～N(0,σ2)（4）产生测量值xi=x0+δi（5）重复步骤3、4共n次，得到测量列x1,x2,...,xn*************************************************（6）求xi的均值，看是否接近真值x0？（7）用4种方法估计方差，看是否接近σ2？（8）画xi的频次分布的直方图，观察xi的分布，及在±标准差、±3标准差内的概率。习题、实验2均匀分布的误差（1）设定真值x0=10.00（2）设定一个均匀分布的半宽a（3）产生误差δi~U[-a,a]（4）产生测量值xi=x0+δi（5）重复步骤3、4共n次，得到测量列x1,x2,...,xn*************************************************（6）求xi的均值，按看是否接近真值x0？（7）利用下式估计半宽a（8）利用下式估计标准差（9）画xi的频次分布的直方图，观察xi的分布，及在±标准差内的概率。

习题、实验3用弓高弦长法间接测量大工件直径。（1）设定直径的真值D0=10.00（2）设定h的真值:h=1.00（3）根据模型计算出L

的真值：L=...（4）设定一个σ2产生一系列误差δi~N(0,σ2)，得到测量列hi=h+δi再产生一系列误差δj~N(0,σ2)，得到测量列Lj=L+δj*****************************************************************（5）计算hi、Li的均值，按计算出D，看是否与真值接近？（6）估计hi、Li的标准差，合成D的标准差。******************************************************************（7）重复步骤2-6，同时h=h+1（一直取遍1.00-10.00）。看哪个工况下的合成标准差最小（是否35度附近）？第4章测量不确定度1概述

误差研究已经有200年历史，但不确定度自1980年才有国际计量局提出《实验不确定度建议书》，1993才由国际计量局、国际标准化组织、国际电工委员会等7个国际组织制定了《测量不确定度表示指南》（GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement-GUM），于1995年修订。第1节基本概念2测量不确定度的定义（uncertaintyofmeasurement)测量不确定度：与测量结果相关的、表征测量值的分散性的参数。(parameter,associatedwiththeresultofameasurement,thatcharacterizesthedispersionofthevaluesthatcouldreasonablybeattributedtothemeasurand.)

例如：我们说的12:00,2m，都含有“或多或少”（giveortake）的含义。

我们关心两个方面：或多或少的范围---区间，有多大？或的程度、落在区间的概率---置信度，有多大？

例如：20cm±1cm,在95%置信度下.

第1节基本概念（1）表示分散性的参数以标准差的倍数、或给定置信度下的半区间宽度；（2）由多个分量组成不确定度由多个不确定分量组成。需要定量地评定每一个不确定分量。可以采用A类、B类两种评定。A类评定是依据一系列测量数据的统计分布来估计标准差；B类评定是依据经验或其他信息所确定的概率分布来估计标准差。（3）测量结果的表示被测量的估计值，和不确定度（即分散性）两部分。第1节基本概念3测量不确定度与误差的比较（1）含义误差：测量值与真值（或约定真值）的差异。（误差是测量值围绕真值的分散性）不确定度：测量值自身的可疑性。（不确定度是测量值本身的分散性）（2）相似处

产生原因都是：●仪器方面：偏差，老化，磨损，漂移，噪声等●工件本身不稳定：冰融化●测量过程本身：小动物不配合●输入性因素：例如校验设备的不确定性会汇集到仪器中（不校验更差）●操作者：掐表、眼睛读数等（不包括粗大误差）

第1节基本概念●采样问题：例如车间内温度测点的选择●环境：温度、湿度、气压等都是评价测量结果的参数；不确定度分量仍以“标准差”表征（包括随机误差、未知系统误差）。因此误差理论是不确定度理论的基础。第1节基本概念（3）区别误差以真值或约定真值为中心，不确定度以被测量的估计值为中心；误差一般难以定值，不确定度可以定量评定；

误差有三类，界限模糊，难以严格区分；测量不确定度分两类，界限分明，分析方法简单。第1节基本概念4不确定度的分类（1）标准不确定度uA、uB

用“标准差”所表征的不确定度。（2）相对“标准不确定度”“标准不确定度”与测量结果之比。（3）合成“标准不确定度”uC在间接测量中，由各直接测得量的方差所计算出的不确定度。（4）扩展不确定度uE将标准不确定度扩大一个因子，得到一个更大的区间，以便有更大的置信度。第1节基本概念1建立测量模型

大多数测量都是间接测量。建立起间接量与每个直接量、每个对不确定度有显著贡献的因素之间的关系式：例如：立方体的体积

热电阻的功率

在有些应用中，可以从一组直接量计算出多个间接量，例如从一组电流、电压、相位角计算出感抗、容抗，需要用矩阵表达。略。第2节标准不确定度的评定2确定每个直接量（或因素）的不确定度（1）A类评定uA--依据统计方法①直接量的Bessel法

单次测量的标准不确定度，等同于标准差（由厂家提供或多次测量后用Bessel法估算）多次测量的均值的标准不确定度，就是均值的标准差②直接量的其他方法别捷尔斯（Peters）法、极差法、最大误差法，见第2章。第2节标准不确定度的评定（2）B类评定uB---依据非统计方法(经验或其他信息)①可以依靠的数据资料●以前的测量数据、经验和资料；●有关仪器和装置的一般知识，制造说明书，检定证书，其他报告的数据；●由手册提供的参考数据等。第2节标准不确定度的评定②应该考虑的因素

●参考标准的方差：假定均匀分布，且对U[-a,a]取●用参考标准进行校验时的不确定性：用更高标准在实验室内进行标定。扩展因子的选取：查看检定证书选取；对正态分布一般取2。●被标定仪器的分辨率：取最小刻度的一半来确定均匀分布的范围[-b,b]，而标准差取●温度补偿单元的分辨率：与上条类似，半刻度决定均匀分布的范围[-c,c]，而标准差取●补偿温度测量过程中的不确定度：从温度仪表的检定证书查扩展因子。●……第2节标准不确定度的评定3计算间接量

代入每个直接量的值，计算出间接量

第2节标准不确定度的评定4间接量的不确定度uC的合成采用类似误差传递的公式，对不确定度进行合成事实上，有些影响因素与间接量之间没有确定的函数关系，但只要这些因素是独立的，就可将不确定度平方加到求和式中去。①如果一个测量结果是多个测量值的加、减

例如，一根导线的总长度是各段长度的和，

而每段长度测量的不确定度分别是ui，则总的不确定度是第2节标准不确定度的评定第2节标准不确定度的评定②如果一个测量结果是多个测量值的乘、除

例如，一个矩形的面积是边长a、b的积，甚至更复杂的

则总的不确定度是或写成相对不确定度的形式第2节标准不确定度的评定③如果一个测量结果是某测量值的平方

例如，一个正方形的面积是边长a的平方积，

则y的不确定度是或写成相对不确定度的形式④如果一个测量结果是某测量值的平方根第2节标准不确定度的评定可见，在进行不确定性的合成时，可以依据误差传递公式，也可以利用相对不确定度的概念而直接合成。

例1电阻的功率是间接测量的，。功率测量的不确定度为或者写成相对不确定度5报告结果

第2节标准不确定度的评定第2节标准不确定度的评定例2某手册注明20℃下Cu的热膨胀系数α20=16.52×10−6/℃,误差不超过0.40×10−6/℃

。解：从仅有的资料看，不确定度来自器件本身。误差不超过0.40×10−6/℃，可以认为真正的α20

在[16.12,16.92]×10−6/℃之间均匀分布。因此，不确定度u(α20)=0.40×10−6/℃/√3=0.23×10−6/℃第2节标准不确定度的评定例3某数字电压表的说明书声称，标定后2年内，在1V范围内的精确度为：读数×14×10−6+范围×2×10−6.在标定后的第20个月测量某1V范围内的电压,多次独立、重复测量的平均值是0.928571V，计算得到A类标准不确定度u=12μV.解：第2节标准不确定度的评定例4用皮尺测量一根绳子的长度。测量10次，标准差估计值0.0021m，均值5.017m。已知皮尺已被校验过，校验的不确定度是读数的0.1%，范围系数2，设为正态分布；皮尺刻度为mm；绳（不是皮尺）难免下垂，因此测量结果会偏少，假设会少测0.2%，其不确定性也是最大0.2%。第2节标准不确定度的评定解：第3节扩展不确定度的评定用标准不确定度表示的区间的置信度并不高，例如正态分布下仅为68.26%。根据需要，有时会选用更大的范围因子（CoverageFactor）k*uC--扩展的不确定度来表示测量结果，并指明(x-kuC,x+kuC

)的置信度。由于合成不确定度包含多个分量，其分布往往很复杂，且自由度未知，所以根据置信度查范围因子时会遇到困难。现在讨论这个问题。1合成误差的分布-几个特例①当误差成分（x1,x2,…,xn）很多、不存在主要成分时，无论其服从何种分布，其合成后的误差分布：若自由度非常大则趋向正态分布；（中心极限定理）若自由度不大则服从t分布。（“自由度”见后）第3节扩展不确定度的评定②主要误差只有一项时，例如服从均匀分布第3节扩展不确定度的评定③主要误差只有两项（N正态、R矩形、U型中的两者）的情况第3节扩展不确定度的评定例如，左上角是无正态、只均匀分布的情况，k=95.45%a/u=95.45