初中数学专题训练-三角形-直角三角形的判定

精品设计精品设计直角三角形全等的判定例1：求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。分析：首先要分清题设和结论，然后按要求画出图形，根据题意写出、已知求证后，再写出证明过程。已知：如图1,在RtAABC、Rt△AiBiC1中，ZACB=tZ,BC=BiCi,AiCiCD丄AB于D,CiDi丄AiBi于Di,CD=CiAiCiB求证：Rt^ABC^Rt^AiBiCiB证明：在Rt^CDB和Rt^CiDiB】中CBCiB（已知）••CDCiD（i已知）图i•••RtACDB©Rt^CiDiBi（HL）由此得ZB=ZBi在Rt^ABC与Rt^^AiBiCi中ACBAiCiB（i已知）・・・CBCiBi（已知）BB（已证）•Rt^ABD©△AiBiCi（ASA）说明：文字证明题的书写格式要标准。例2:如图2,AABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F.求证：BE=CF分析：BE和CF分别在ABDE和厶CDF中,由条件不能直接证其全等,但可先证明△AED©△AFD，由此得到DE=DF证明：(略)说明：本题容易误认为AD丄BC。根据图形的直观“好象相等”或“好象垂直”要避免这种错误,要把“好象”变为确定。例3:如图3,已知AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD丄AE于D,CE丄AE于E,求证：BD=DE+CE若直线AE绕A点旋转到图4位置时(BD<CE),其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何，请证明；（3）若直线AE绕A点旋转到图5时（BD>CE）,其余条件不变，BD与DE、CE的关E分析：（1）由已知出发容易得到：BD=AE，再分析观察AE=AD+DE又易证AD=ECO（2）猜想规律，再运用几何知识证明。解：（1）略（2）BD=DE—CE（3）BD=DE—CE（4）结论：当B、C在异侧时，BD=DE+CE;当£、C在同侧时，BD说明：本题是阅读理解题，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、目考查学生的阅读理解能力和对所学知识的整理、概括能力。例01．已知：（如图）BE交AC于F.求证：BFACABC中，AD是BC边上的高，ADBD=DE—CE方法和思想。这种题DEDC，延长DACADC，即FBC应角相等，则第三个角也对应相等，即可得.・・AFE90问题得证.希望同学们写出证明过程.例02．已知：（如图）AB求证：CFDF分析：易证BDEBDE，再考虑AFE而BDEBDE与AFE有两组对90EDBEAFCD，F为垂足分析：证明两条线段相等RtAFC故得证.AE，BC可把它们放到两个三角形中，故连结RtAFD，还缺少一个条件，而由已知有，ABCAEDAC、AD，要证，则ACAD，证明：连结AC、AD（请同学们证明）BC.例03.已知：（如图）ABBC,DCBC,E在BC上.且AEAD,AB求证：BC.证明：作AFCD的延长线于F・.・ABBCFCBCABBC*99.・・AFBCABCF又・AEADRtABERtAFD.・・DFBE.BCBECFDF即CECD说明要注意体会辅助线的作法.BC垂例04.如图，已知：AB与CD相交于点0,由0画0EAD垂足为E,OF足为F,若有0EOF,AOBOBC垂求证：C0D0.BO和

.可证分析：欲证CODO,就要证AODBOC,它已具备了两个条件AOAODBOC.我们只需再证AB即可BO和

.可证证明：OEAD,OFBC（已知）,.AOE与BOF是直角三角形.在RtAOE和RtBOF中,AOBO（已知）OEOF（已知）.RtAOERtBOF（HL）.AB（全等三角形的对应角相等）.在AOD和BOC中,

AB（已证）AOBO（已知）AODBOC（对顶角相等）・・・AODBOC（ASA）・・.DOCO（全等三角形的对应边相等）说明：本题的证明过程中，应注意没有给出EF为直线这一条件.例05．如图，已知：在ABC中ABAC，AD是BC边上的高.求证：分析：BDCD,要证求证：分析：BDCD,要证BDACD证明：AD是BC边上的高，・ABD和ACD都是直角三角形.在RtABD和RtACD中，ABAC（已知）ADAD（公共边）・ABDACD（HL）・BDCD,BADCAD（全等三角形的对应边相等，对应角相等）ADFDAD，点A，例06•如图所示，已知点A,B,C,D在同一直线上，EAACEDBF，考虑到EACFDB90，根据已知条件，可用斜边直角边公理即可证明.证明：・.・EAAD,FDAD（已知），.・.EACFDB90（垂直定义）又・EACACABBC,DBDCCB而ABCD，.ACDB在直角形EAC和直角三角形FDB中，ACDB（已证）CEBF（已知）.ECAFDB（HL），.EACFBD（全等三角形对应角相等），.CE//BF（内错角相等，两直线平行）在ABC和AED中ABAE（已知）BE（已知）BCED（已知）.ABCAED（SAS）.ACAD（全等三角形的对应边相等）・AFCD（已知）.AFCAFD90在RtACF和RtADF中ACAD（已知）AFAF（公共边）.RtACFRtADF(HL).CFDF（全等三角形的对应边相等）例07.如图，已知AB//DC,AD90,点E在AD上，BE平分ABC,CE平分BCD.求证：BCABDC分析:欲证明的BCABDC中AB和DC都不在同一直线上，因此应联想到作辅助线转化到同一直线上，过E作EF辅助线转化到同一直线上，过E作EFBC于F,显然能证出ABBF，DCFC即可，欲证明ABBF可证ABEFBE，同理证DCFC.

证明：过E作EFBC垂足为F,在ABE和FBE中ABEEABFBE(已知)EFB(作法知)BEBE(公共边).•・ABEFBE(AAS)・・.ABBF(全等三角形的对应边相等)同理可证DCFC・BCABDC选择题BA//DC,90,ABBA//DC,90,ABCE,BCED，则CED使两个直角三角形全等的条件是()A)一个锐角对应相等(B)两个锐角对应相等C)一条边对应相等(D)两条边对应相等不能使两个直角三角形全等的条件是()(A)一个锐角和斜边对应相等(C)两条直角边对应相等(B)两个锐角对应相等(D)斜边和一直角边对应相等参考答案：(1)D(2)B填空题ACACB(2)ABC和ABC中,AD是BC边上的高，AD是BC边上的高，若ADABAB，ACAC，则C和C的关系是参考答案1．填空题(1)ABC，CE，DEC(2)相等.解答题1．如图，已知：AEBC,DFBC，E、F是垂足，且AEDF,ABDC求证：ACDB.C90ABC2•如图，已知：在Rt点D作DEAB，交BC于E求证：AEBE.中，，D是斜边AB的中点，ADAC，过CD，E、F是垂足，ACDB，并且ACBEFC.求证：ABABC，5.如图，已知：CDOC.求证：ADAE.6•如图，已知：C在求证：AC平分DABCBDABAB于B，CDCB.1.易证RtABERtDCF，・ABCD，ABCDCB，・可证ABCDCB，・ACBD.2.易证RtADERtACE，9*DEEC，而ADBDAC，・可证DBECAE，・AEBE3.(1)・・・BECF，・BFCE9则可证RtBDFRtAEC，AEDF，ACEFBD，・AC//BD.(2)易证ABEDCF，・ABEDCF，・AB//CD.4.易证RtADCRtADC，・AA，而ACBACB，ACAC参考答案：.・・ABCABC.・・ABABAO，易证BODCOE,・・.0D.RtAODRtAOE，.AD易证RtACDRtACBOE.而RtAOD和RtAOE中，AOAE.DACBAC，・AC平分DAB.直角三角形全等的判定1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等。2)一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等3)一锐角与斜边对应相等。4)两直角边对应相等。5)两边对应相等。6)两锐角对应相等。7)一锐角和一边对应相等（一）习题精选1、判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由2、下面说法不正确的是（）A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等B、有两边对应相等的两个直角三角形全等C、有两角对应相等的两个直角三角形全等3、如图1，ABC中那么3、如图1，ABC中那么M到AB的距离是C=900,AM平分cmCA提示：先作出距离，利用三角形全等得到所求距离与CM相等。M且有BFAC,FDCD,,求证：BEAC4、如图2,已知：AD是ABC的BC边上的高，E为AC上一点，BE交AD且有BFAC,FDCD,,求证：BEAC提示：欲证BE丄AC,则证ZAEB=9Oo,而直接证ZAEB=