初中数学专题训练-圆-圆和圆的位置关系

精品设计精品设计例已知两圆半径之比是5:3，如果两圆内切时，圆心距等于6，问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时，相应两圆的位置关系如何?解：设大圆半径R=5x两圆半径之比为5:3,.°.小圆半径r=3x,•・•两圆内切时圆心距等于6,・・・5x-3x=6,・・・x=3,•:大圆半径R=15，小圆半径r=9,当两圆圆心距d=24时，有d］=R+r,・此时两圆外切；当两圆圆心距d=5时，有d<R-r,・••此时两圆内含；当两圆圆心距d=20时，有R-r<d<R+r,化此时两圆相交；当两圆圆心距d=0时，两圆圆心重合，两圆为同心圆．4说明：此题考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力．考察数形结合能力．例已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，求这两圆的圆心距.解：分两种情况：如图1,设0O的半径为r=5cm,0O的半径为r=4cm.112则圆心Ol,02在公共弦的异侧.则112VOO垂直平分AB,・AD=—AB二3cm.12OA12OA1OA2OD=、■OA——AD—=、：5——3—=4.i'i(图2)OD=.■OA——AD2=丫42—3—=\:7.(图2)—V2OO二OD+OD二4+、：7(cm).1212如图2,圆心O1，02在公共弦AB的同侧，同理可求0D=4cm,0D=屮'7(cm).OO=OD—OD=4—>/7(cm).121212说明：①此题为基本题目；②此题未给出图形，所以应分两种情况求解；若题中给出图形,按已知图形分析求解即可；若题中已知的相交两圆是等圆时,两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧．例(武汉市，2002)已知：如图，0O和0O］内切于A,直线OO］交0O于另一点B,交OO1于另一点F,过B点作0O1的切线，切点为D,交0O于C点，DE丄AB垂足为E.求证:ACD=DE；A若将两圆内切改为外切,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论．证明：(1)连结DF、AD,VAF为0O］的直径，・FD丄AD，又DE丄AB,.\ZDFE=ZEDA,VBC为0O］的切线，・ZCDA=ZDFE,.\ZCDA=ZEDA,连结AC,VAB为0O的直径，.AC丄BC,又AD公共，

.•.RtAEDA9RtACDA,••・CD=DE.（2）当两圆外切时，其他条件不变，（1）中的结论仍成立．证法同（1）．说明：①此题应用“如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识；②第（2）问是开放性问题.例（宁波市，2002）如图，00'经过00的圆心，E、F是两圆的交点，直线00'交00于点Q、D,交00'于点P,交EF于点C且EF=2近5，sinZP=1.4（1）求证：PE是00的切线；（2）求00和00'的半径的长；（3）点A在劣弧QF上运动（与点Q、F不重合），连结PA交于点B，连结BC并延长交00于点G,设CG=x，PA=y.求y关于x的函数关系式.证明：（1）连结OE，V0P是00'的直径，••・ZOEP=90°,・・・PE是00的切线.（2）设00、00'的半径分别r、r'.•••00与00'交于E、F,P1,P.•.EF丄00',EC二一EF二<15.2・•.在RtAEOC、RtAPOE中，ZOEC=ZOPE.1・sinZOEC二sinZOPE二,4OCOC・・sinZoEc=oe-〒15得r=4.115得r=4.R2———R216OEr在RtAPOE中,sinZOPE=op二27，…(3)按题意画图，连结OA,TZOEP=90°,CE丄OP,.•・PE2=PC・PO.又VPE是00的切线，・PE2=PB・PA,.PC・PO=PB・PA,PCPBBCPC即二，又VZCPO=ZAPO,.ACPB^AAPO,.二,PAPOOAPA.•・BC=60/PA.由相交弦定理得BC・CG=EC・CF,・BC=15/CG,.•・PA=4CG,即y=4xCv'15<x<5).说明：此题为综合题目,主要应用：切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识.典型例题五例两圆的半径分别是方程x2—3x+2二0的两根且两圆的圆心距等于3,则两圆的位置关系是（）（A）外离（B）外切（C）内切（D）相交解：•・•方程x2-3x+2二0的两根分别为1和2,而两圆的圆心距是3,・••两圆的半径之和等于圆心距，.:两圆的位置关系是外切，故选B.说明：本题利用两圆的半径的和或差与圆心距的数量关系判定两圆的位置关系．设两圆的半径分别为R、r,圆心距为d则两圆外离od>R+r；两圆外切od二R+r；两圆相交oR-r<d<R+r(R>r)；两圆内切od=R-r(R>r)；两圆内含od<R-r(R>r).典型例题六例若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆的位置关系是()(A)相交(B)内切(C)内含(D)不能确定解：••两圆的圆心距小于两圆的半径之和，根据两圆的半径之和或差与圆心距的数量关系可知，两圆的位置关系可能是相交、内切或内含，・位置关系不能确定，故选D．说明：根据两圆的五种位置关系，进行正确判定．典型例题七例两圆的半径之比为1：2,当两圆外切时，圆心距是6cm；当两圆内切时，圆心距为()(A)2cm(B)3cm(C)4cm(D)5cm解：由题意，设两圆的半径分别为r和2r.••两圆外切时，圆心距是6cm，r+2r=6,r=2(cm).・•两圆的半径分别为2cm和4cm，・•・当两圆内切时，圆心距是4-2=2(cm)，故选A.说明：熟记公式的基础上要灵活运用．典型例题八例若R、r分别为两圆的半径，d为圆心距，且R2—r2—2Rd—d2(r>r)，则这两个圆的位置关系是()(A)相交(B)相切(C)外离(D)内含解：R2-r2—2Rd-d2，

/.R2—2RD+d2—R2—0,（R一d）2一R2—0,（R一d+r）（R一d一r）—0,d—R+r或d—R—r。・•・两圆的位置关系是外切或内切，即相切，故选B.说明：如果圆心距和半径的和或差之间的关系不明确，要运用学过的知识进行推论，导出所需要的结论，本题是两圆位置关系的典型例题．典型例题九例已知：如图，已知"与。oi相交于A、B两点，过点A作。q的切线交。0于点C，过点B作两圆的割线分别交。0，0oi于点E、F,EF与AC相交于点P.求证：PA-PE—PC-PF2）求证：2）求证：PE2_PF~pc2~~PB（3）当00与。0为等圆，且PC:CE:EP—3:4:5时，求AECP与AFAP的面积1比值。PAPE分析：（1）要证PA-PE—PC•PF只须证—，故转证CE//AF，两圆相交PCPFPEPF连公共弦，由弦切角及同弧对的圆周角可得CE//AF。（2）由（1）有（詬）2—（）2而PCPAPA2—PB•PF,代入即可得证。(3)由PC:CE:EP—3:4:5知ZC—90°，即AE为00的直径，AF为00的直径，然后根据三角形相似即可导出结论。1证明（1）连结ABAC为(DO］的切线=>ZCAB=ZF)——=ZF=>CE//AFBC=BC=>ZE=ZCABJ*等二筈亠PA・PE=PC・PF.(2)

FA'PE=PC'PF=PB'PFPE^_=PFA=PF_FA'PE=PC'PF=PB'PFPE^_=PFA=PF_7~P(^~PB'PF~PBPBF^O^剧线JI(3)连接AE由(1)APECsAPFAPC:CE:EP二3:4:5.•.PA:FA:PF=3:4:5设PC=3x,CE=4x,EP=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y则EP2=PC2+CE2,PF2=PA2+FA2,/.ZC二90。,ZCAF=90。.AE是0O的直径，AF是0O的直径又①o与0O为等圆，1/.AE=AF=4yAC2+CE2=AE2,/.(3x+3y)2+(4x)2二(4y)2即25x2+18xy—7y2二0/.25x二7y,x二一y(舍去).x_7••，y25.S:S_x2:y2_49:625.典型例题十例(黄冈市，2000)如图，已知：0O与0O相交于A,B两点，过点A作0O的121切线，交0O于点C,作过点B作两圆的割线分别交0O，0O于点D,E,DE与AC相212交于点P.(1)求证：PA・PE_PC・PD；(2)当AD与0O相切，且2PA_6,PC_2,PD_12时，求AD的长.

证明(1)连结AB.CA切0O于点A,.：Z1二ZD.1又Z1二ZE,「.ZD=ZE.又Z2=Z3,.•・AAPDsACPE.PA_PA_PD

~PC~~PE即PA•PE二PC•PD.由(1)知，PA•PE二PC•PD,•/PA二6,PC二2,PD二12,A6xPE二2x12.APE二4.由相交弦定理，得PE•PB=PA•PC.a4PB=6x2.aPB=3..•・BD=PD-PB=12-3=9.DE=DP+PE=12+4=16.■/DA切于0O于点A,.°.DA2=DB•DE.即AD2=9x16.AAD=12.2说明：本题考查相交两圆的一些性质，解题关键是连公共弦，易错点是不善于通过公共弦沟通两圆之间的角的关系而造成错误.典型例题十例(苏州市，1997)如图，已知0O与0O相交于A,B，直线CD过点B分别交

120O与0O于C,D,M为皿的中点，AM交0O于E,交CD于F.连结CE,AD,DM.(1)121EF2MF求证：ACEFSAAMD；(2)求证：=；(3)若CE2MACB=5,BD=7,CF=2FD,AM=4MF.求MF和CE的长、M

M证明（1）连结AB.；・.・M为并丿的中点，・•・Z2=Z3.又Z1二Z2,「.Z3二Zl.Z4=Z5+Z3,Z3二Z2,Z2二Z6,.・.Z4二Z5+Z6，即ZCFE=ZADM,:.ACEFsAAMD.EFMF(2)•Z1=Z2=Z6,「.CE//DM=.CEDMEFMFACEFsAAMDCEDMEF2MF即~ce2~~amEF2MF即~ce2~~amCECE~DMAM•/CD=CB+BD=5+7=12,CF=2FD..3FD=12..FD=4,CF=8,BF=3.•AM=4MF,.AF=3MF.又•FM-AF=BF-BD,:.MF-3MF=3x4..FM=2..FB-FC3x84又FE・FA=FB・FC,..FE===4.FA6EF2MF16CE2AMEF2MF16CE2AM..CE26+2.CE=8.说明：本题主要考查相交两圆的一些性质，解题关键是连结公共弦AB,易错点是连不出公共弦，沟不通两圆之间角的关系.典型例题十二例（安徽省，1999）已知：如图，0O与。O相交于C,D.A是。O上一点，直线121AD交。O于点B.（1）当点A在CAD上运动到A点时，作直线AD交。O于点B，连22AC,BC.证明：（1）AA'BCsAABC；（2）问点A在匚久"上什么位置时，S最大,AABC请说明理由；（3）当00=H,CD=9时，求S的最大值.12AABC

BrBr证明(1)在AA'B'C'和AABC中，•/ZA'二ZA,ZB'二ZB,.•・AA'B'CsAABC.(2)VAA'B'CsAABC,SCA2AA'B'C=SCA2AABCSAABCSAABCCA'2CA2-SAABC.•.当CA'取最大值，即为0O的直径时，AA'B'C的值最大.1解(3)•••A'C为。O的直径，・•・ZA'DC二90°.1.•・ZB'DC二90°..BC为0O的直径.21•••OO丄CD且oo/—A'B'121221.•・S=AB'-CD二OO-CD二11x9二99.AABC212说明：本题主要考查两圆相交的一些性质，解题关键是要利用直径是圆中最大的弦这个性质，易错点是第(2)小题中找不到解题思路.选择题半径分别为5.5cm和4.5cm的两个圆内切，这两圆的圆心距是()(A)0.5cm(B)1cm(C)5cm(D)10cm已知半径为R和r的两个圆相外切，则它们外公切线长为()(A)R+r(B)\：R2+r2(C)2.-R+r(D)2XRr已知0O与。O'外切于点C，外公切线AB与连心线OO'交于点P，A、B为切点，若AB=2•爲，大圆O的半径为3,则两条外公切线所夹的锐角的度数是()(A)90°(B)60°(C)45°(D)30°已知两圆的半径分别为2、5,而圆心距是一元二次方程x2-10x+21=0的根，则两圆

公切线的条数为()—条(B)三条(C)四条(D)—条或三条设两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距d，若这两圆内含，则下列不等式成立的是()(A)R+r<d(B)R-r>d(C)R-r<d(D)R+r>d>R-r6．两圆半径分别为3和5，圆心距d，若两圆相切，那么()(A)d=2(B)d=8(C)2<d<8(D)d=2或d=87．下列说法中，正确的是()经过三个点一定可以作圆两圆的半径分别为3厘米和4厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是外切相交两圆的公共弦垂直平分连心线垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧已知两圆半径分别为R和r(R>r)，圆心距为d，且d2+R2-r2二2dR，那么两圆位置关系为()A.相切B.内切C.外离D.外切或内切如图，0O与。O内切于点P，0O的弦AB经过。O的圆心O，交。O于点C，122111A．2：7B．2：5C．1：D，若AC:CD:DB二A．2：7B．2：5C．1：1210.0O与0O半径之比为R:r二4:3，当OO=21cm时，两圆外切，当两圆内切时,12OiO的长度为()A．OO<3cm12B．OO=3cm12A．OO<3cm12B．OO=3cm12C．3cm<OO<21cm12D．以上均错11.已知AABC的三边长分别为6,的三个圆，那么这三个圆的半径分别为()A．3，4，5B．2，8，10，分别以A，B，C三点为圆心，作两两相外切4，6C．6，8，10D．4，6，812・设0q的半径为Ri，0O的半径为R，若两圆既有内公切线，又有外公切线，那么两圆半径之和与圆心距之间的大小关系应是（）A.A.R+R>001212C.R+R>001212B.R+R<0O1212D.R+R<001212答案:1.B2.D3.B4.D5.B6.D7.D8.D9.D10.B11.B12.B.填空题两个同心圆，大圆的半径为9,小圆的半径为5,如果。0与这两圆都相切，那么。0的TOC\o"1-5"\h\z半径等于.相切两圆的圆心距为18cm，其中小圆半径为7cm，则大圆半径为两圆半径分别为5cm和xcm，圆心距为7cm，若两圆相交时，则x的取值范围是已知两圆的半径分别为7cm和11cm，当圆心距为3cm时，两圆位置关系为；当圆心距为12cm时，两圆位置关系为如果两圆内切，它们的半径分别为3和5，那么它们的圆心距为如图，直径为10的两个等圆OO1与OO2相交于A、B,公共弦AB=8.由点0］向OO2作切线0£，切点为C,则O&的长为.如图，两个等圆00］与002外切，过点01向002作切线01A、01B，切点为A、C,则ZA01B=.已知，两圆相切且半径分别为3、5,则两圆的连心线的长为9•如图，001与。02相交于A、B，且A01，A02分别是两圆的切线，A是切点，若°0°01的半径广3cm10.已知，00与°0的圆心距00=5cm，半径R=6cm,R=8cm，则这两圆的121212TOC\o"1-5"\h\z位置关系是。11.00和°0相交于A、B两点，它们的半径分别为2和、；2，公共弦AB长为2,若12圆心0、0在AB同侧，则Z0A0的度数为.121212.如图，图中各圆两两相切，00的半径为6,0A和°B的半径相等，则°C的半径r二.

13•两圆半径的比为5：3,当这两圆外切时，圆心距是24,若这两圆相交，则圆心距d的取值范围是已知两圆内切，一个圆的半径是3,圆心距是2,那么另一个圆的半径是已知半径不相等的两圆有公共点，则两圆的公切线条数是.答案：1.2或72.11cm或25cm3.2<x<124.内含；相交5.26.<117.60°8.8或2249.510.相交1115°12.213.6<d<2414.5或1.15.1或2或3。解答题1.若两圆的圆心距d满足等式|d-4=3，且两圆半径是方程x2-7x+12二0的两个根,判断这两圆的位置关系。如图，以O为圆心的两个同心圆，外圆的弦AB与内圆相切于T点，过T的直线交外圆于C，D，若CT=2，TD二4•求圆环的面积（即夹在大圆与小圆之间部分的面积）如图，OO与。O相交于A,B两点，直线TD与。O相切于T,和。O相交于M,122D两点，M是TD的中点，直线BA与直线TD相交于点C.求：CM:CT过A的直线交两圆如图，已知OO1与OO2相交于A，过A的直线交两圆于C，D两点，G为CD的中点，BG及其延长线交OO1，OO2于E、F两点，连结DF,CE、求证：DF=CE.说明：作公共弦，沟通两圆的圆周角的关系是常作的辅助线.CAEBGE门O:。江*Oc/F如图，00］与OO2相交于A,B,PE为OO1的直径.PA延长线

交OO2于C,PB交OO2于D,CD延长线交PECAEBGE门O:。江*Oc/F求证：CF丄PE6.已知：如图，0O与。O'相交于A、B两点，连心线OO'交。O'于D、C两点，直线AC交。O于点P，直线PD交。