随机变量到随机过程

2023/1/161随机变量到随机过程4.1.1随机过程的定义自然界中变化的过程可分为两大类：

确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间t的确定的函数来描绘。

随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述。4.1从随机变量到随机过程（1）贝努里实验:其样本空间只有两个样本点，即只有两个可能结果:

和。在掷币实验中，贝努里随机变量可以表示为:随机过程例子有概率若重复在t=n(n=1,2,…)时刻上，独立进行相同的掷币实验,构成一随机变量序列n01

12345678910则有

其概率

n01

12345678910n01

12345678910所有随机变量序列的集合就是随机信号。每一个随机变量序列称为一个样本，也叫一个实现。观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。每一个波形称为样本函数，也叫一个实现。所有波形的集合就是随机信号。（2）时间连续的随机现象定义1：设随机试验E的样本空间，若对于每个元素，总有一个确知的时间函数与它对应。对于所有的，就可以得到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。随机过程的定义随机过程的定义定义2：若对于每个特定的时间，都是随机变量，则称为随机过程，称为随机过程在时刻的状态。随机过程的定义（1）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量随机信号可视为许多随机变量的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(tn,ξ)X(t,ξ)t随机信号的表征n01

12345678910n01

12345678910X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)t（2）随机信号可视为所有样本函数的集合n01

12345678910n01

12345678910

一个时间函数族

一个确知的时间函数一个随机变量一个确定值

1和都是变量2是变量而固定3

固定而是变量

4

和都固定

理解（1）时间离散、取值离散

D.R.Seq.例：贝努里r.s.n01

123456789104.1.2随机过程的分类和举例例：一脉冲信号发生器传送的信号（2）时间连续、取值离散

D.R.P.例：正弦型信号①②③（3）时间连续、取值连续

C.R.P.例：每隔单位时间对噪声电压抽样n02

12345（4）时间离散、取值连续

C.R.Seq.按照样本函数的形式分类

可预测过程：对于任一条样本函数的未来取值可由过去值准确预测。

不可预测过程：对于样本函数的未来取值不可由过去值准确预测。按照随机过程的分布函数特性分类按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程，其次是高斯过程、马尔可夫过程、独立增量过程等等。Brown运动随机游动Poisson过程Markov过程ARMA（自回归滑动平均)状态空间模型典型随机过程例1

设具有随机初始相位的正弦波其中A与w0是正常数，在之间服从均匀分布。判断X(t)是否为一随机过程。解：(1)固定时间t，X(t)是随机变量，是一族随机变量(2)对随机变量Φ做一次试验得到一个结果φ，是随时间变化的函数，即样本函数。X(t)是一随机过程。一维概率分布函数定义：

一维概率密度函数定义：

2.一阶（维）概率分布和密度函数4.2随机过程的统计特性4.2.1随机过程的概率分布1.一维概率分布txfX(x;t)二维概率分布函数定义：

二维概率密度函数定义：

分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量

二维概率分布和密度函数

构成n维随机变量即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随机过程的n维分布函数和n维概率密度函数为随机过程

在任意n个时刻

的取值n维概率分布1.数学期望

显然，

是某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：

4.2.2随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。t1t2t3t4随机过程在任一时刻t的取值是一个随机变量。我们把二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：

且2.均方值和方差

物理意义：如果表示噪声电压，则均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。

标准差或均方差：

均值、方差和样本函数的关系方差表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。

相同均值方差的两个随机过程3.自相关函数均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。

自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系，通常用描述。

若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。

4.自协方差函数比较自协方差和自相关函数的关系

))]()())(()([(),(111121tmtXtmtXEttCXXX--=比较自协方差和方差的关系

令则例：求随机相应正弦波的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中，为常数，是区间[0，]上均匀分布的随机变量。解：由题可知：（1）＝同理（2）方差＝＝＝可知

（3）自相关函数＝＝＝（4）一维概率密度在范围内，每个x=sin(w0t+θ)对应两个θ值：和所以由于1.随机信号的n＋m维联合概率分布和密度函数两个不同r.s.X(t)与Y(t)之间的联合概率特性。对随机信号X(t)任取时，获得n个随机变量;对随机信号Y(t)任取时，获得m个随机变量。随机过程联合特性t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t定义n＋m维联合概率分布函数为:

定义n＋m维联合概率密度函数为:两个不同随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性

互相关函数定义为:互协方差函数定义为:2.随机信号的互相关函数与互协方差函数互相关系数定义为:(1)正交:对于任意时刻,都有则称X(t)与Y(t)正交。(2)线性无关:对于任意时刻,都有则称X(t)与Y(t)线性无关。3.两个随机信号正交、线性无关与统计独立（3）统计独立:对于X(t)和Y(t)的任一组随机变量,都有则称X(t)与Y(t)彼此统计独立。两个随机信号的正交、线性无关与统计独立三者关系与两个随机变量间的完全相同。1.两个随机信号统计独立，它们必然是线性无关的；2.两个随机信号线性无关，不一定互相独立；3.在两个随机信号中任一均值为零时，线性无关

性与正交性是等价的；4.在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零时，它们不是线性无关的，也不是相互正交的。★统计独立性，线性无关性和正交性的关系(a)一般情况下

统计独立线性无关

相互正交任一随机信号均值为零当和均为高斯随机信号时:

统计独立性和线性无关性是等价的；(b)高斯随机信号线性无关统计独立进一步，且有一个均值为零时:

独立性、线性无关性和正交性三者是等价的。(c)高斯随机信号，且有一个均值为零线性无关统计独立相互正交1.一维特征函数

随机过程在任一特定时刻t的取值是一维随机变量，其特征函数为:其反变换为：

n阶矩4.2.3随机过程的特征函数其反变换为：

2.二维特征函数3.n维特征函数4.3.1、随机过程的连续性

1.预备知识：对于确定性函数，若则在处连续。4.3随机过程的微分与积分2.随机过程连续性定义

如果随机过程

满足

则称

依均方收敛意义下在t点连续，简称随机过程

在t点均方连续，记为：3.随机过程的相关函数连续，则连续因此，如果对

时刻，函数

在点上连续，则随机过程

必在点t上连续。

4.随机过程均方连续，则其数学期望连续

证：由均方连续的定义，则不等式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于0（均值的平方不可能小于0）

设即：

注意为确定性函数，由预备知识，可知连续。

可将此结果写成求极限和求数学期望的次序可以交换预备知识：对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：

一阶可导：

如果存在，则在t处可导，记为。

4.3.2、随机过程的导数二阶可导：

存在，则二阶可导，记为

若通常意义下的导数随机过程X(t)的导数可定义为极限如果该极限对过程X(t)的任意一个样本函数都存在，则具有导数的通常意义。如果极限在均方意义下存在，则X(t)具有均方意义下的导数。1.随机过程可导的定义如果随机过程

满足

则称

在t时刻具有均方导数，表示为

均方意义下的导数判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则,即

而2.判别方法若存在混合偏导，则t1=t2时有=可见，随机过程X(t)在t处均方可微的充分条件为：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏导数且连续，即存在（1）随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数

证明：

3.数字特征（2）随机过程导数的相关函数等于可微随机过程的相关函数的混合偏导数

证明：

例1.

随机过程X(t)的数学期望为相关函数为求随机过程的均值与相关函数1.预备知识

对于确定性函数，其中