谢明初数学教师的素质要求及提高途径

数学教师的素质要求及提高途径谢明初教授/博士教育部义务教育教科书审定委员会专家广东省课程改革指导委员会专家广东第二师范学院数学系副主任xiemingchu@21一、背景

1．后课标时代

《数学课程标准》(以下简称“课标”)现在处于新的修订与审查之中，对现状分析，特别是过去8年课改实践的总结与反思，应当成为这一工作的直接基础；我们又应特别重视问题的发现，这也就是指，“发现问题、正视问题、解决问题、不断前进”应当成为这方面工作的基本立场……就“课标”的修订与审查而言，我们应特别强调对于已有工作的认真总结与深入反思，因为，对于过去8年课改实践的总结与反思达到了怎样的程度，我们是否能够以此为基础做出新的思考与研究，这在很大程度上决定了“课标”的修订以及新的实践工作能够达到怎样的水准。

——南京大学郑毓信

2．一个对照：新数运动失败的原因分析“新数运动”来势凶猛，但是由于实验不够，教师培训跟不上，过于急速推广等原因使这场运动带来了盲目性和理想化。到了六十年代末和七十年代初，就逐渐暴露出改革中的问题，表现在中学基础教学质量的大幅度下降，如学生计算能力的削弱、数学应用能力缺乏。因此，“新数运动”遭到了教师、家长及一些数学教育工作者的猛烈的批评，于是1973年在美国又出现了一个“回到基础”（BacktoBasics）的教学口号

——

北京师范大学王申怀

在20世纪50年代末60年代初，从美国掀起的世界性的“新数”运动之所以失败，其主要原因是教师不能适应新课程的教学。因为再好的课程标准，总得有人去实施，

——摘自：《广东基础教育发展网》近十年来，数学课程改革已成为世界性的浪潮，各国教育改革聚焦于教师，新数运动的失败也在一定程度上缘于教师的知识结构。以史为鉴，面临课程改革，我们有必要审视教师的知识结构，以期发现教师是否适应课程改革，寻求教师在知识方面与新课程的要求尚存在的差距，从而为在职教师的继续教育提出建设性的建议，让教师成为课程改革中的动力.

——李琼数学课程改革与数学教师知识结构

湖南师范大学硕士论文2004年

3、我国新一轮数学课程改革的困境①教师是直接推动课程改革的主力军，教师的专业发展水平是新一轮课改成败的关键。切实抓好参与新课程实验的小学数学教师的培训工作，决定着课改实验的发展质量和水平。

——人教版义务教育课程标准小学数学实验教材实验工作总结，课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心②推行数学课程改革之前没有做好教师的培训工作。改革的突破口是教师培训，要先有一套好的师资培训教材，再有一套实验教材，再有统一标准，现在改革的路子走歪了。

——《数学通报》2005年第4期③新一轮的课程改革自2001年秋季正式启动以来，人们对课程改革与教师的专业发展、教师的角色定位、教师的素养等进行了深入的探讨。由此，在实践中教师培训工作也摆在重要的位置，但经过培训的教师进入到课程改革的现场，人们看到的又是一番景象，“教师的课程适应能力不强，不能有效的适应教学。最突出的问题是新教材旧教法。④教师不是孤立于课程之外，而是课程的有机构成部分、是课程的创造者、是课程的主体。课程改革所提出的目标和内容，只是一种设想，只有课程的实施者认识改革的必要性、有效性，对改革产生真正的需求，参与课程改革，其态度、行为和思维方式、教学方法等才能发生相应的变化，课程改革才能顺利进行。。。。教师的改变是课程改革必经之路，没有这一步，后来的学校整体改变就会流于空谈。⑤作为课程改革的主体——教师,历来都是课程改革的动力,推行一项课程改革，对教师持久的培训是不可缺少的，仅仅一两次培训很难取得好的效果。因为，短期的培训还很难消除大多数教师的抵制情绪，只有培训让这些教师消除了抵触情绪，推行新的课程才有成功的可能。

——彭虹斌新课程改革的突破口：改变教师二、数学教师

应具备什么样的素质结构

1．基本概念的界定①素质：人在后天通过影响和教育训练所获得的稳定的、长期发挥作用的基本品质结构，包括人的思想的知识、身体、心理品质等②数学教师的素质：数学教师在职前职后训练中所获得的关于数学教育的稳定的、持久发挥作用的基本品质③研究数学教师的素质应考虑哪些因素具备一般教师的基本素质（一般性）具备数学教师特有的基本素质（特殊性）④研究数学教师的素质应考虑时代要求（附1）近代文明的变迁：蒸汽时代（第一次工业革命）→电气时代（第二次工业革命）→信息技术时代（科技革命）信息技术时代（科技革命）对教师的素质提出新的要求计算机、互联网技术的发明打破了书本是知识主要传播载体的状况，使教育迈入了全新的信息时代。互联网将全世界的学校、研究所、图书馆和其它各种信息资源联结起来，成为一个取之不尽、用之不竭的海量信息资源库，全球范围的优秀教师或专家可以从不同的角度和侧面提供同一知识领域的学习素材和教学指导，任何有知识需求的人可以在任何地方、任何时间通过网络学习，形成一对多或多对多的教学交互。一种全新的教育形式即将形成。信息时代的教育不同于以课堂讲授为主的常规教育，教学和学习都呈现出新的规律和特征。信息时代的教育不仅对学习环境和学习者提出了新的要求，而且对传统教师的能力结构也提出了挑战。有人把信息时代的教育称为新教育，它的“新”不仅在于目标的新、手段的新，更在于它需要新的观念、新的方法和新的能力。新教育需要具有新素质的教师来保证新教育目标的实现。因此，信息时代对教师提出新的要求是教育发展的必然需要，也是推动教育信息化的重要战略手段。数学课程改革对数学教师提出新的挑战

A．课程改革的深入发展对教师原有的教学观念的挑战

如何看待双基教学？技术在数学教学中究竟起什么作用？建构主义是耶,非耶？

B．数学课程中新内容的增设，要求教师的教学方法进行新的审视

强调了对原有的数学课程的批判后，是否还要去继承?

在强调了动手实践、自主探索、合作交流等学习方式后，是否要充分发挥认真听讲、课堂练习、课后作业的作用?\_教学月刊.2006(5)）

C．新课程的多样性、选择性对数学教师的素质的挑战

D．终身教育的提出，对数学教师的个性、人格的挑战

2．新时期数学教师应具备怎样的素质结构知识系统：数学学科知识（数学史、数学哲学）、数学教学理论、教育、心理学理论、人文社科知识未来国际数学教育发展的方向数学史渗透在数学课堂教学中;认知科学理论指导数学教学:Internet技术在数学教育中的应用

“数学史与数学教育”研究的历史脉络

1742年，德国数学家海尔布罗纳（J.C.Heilbronner,1706～1747）出版《世界数学史》、1758年法国数学家蒙蒂克拉（J.E.Montucla,1725～1799）出版《数学史》，标志着数学史作为一个独立研究领域的出现早期的两种为数学教育服务的数学杂志——法国数学家泰尔凯（O.Terquem,1782～1862）创办于1842年的《新数学年刊》、德国数学家格鲁纳（J.A.Grunert,1797～?）创办于1841年的《数学物理档案》都以大量篇幅刊登数学史、数学文献的文章855年。泰尔凯又在《新数学年刊》后增加附录《数学历史、传记与文献通报》，极大地激发了法国人对数学史的研究兴趣。这个附录成了历史上第一种数学史专业刊物.泰尔凯深知，数学家的传记、轶闻、故事可以启发学生的人格成长。因此，他在杂志上发表了大量的数学家传记。激励了多少数学学习者！泰尔凯特别关注与数学教学密切相关的数学史专题：

A圆锥曲线的历史

B三角函数（正弦、正矢、正割、正切、余切）的简史,负数的历史

C指数的历史

D笛卡儿（R.Descartes,1596～1690）符号法则的历史

E牛顿二项式定理的发现过程

F线性方程组消元法的历史

G变分法的历史

H费马（P.Fermat,1608～1665）大定理的历史文献

I对数的发明

J球面三角形求积的历史

K倍立方问题的历史

L三次方程求解的历史

M行列式的起源

N莫若里可（F.Maurolico,1494～1575）的圆面积实验求法

O丢番图（Diophantus,3世纪）的墓志铭

Pπ的历史等等，以及大量古代东西方数学文献的题解等

Q数学符号或术语的起源，如＋、—、＝、＞、、等符号以及“正弦”、“瞬”、“零”等词的起源18世纪，法国实证主义哲学家、社会学创始人孔德（A.Comte,1798～1857）、瑞士著名教育家佩斯达罗奇（J.H.Pestalozzi,1746～1827）、德国教育家弗罗贝尔（F.Froebel，1782～1852）提出：对孩子的教育在方式和顺序上都必须符合历史上人类的教育，即个体知识的发生与历史上人类知识的发生必然是一致的。19世纪英国著名数学家德摩根（A.DeMorgan,1806～1871）不仅强调数学史对数学研究的重要性，而且也强调数学教学中的历史次序，如，德摩根认为教师在教代数时，不应该一下子把新符号都解释给学生，而应该让学生像最初发明这些符号的人那样从完全的书写方法到简写的顺序学习符号。如，学生应先使用aa、aaa，而不是a2、a3，直到他们不再混淆2a与a2、3a与a3。德摩根的这种观点与我们今天所说的发生教学法思想是一致的。

在美国19世纪90年代即有人提倡将数学史作为教学工具引入数学教学之中。美国学者Heppel在1893年改进几何教学协会会议上宣读的一篇论文中，引用下面的诗句来说明当时内容枯燥的数学课本：

如果又一场洪水爆发请飞到这里来避一下即使整个世界被淹没这本书依然会干巴巴

Heppel认为，要让学生不再觉得数学枯燥乏味，教师就必须告诉他：他正在学习的算术、几何、代数和三角是如何为满足人们的需求和愿望而发生进步的。美国著名数学史家、历史上第一个数学史教授卡约黎（F.Cajori,1859～1930）在出版于1893年的《数学史》前言中强调数学史对数学教师的重要价值：“需要历史研究的另一个原因是历史知识对于数学教师的价值。如果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几何证明，学生的学习兴趣就会大大增加。算术课上的学生乐于听巴比伦人和印度人的工作以及印度人‘阿拉伯数码’的发明；他们会惊叹：经过了数千年，人们才想到把哥伦布鸡蛋——零引入数字记号；令他们惊奇的是，发明一个他们今天一个月就能学会的记号要花费如此漫长的时间。在学生学习了如何二等分角后，告诉他们用初等几何方法解决表面上看起来十分简单的三等分角问题的许许多多徒劳的尝试，让他们惊讶。当他们知道了如何作一个正方形，使其面积等于给定正方形的两倍后，告诉他们倍立方问题及其神话中的起源——只有作一个立方祭坛两倍于给定祭坛，太阳神阿波罗才会息怒，以及数学家是如何长期冥思苦想、孜孜以求的。在学生学习勾股定理殚精竭虑之后，告诉他们有关其发现的传说——毕达哥拉斯对他的发现如此高兴，以致为缪斯女神献上百牲大祭。当数学训练的价值受到怀疑时，引用哲学家柏拉图的学园门口所刻的那句话话：‘不懂几何者免进’。学习解析几何的学生应了解点笛卡儿，学习微积分的学生又应熟悉牛顿、莱布尼茨、拉格朗日在创造这门学科过程中所起的作用。在历史的解说中，教师可以让学生明白：数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科。”到了20世纪，数学史的教育价值受到欧美数学家进一步的大力提倡。美国数学史家史密斯（D.E.Smith,1860～1944）于1928年当选为国际数学教育委员会第二任主席。他的两卷本《数学史》（1923-25）和一卷本《数学原始文献》（1929）都是为中学数学教师而写。史密斯告诉我们，“数学史已被公认为师范教育及大中学校学生自由教育中的重要学科”，长期在大学教数学的经历使他深信：“为了将数学发展与人类发展联系起来，为了揭示数学是一条大河而不是一潭死水，为了强调数学的人文因素，一般的历史介绍是十分必要的。”19世纪，德国生物学家海克尔（E.Haeckel,1843～1919）提出一个生物发生学的定律：“个体发育史重蹈种族发展史”（OntogenyRecapitulatesPhylogeny）。德国大数学家和数学教育家F·克莱因（F.Klein,1849～1925）指出：“生物发生学的一项基本定律指出，个体的成长要经历种族成长的所有阶段，顺序相同，只是所经历的时间缩短。……我想教授数学和其他任何事情一样，至少在原则上要遵照这项定律。为顾念少年人的天赋才能，要慢慢的指引去学习较高一级的观念，最后才教抽象的陈述。这样做法，可说是遵循人类从简朴原始的情况，奋力达到高级知识水准所经的路径。还需不时将这一原则加以说明，因为常有人效法中世纪的学者，将最普遍的观念放在开始的时候教授，并且辩称这是唯一的科学方法。不论支持这种说法的依据是什么，不过绝不是真理。科学的教学方法只是诱导人去作科学的思考，并不是一开头就教人去碰冷漠的、经过科学洗练的系统。推广这种自然的真正科学教学的主要障碍是缺乏历史知识。为了克服上述障碍，……这种做法能使诸位看清一切数学观念的产生是如何迟缓；所有观念最初出现时，几乎常是草创的形式，只是经过长期改进，才结晶为确定方法，成为大家熟习的有系统的形式。”法国著名数学家庞加莱（H.Poincaré,1854～1912）在出版于1908年的《科学与方法》（Scienceet

Méthode）中的名言“预见数学之未来的正确方法是研究它的历史和现状”常常为后人所引用。在《科学与方法》中，庞加莱认为，数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给读者，他说：

“动物学家坚持认为，在一个短时期内，动物胚胎的发育重蹈所有地质年代其祖先们的发展历史。人的思维发展似乎也是如此。教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。鉴于此，科学史应该是我们的指南。”1919年，英国一数学会报告提出：“每一个孩子都应该知道他所学习的这门学科的更为人文或个性的一面”，并建议“数学教室中应悬挂大数学家的肖像，数学教师在课堂上应经常提到这些大数学家的生平与数学研究，并对数学发现对人类文明进步的影响作出解释。”英国数学史学会在1971年创建之初即将“促进数学史在教育中的运用”作为学会目标之一。美国学者米勒（G.A.Miller,1863～1951）认为，对于那些“只寻求完全掌握数学本身的人”来说，数学史的作用在于原始文献。他引用美国数学家洛维特（E.O.Lovett,1871～1957）的话说：“数学的学习者不应相信中间人的话，而应自己去寻找原始文献，寻找大师们自己的东西。二手的思想就像二手的书本和二手的衣服一样充满细菌。”

米勒指出，最早发展一门学科的大师往往留下比他们的解释者所传递的更为深刻的思想，而为了查阅原始文献，学习者常常需要了解他所学习的这门学科发展史上的重要步骤。

米勒还认为，数学史最大的作用乃是它在该学科的学习中注入更多的活力，它把数学概念从静态转向动态；通过记录数学家们在形成数学思想主流过程中所产生的影响，数学史使得数学人性化了。把科学人性化，这也正是著名科学史家萨顿（G.Sarton）所追求的理想。按照萨顿的观点，如果要将数学人性化，最佳方法是讲授数学的历史。20世纪，波利亚（G.Pólya,1887～1985）、庞加莱、弗赖登塔尔（H.Freudenthal,1905-1990）

波利亚

弗赖登塔尔

F·克莱因提倡“年轻的学习者重蹈人类的学习过程，尽管方式改变”。他们批评那种过于注重逻辑严密性、没有丝毫历史感的教材乃是“把火热的发明变成了冷冰冰的美丽”，并认为数学史应该是数学教师用于数学教学的必备知识。到20世纪70年代，数学史对数学教育的意义已经是许多西方数学教育家的共识：激发学生的学习兴趣培养学生的数学精神启发学生的人格成长预见学生的认知发展指导并丰富教师的课堂教学促进学生对数学的理解和对数学价值的认识构筑数学与人文之间的桥梁1972年，在第二届国际数学教育大会上，成立了数学史与数学教学关系国际研究小组（InternationalStudyGroupontheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics,简称HPM），标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。通常我们也把这一研究领域本身也称作HPM。1995年，美国数学协会在国家科学基金资助下成立了数学史及其在教学中的应用研究所（InstituteontheHistoryofMathematicsandItsUseinTeaching）专门致力于研究如何将数学的历史运用于课堂教学。运用数学史改进数学教学案例1:《对数的概念》教学片断

师：假设一张纸厚度为0.01公分，请问对折20次后有多厚?如果不用计算器，你能马上告诉我结果吗?有珠穆朗玛峰高吗?

众生(对老师的说法觉得难以置信)：没有那么高吧?……1米?20米?……(众生开始争执，有些偷偷地拿出了计算器开始计算)

师：看来大家的意见分歧较大，我们只能用事实说话了!谁能告诉我怎么计算?

生1：应该是0.01×220，但具体数值要用……用计算器!

师：呵呵，我说过不用计算器的，把20个2相乘可以吗?

众生(笑)：……

师：我相信没有一个同学愿意这样做，可是在古代，有好多的科学家就被这种繁复的计算困扰着，一直到了17世纪初，有一位叫JohnNapier的苏格兰数学家才将大家从计算的苦海里解救出来，其实，老师也不知道该不该称呼Napier为数学家，毕竟他是个对宗教狂热、具有机械天份、喜欢用鬼点子解决问题的有趣贵族。更让人意外的，是他居然扎实地做了廿年的苦工，发明了一种可以将乘法转化为加法的名为“对数”的计算方法。众生：对数?……(开始窃窃私语，充满好奇)

师：(打开投影)请看屏幕，有人用“西北雨”来形容对数的发明：“埋首计算那烦闷如夏日午后的庞大乘法，毫无预兆地几滴名为“对数”的斗大雨滴落下，转眼整个数学界的天空变了颜色，狂泄的雨水淋湿了厚重的计算纸，雨过天晴，计算纸上繁复的乘法变成加法，简单如雨后的清爽空气。雨后，天文学家，减少了计算时间，延长了学术生涯。师：真可谓是：“对数运算无所假，天文学家延生涯”啊!现在就让我们一起来看，聪明的Napier是怎样发明他的对数的，请大家将课本翻到30页，阅读《对数发明的历史》。

案例2：台体体积公式的教学分析

案例3：执教《年月日》时，有学生提问什么是公历、农历？为什么12个月的天数要这样规定呢？这时可以结合运用数学史料。

公历：国际通用的历法，以地球绕行太阳一周为一年，为西方各国所通用。每年12个月，每个周期7天，这是人们自己定的。大月31天，小月30天，2月有时只有28天，有时有29天，也是人定的，是罗马皇帝定的，他不喜欢2月，2月要杀犯人。7月8月是大月也是皇帝定的，称为皇帝的月份。我国政府采用公历，始于中华民国建立（1912年）。农历是中国的一种历法。阴历是以月球绕地球公转而得到的时间计算月球绕地球一周是一个月，又名夏历。始于中国的第一王朝的夏朝。到了文化大革命，极左思潮泛滥，“横扫四旧”，认为“夏历”是夏王朝的印记，必须改名，因传统历法在农村使用较普遍，故通过报纸改名“农历”，并影响港澳台案例4：如在“因数与倍数”的教学中，学生认识了因数及其特点后，先引导学生猜一猜100内的自然数中谁的因数最多。当教师宣布结果是“60”时，学生都感到非常意外，这时教师适时介绍《数字王国—世界共同的语言》一书中关于“时分秒进率60”的原因的讲解(60的约数多,有2、3、4、10、15、20、30、60，不容易产生小数，计算方便，而10进制的约数只有2和5，很容易产生除不尽的现象)，激发学生的探究兴趣，引领学生感受数字在人类历史发展进程中的神奇作用，更激活学生辩证思考，体会数的大小与因数多少之间的复杂关系，从而获得对于因数更为立体，更加深刻理解。案例5：在《圆的周长》一课的教学中，教师往往在最后要介绍祖冲之对圆周率的贡献，但甚少涉及前人研究的思想和研究的艰辛。教学这一内容时，适时加入刘徽的“割圆术”研究以及祖冲之历时20多年枯燥、简单的计算经历，当学生们听到“刘徽从正六边形着手，计算到正九十六边形，得出这个多边形的周长和圆直径的比值是3.1416。祖冲之在直径3.333米的圆中，一直分割到24576边形，这是每条边的长度是0.4毫米，大约是铅笔尖的宽度。”时，都惊讶地义论起来，教师继续引导学生想象，这些科学家在没有计算器帮助的情况下，为了保证分割的准确，计算的精确，需要付出多大的心血，在这样艰苦的条件下，支撑他们不懈追求的是对数学的信念。数字给学生强烈的震撼，史实给学生思考，这远比教师每天苦口婆心地说教带给学生的感受更深。运用认知心理学指导数学教学

案例1：《锐角三角函数》教学片断（西蒙数学教学法）

6.1.1正弦和余弦(一)1.角的对边:(1)如图6-1,(2)如图6-2,

BCACAB在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A的对边是BC,∠B的对边是AC,∠C的对边是AB.在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A的对边是＿,∠B的对边是＿,∠C的对边是＿.ACB图6-1BA图6-2C

(3)如图6-3

小结:不论直角三角形三个顶点位置如何,∠A的对边是BC,∠B的对边是AC,∠C的对边是AB.即两锐角的对边分别是两条直角边,直角的对边是斜边.BCACABACAB在直角三角形ABC中,∠C=90°,

∠A的对边是＿,∠B的对边是＿,

∠C的对边是＿.以上三个图中,∠A的对边是BC,∠B的对边是＿,

∠C的对边是＿.

ABC图6-3角的正弦

(1)如图6-4

1.590m在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°.

若AB=3cm,则BC=＿cm.(3)沿着倾斜角为30°的斜坡从A到B前进180米,这时B处离水平面的高度是＿,∠A的对边斜边=＿=＿=＿(2)沿着倾斜角为30°的斜坡从A到B前进100米,这时B处离水平面的高度是50m,

∠A的对边斜边=BCAB=50100=21(4)沿着倾斜角为30°的斜坡从A到B前进a米,这时B处离水平面的高度是＿,∠A的对边斜边=＿图6-4ACB(5)如图6-545°BC2+AC22在等腰直角三角形ABC中,

∠C=90°,∠A=∠B=＿.=＿.∠A的对边斜边当∠A=30°时,不管直角三角形大小如何,∠A的对边与斜边的比值不变,都等于21..ABC图6-5当∠A=45°时,不管直角三角形的大小如何,∠A的对边与斜边的比值都不变,都等于(6)在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°.由勾股定理可得AB2=＿＿＿,又BC=AC.所以AB2=＿BC2.AB=＿＿BC.

=＿=＿∠A的对边斜边=BCAB(7)如图6-6小结：只要锐角A的大小确定，那么用它作为一个角画出的直角三角形中，在这些直角三角形中，∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值。∠A的对边斜边是一个＿值.我们把锐角A的对固定

Rt△AB1C1、Rt△AB2C2

以及Rt△AB3C3中有一个锐角A相等,B1C1∥B2C2∥B3C3，则△AB1C1

～△AB2C2～△AB3C3，

所以有=＿=＿AB1B2B3C1C2C3图6-6∠A的对边斜边边与斜边的比叫做角A的正弦.记作sinA,即sinA=案例2：小学数学问题解决问题：图中有多少个角?探索:图中有2条射线,形成1个角.图中有3条射线,形成1+2=3个角.总结:从一点发出n个射线,形成＿个角.图中有＿条射线,形成＿个角.图中有＿条射线,形成＿个角.图中有＿条射线,形成＿个角.4；1+2+3=65；1+2+3+4=101+2+3+4+5=156；1+2+···+(n-1)练习1.图中有多少个三角形?3.育才中学68届高三6班共有50名同学,毕业20年后回母校举行联谊会.若每两个同学握手一次,一共应安排多少次握手?4.凸n边形有多少条对角线?5.m条直线两两相交有多少个交点?2.图中有多少条线段?

技能系统：导入技能语言技能讲解技能提问技能强化技能变化技能演示技能板书技能电化教学技能结束技能案例1：三垂线定理的证明及应用附教案◎复习

师：我们已经学习过直线与平面的垂直关系，请大家回答几个问题：

(1)直线与平面垂直的定义．

(2)直线与平面垂直的判定定理．

(3)何谓平面的斜线、斜线在平面上的射影．生：略．师：(板书)设斜线l∩α=O，作出l在平面α上的射影．

(师生共同完成图1．学生叙述画法，教师画图，再次深化概念．)[平面的垂线、斜线及斜线在平面上的射影是三垂线定理的基础，引导学生温故而知新是十分必要的．]◎导入

师：根据直线和平面垂直的定义，我们知道，平面内的任意一条直线都和平面的垂线垂直．现在我们想一想，平面内的任意一条直线是否也都和平面的一条斜线垂直呢？（高层次提问）

(演示教具：用两根铁丝在桌面上演示，学生容易看出平面内的任意一条直线，并不一定和平面的一条斜线垂直．)[演示教具：如图2，设直线l(铁丝)和平面α(桌面)斜交，使直线m(铁丝)和l垂直，把直线m沿直线l平行移动到平面α内的n的位置，此时学生发现平面α内有直线与平面的斜线垂直．]

师：如果我们把铁丝m在平面内平行移动，使其到不同的位置(直线)，那么，这些直线与铁丝l垂直吗？

[学生根据“两条异面直线所成的角”的原理也很快判定这些直线与l(铁丝)垂直．]

师：平面内一条直线具备什么条件，才能和平面的一条斜线垂直呢？即怎样判定平面内的直线与平面的一条斜线垂直呢？（高层次提问）

[指导学生用三角板和铅笔在桌面上搭成模型(如图3)，使铅笔与三角板的斜边垂直，引导学生观察猜想发现规律．经过实验，发现铅笔和三角板在平面α内的直角边垂直时便与斜边垂直．]

师：(启发)如何归结为数学问题呢？(学生们恍然大悟，终于发现了，平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直就和平面的斜线垂直．)

师：实验得出的结果是否正确还得进行证明．

[引入新课是课堂教学的重要环节．新课引入得好，这节课就成功了一半，教师根据教与学的实际，提出问题，创设情境，引导学生观察、猜想，发现新知识，从而调动了学生的积极性，培养了学生的探索能力，体现了教师为主导、学生为主体的教学思想．]◎分析讲解

师：现在我们把由实验发现的结论表达成命题的形式．

(学生叙述，教师板书．)

已知：如图4，PA、PO分别是平面α的垂线和斜线，AO是PO在平面α上的射影，aαa⊥AO.

求证：a⊥PO．师：这是证明两条直线互相垂直的问题．在立体几何中怎样证明两条直线互相垂直呢？

(学生思考、议论，教师归纳．)

师：常用的方法是证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面．现在要证明a⊥平面PAO呢？只要证明a⊥平面PAO内的两条相交直线即可．证明(师生共同完成．)

师：这个命题的证明，体现了“由线面垂直证线线垂直”的方法．这个方法很重要，大家要给以足够的重视．上述命题反映了平面内的一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的射影这三者之间的垂直关系．这就是有名的三垂线定理．下面请大家根据已知条件和结论，把三垂线定理完整地表达出来．(学生叙述，教师板书．)

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

[这样由具体到抽象地研究问题，能够培养学生的概括能力．从“猜想”到“证明”是质的升华！是学习数学必须具备的重要素质，引导学生证明猜想结果，总结定理，比直接给出定理记得牢，理解得深刻，又能培养学生的能力．]◎深入剖析

师：(逐字逐句地阅读定理，同时圈点重要字眼，并提出下面几个问题让学生讨论．)(1)本定理的证明过程是对水平位置的平面α而进行的．那么定理对其他位置的平面是否成立？并说明理由．

(2)直线a是平面α内垂直于AO的任意一条直线，a和斜线PO的位置关系有几种？反映三垂线定理的图形有几种可能的情况？并画出图形．

(学生分组讨论，教师巡回指导，适时点拨，解答疑难，启发诱导，掌握讨论情况，然后教师总结．)

师：(1)三垂线定理对任意位置的平面都成立．因为定理中并没有水平平面的限制．定理的实质是研究平面内的一条直线与这个平面的斜线及斜线在这个平面内的射影三者的垂直关系，与平面的位置无关．

(2)因为a是平面α内的任意一条直线，所以a与斜线PO的位置关系有两种情况：一是不过斜足O的异面垂直；一是过斜足O的相交垂直．反映三垂线定理的图形有四种情况(如图5)．

以上四种情况的图形在证题时都是经常遇到的，应该灵活运用三垂线定理．a不过斜足O时的情况容易被忽略，这是证题时确定三垂直关系的一个难点，应当给以足够的重视．

[剖析定理是几何教学中的一个重要环节．通过剖析，可以加深对定理的理解，为应用定理奠定基础，这是提高教学质量的重要措施．]◎定理的应用

[定理的应用是学习定理的重要环节．它既能巩固所学知识又能培养能力．]

师：请同学们证明下题：已知：如图6，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，连结PA．求证：BC⊥PA．

(学生思考后，教师分析．)

师：根据题意，PO是平面的垂线，显然PA是平面ABC的斜线.而BC平面ABC，所以，要证明BC⊥PA，只要证明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可．那么，怎样确定PA的射影呢？请大家把证明过程写在练习本上．

(同时指定一学生上黑板板演．)生：(板演)因为PO、PA是平面的垂线和斜线，连结AO且延长交BC于D(图7)，则AO是PA在平面ABC上的射影．又O是△ABC的垂心，所以AD⊥BC，由三垂线定理可得BC⊥PA．师：请谈谈证明的思路．生：先找出平面的垂线、斜线以及这条斜线在平面上的射影，……．师：他回答完整吗，生：应先确定一个平面及平面内的一条直线．师：这点补充得好！三垂线定理是证明空间两条直线互相垂直的重要方法．应用三垂线定理的思维过程是：“一定”——定平面及平面内的一条直线；“二找”——找这个平面的垂线、斜线及斜线在这个平面上的射影；“三证”——证明平面内的一条直线与射影垂直．

[在复杂图形中应用三垂线定理时，需要先确定反映三垂线定理的基本图形，然后才能着手证明，因而掌握三垂线的证题步骤是十分必要的．]

师：我们来研究第二道题．(板书．)

已知：正方体ABCD－A1B1C1D1．求证：(1)A1C⊥BC1；(2)A1C⊥平面C1DB．先考虑A1C⊥BC1如何证明？

(在此指导下，学生们通过认真观察，独立思考，确定平面BCC1B1及平面内的一条直线BC1，A1B1是平面BCC1B1的垂线，A1C是斜线，从而找到了反映三垂线定理的基本图形．连结B1C，用三垂线定理证明A1C⊥BC1．)

证明略．师：把第(1)小题作为条件证明第(2)小题，只需再证A1C⊥BD就可以了．

[学生连结AC，顺利地证明了A1C⊥BD，第(2)小题的证明就水到渠成了．证明过程是：师：在数学证明中，相同的证明方法可用“同理可证”代替推理过程．但必须注意推理的严密性．例如，上面的证明过程中，要防止漏掉BC1∩DB=B．(证明时，有些同学漏掉了这一点，经教师指导才改正，“同理”的运用也是如此．)[讲定理的应用时，关键是选好例题．这两道题的安排是由易到难，第一道题是直接应用定理，第二道题难度增大，要求学生在复杂的图形中通过观察和分析确定反映三垂线定理的基本图形，再应用定理，以培养学生灵活应用定理的能力．]◎

小结

(师生共同进行．)(1)本节课的教学可概括为四个字：猜、证、剖、用，即猜想平面内的直线与平面的斜线垂直的特征；证明三垂线定理；剖析定理的内容；应用定理证题．

(2)叙述三垂线定理的内容，定理的证明方法是证明空间两条直线互相垂直的基本方法，称为线面垂直法．

(3)此定理是空间两条直线垂直的判定定理，与平面的位置无关．运用定理的步骤是：“一定、二找、三证明”．◎课外作业课本习题：略．案例2：一道证明题的分析讲解。问题

:两个角在不同的平面上，其中一个角的两边分别平行于另一个角的相应两边，且方向相同。证明这两个角相等。师“题设是什么？”生“两个角位于不同的平面上，其中任一个角的两边分别和另一个角的相应两边平行，且方向一致。”师“结论是什么?。”生“这两个角相等。”师“画一张图。引入适当的符号。”生学生画出如图所示的一些线条，并在教师或多或少的帮助下选择图中所示的字母来标记这些结条。师“题设是什么？请用你引入的符号来表述。”生“A、B、C和A’、B’、C’不在同一平面上，且AB∥A’B’，AC∥A’C’，AB和A’C’方向相同，AC和A’C’方向相同。”师“结论是什么?”生“∠BAC=∠B′A′C＇。”师“观察这个结论！并尽量想出一条你所熟悉的具有相同或相似结论的定理。”生“如果两个三角形全等，则对应角相等。”师“很好！现在有一条定理和你要证明的定理有关，而且以前曾经证明过，你能应用它吗？”生“我想可以，但我还不很清楚怎么做。”师“为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？”

……生“没有，但是我可以引入几个三角形，我把B和C联结起来，把B′和C′联结起来，那么图中就有两个三角形了，即△ABC和△A′B′C′。”B＇BACA＇C＇A′师“干得好！但是这些三角形有什么用呢？”生“用来证明结论，即∠BAC=∠B′A′C＇。”师“很好！要证明它，你需要什么样的三角形？”生全等三角形.当然,我可以选择B、C、B′、C′，使得AB=A′B′，AC=A′C′。”师“非常好！现在你希望证明什么？”生“我希望证明这两个三角形全等△ABC≌△A′B′C′。”如果能证明这一点，我马上就可以得到所要的结论∠BAC=∠B′A′C′。师“好！你有了一个新目标，这个目标指出一个新的结论。观察这个结论！并尽量想出一条你所熟悉的具有相同或相似结论的定理。”B＇A＇C＇BAC生“如果，如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形对应的三条边都相等，那么这两个三角形全等。”师“干得好！你本来有可能会选出一条比较差的定理。现在这儿有一条定理和你目前要证的定理有关，而且以前曾经证明过，你能利用它吗？”生“如果我知道BC=B′C′的话，我就能利用它。”师“很正确！那么现在你的目的是什么？”生“证明BC=B′C′。”师“尽量想出一条你所熟悉的具有相同或相似结论的定理。”生“是的，我记得有一条定理，它的结尾是：‘……那么两线段相等。’但是这条定理在这里不适用。”师“为了有可能应用它，你是否应该引入某个辅助元素？”

……师“你看，如果图中BC和B′C′之间没有什么联系的话，你怎么能证BC=B′C′呢？”

……师“你有没有用到题设？题设是什么？”生“我们假设AB∥A＇B＇，AC∥A＇C＇，是的，我当然必须使用这些。”师“你用到全部的题设了吗？你说AB∥A‘B’，关于这些线段，你所知道的就只有这些吗？”生“不止这些，根据作图，AB还和A＇B＇相等，它们相互平行且相等。AC和A＇C＇也是这样。”师“两条等长的平行线——这是一种很有趣的构形。你以前见过它吗？”生“当然看到过！是的，平行四边形！让我联结A和A＇,B和B＇,C和C＇。”师“这个主意不错。现在你的图形中有几个平行四边形？”生“两个，不，三个。不，两个。我的意思是其中有两个，你可以立即证明它们是平行四边形，还有一个看上去像是平行四边形。我希望能够证明它也是平行四边形，那么整个证明就完成了！”A＇C＇B＇ACB附:波利亚的“怎样解题表”

第一步：弄清问题。

1．未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?2．画张图,并引入适当的符号。3．把条件的各部分分开,并把它们写下来.第二步：拟订计划1．考虑以前是否见过它?是否见过相同的问题而形式稍有不同?你是否知道一个可能用得上的定理?2．考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.3．能否利用它的结果或方法?为了利用它,是否引入某些辅助元素?4．能否用不同的方法重新叙述它?5．回到定义去.6．如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.7．是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念?

第三步：实现计划1．实现你的求解计划,检验每一步骤.2．你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?你能否说出你所写的每一步的理由？.

第四步：回顾能否检验这个论证?你能否用别的方法导出结果?能不能一下子看出它来?4．能不能把这结果或方法用于其他问题案例3：提问技能例1：在教学“异分母分数加减法”，首先复习同分母分数加减法的计算法则，要求学生计算２/４+１/４、３２/４０-２５/４０、２１/６０-８/６０，并说出解题依据：分数单位相同，可以直接相加减。接着，教师设计了这样一组提问：１、这几道同分母分数加减题中，有的分数不是最简分数，你能把这几个算式改写成最简分数相加减吗？（学生改写成１/２+１/４、４/５-５/８、７/２０-２/１５）现在这几个算式还是同分母分数相加减吗？（不是）是什么呢？（异分母分数相加减）今天这节课我们学习“异分母分数加减法”(板书课题)。在新旧知识的连接点处设问，巧引妙传，自然地导入新课，突出了旧知识向新知识的渗透。

２、今天要学的异分母分数加减法和刚刚学过的同分母分数加减法什么不同？在思考的转折处设问，引起学生积极思维。３、你能把异分母分数变成同分母分数再相加减吗？引导学生依据旧知识，探求新知识，寻找知识间的内在联系，掌握计算法则。４、异分母分数能不能直接相加减？为什么？引导学生探究算理，做到既明算理又明算法，牢固地掌握新知。

上述提问，有利于学生在教师的启发诱导下，通过积极思维，主动地获取知识，掌握算理法则。同时，还有利于培养学生的探索精神和思维能力。例2：教学“圆的周长”时，通过教师精心设问，层层设疑，一次又一次掀起教学高潮。教学过程如下：（演示：屏幕上，先显示一个圆，圆周上的一点闪烁后，沿圆周绕一圈，然后闪烁圆周。）师：同学们，你能说出什么是圆的周长吗？生：圆一周的长度，叫做圆的周长。师：请同学们闭上眼睛“想象”，圆的周长展开后，会怎样？生：是一条线段。师：那么如何测量和计算圆的周长呢？今天我们共同研究这个问题。（板书课题：圆的周长）接着，启发学生动手实践，在实践中探索测量圆周长的方法。师：你是怎样测量出圆的周长的？生：用滚动法测量出圆的周长。师：如果要测量的是圆形大水池，你能把水池立起来滚动吗？（学生哄笑，齐声回答说：不能。）师：还有什么办法测量圆的周长呢？生：用绳子绕一周，量出绳子的长度，也就是圆的周长。师：你能用绳测量出这个圆的周长吗？（演示：教师把系着小球的细绳的另一端固定在黑板面上，用力甩动小球，让学生观察黑板上小球被甩动时小球运动形成的圆。）生：不能。师：用滚动法、绳测法可以测出圆的周长，但是有局限性。那么，能不能探讨出一种求圆周长的规律呢？师：圆周长的大小是由什么决定的呢？我们先做一个实验，你能发现什么？（实验：两个球同时被甩动，形成大小不同的圆。）

学生欣喜地发现：圆的周长的大小与半径有关。圆的周长的大小与直径有关。师：圆的周长与它的直径有什么关系呢？学生积极动手测量，得出结论：圆的周长是它直径的３倍多一些。师：圆的周长到底比它的直径的３倍多多少呢？这里，我给同学们讲一个古代数学家祖冲之测量圆周率的故事……教师精心设计富有情趣的提问，使学生在畅想和满足中获得知识，提高能力，更能收到激发兴趣、唤起情感、激活思维的效果。例3：教学“倒数的认识”时，学生初步掌握了求倒数的方法之后，出示“写出下列各数的倒数：２７、１、０、２/３。”学生看清题目后，教师不急于让学生动笔练习，而是先作如下提问：师：同学们，这组数中，你最喜欢求哪个数的倒数？为什么？学生听到教师的问题，兴趣盎然，争着回答。生１：我最喜欢求２/３的倒数，因为２/３的分子、分母调换位置，就是３/２，２/３×３/２=１，２/３的倒数是３/２，很容易，所以我喜欢求。

生２：我最喜欢求１的倒数。因为１这个数可以写成分数１/１，分子、分母调换位置还是１/１，１的倒数就是１。很有趣，所以我喜欢求１的倒数。生３：我给×××补充，还可以这样想，因为１×１=１，所以１的倒数是１，我也喜欢求１的倒数。教师小结板书：１的倒数是１。师：这组数中，你最不喜欢求哪个数的倒数？生１：我最不喜欢求０的倒数，因为０写成分数是０/１，要是调换分子、分母的位置就写成了１/０，０又不能作分母（０不能作除数），０好像没有倒数。生２：再说，０乘以任何数都等于０，也不等于１呀，０肯定没有倒数。上述教学过程中，通过两个新颖的设问，把思维的主动权交给了学生。学生集中注意力进行思维活动的判断和说理，既巩固了新知识，又轻松、顺利地教学了求“０”的倒数和求“１”的倒数这两个倒数认识中极其重要的知识点。在数学教学实践中，教师运用艺术的手法精心设计课堂提问，既能促进学生积极思维，主动探索，又能实现教学目标的基本控制，使课堂教学效果最优化。教师借助课堂，艺术性地层层设疑能力系统：解题能力、教学能力（教学设计、驾驭课堂、教学评价）、科研能力观念系统：数学观、教学观、学习观数学是什么？

数学是一个封闭的科学体系还是一个开放的研究领域？数学是发现还是发明？数学是绝对真理还是建构的、可谬的？数学是价值承载（Value-laden）还是价值无涉的（Value-free）?

不同的数学观对数学的教与学的过程有什么不同的影响？作为一门科学的数学如何转化为作为教学科目的数学？数学家使用的研究方法、审美观、价值观是什么？数学会因信息技术的出现而发生变化吗？数学史与数学哲学有何关联？什么是数学学习？什么样的假设支撑着数学学习观？这些假设是否有效？这些假设又基于怎样的认识论和一般的学习理论？社会环境怎样影响一个人的数学学习?什么是数学学习中的建构主义、社会建构主义？还有其它的数学学习理论吗？它们对数学课堂产生何种影响？什么样的数学学习是有价值的？这样的学习能够被评价吗？在教学过程，不同的评价方式对数学教与学的过程有不同的影响吗？学习者充当什么样的角色？数学学习对学习者起到什么样的作用？学习者怎样借由数学学习而发生身份变化？数学学习在人的整体发展过程中起到什么样的作用？学习者怎样通过数学学习成为科学家、工程师或成为未来的公民？态度、信念、价值观在数学学习中起什么作用？数学能力究竟指什么？怎样才能让所有的人都能够学好数学？如何进行数学教学？什么样的理论或认识论支撑数学课堂教学？数学教学方法建立在何种假设的基础之上？这种假设有效吗？为达到数学教学目的可以采用什么手段，结果和手段是否一致？数学教学中已经应用和可能应用的方法、资源和技术有哪些？什么理论支撑着这些方法、资源和技术的应用？信息资讯技术给数学教学带来什么样的观念，包括预料之中和预料之外的？作为一门教学科目的数学究竟指什么？能够对教学进行评价吗？怎样进行教学评价？教师行为的伦理学、社会学、认识论界限是什么？教师需要怎样的数学知识？教师的信念、态度和个人的哲学观对教学实践产生何种影响？数学教师应当接受何种教育？三、怎样提升数学教师的素质1．读书

推荐书目：

波利亚的著作

波利亚(GeorgePolya，1887—1985)，著名美国数学家和数学教育家。生于匈牙利布达佩斯。1912年获布达佩斯大学博士学位。1914年至1940年在瑞士苏黎世工业大学任数学助理教授、副教授和教授，1928年后任数学系主任。1940年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。1976年当选美国国家科学院院士。还是匈牙利科学院、法兰西科学院、比利时布鲁塞尔国际哲学科学院和美国艺术和科学学院的院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、数学分析、组合数学等众多领域。1937年提出的波利亚计数定理是组合数学的重要工具。长期从事数学教学，对数学思维的一般规律有深入的研究，这方面的名著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》科学出版社

弗赖登塔尔的著作

弗赖登塔尔(Ｈａｎｓ.Ｆｒｅｕｄｔｈａｌ,1905-1990)是荷兰籍数学家和数学教育家.早在20世纪三、四十年代,他就以拓扑学和李代数方面的卓越成就而为世人所知.从20世纪50年代初起,他把主要精力放在数学教育方面,发表了大量著作,也开展了广泛的社会活动.在1967-1970年间任国际数学教育委员会(ＩＣＭＣ)的主席.召开了第一届国际数学教育大会(ＩＣＭＥ),创办了《数学教育研究》(ＥｄｕｃａｔｉｏｎａｌＳｔｕｄｉｅｓｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ)杂志,在国际范围内为数学教育事业做出了巨大的贡献.由于这些业绩,有人把他和伟大的几何学家克莱因(Ｆ.Ｋｌｅｉｎ)相提并论———对于数学教育,在上半世纪是克莱因作出了不朽的功绩,在下半世纪是弗赖登塔尔作出了卓越的成就.数学教育代表性著作《作为教育任务的数学》1973年版,《除草与播种———数学教育学的序言》1978年版,《数学结构的教学法现象》1983年版.郑毓信的著作《数学教育哲学》四川教育出版社2001年；《数学教育的现代发展》江苏教育出版社1999年；《数学方法论入门》；《数学哲学新论》江苏教育出版社1990年；《数学方法论》广西教育出版社1996《现代逻辑的发展》辽宁教育出版社1989年；《关系映射与反演方法》江苏教育出版社1989年；《数学模式论》广西教育出版社1993年《数学思维与数学方法论》（合著）四川教育出版社2001年《数学文化学》（合著）四川教育出版社2001年11.《数学哲学中的革命》（合著）九章出版社1999年《认知科学建构主义与数学教育——数学学习心理学的现代研究》（合著）上海教育出版社1998年《数学-逻辑与哲学》（合著）湖北人民出版社1987年《数学抽象方法与抽象度分析》（合著）江苏教育出版社1990年；《西方数学哲学》（合著）人民出版社1986年《数学方法论教程》（合著）江苏教育出版社1992年《问题解决与数学教育》编著江苏教育出版社1994年张奠宙的著作《现代数学与中学数学》《数学教育研究导引》《数学教育学导论》（合著）《中学代数研究》（合著）《中学几何研究》（合著）《数学教育概论》（合著）《中国数学双基教学》推荐杂志：国外：1）《数学教育研究》（EducationalStudiesinMathematics）（荷兰）ISSN00130013—1954，季刊，1968年创刊，D.雷伊代尔出版公司出版，克吕韦尔学术出版集团销售中心发行。刊载中小学及师范学校的教学理论、方法、实践等方面的论文、述评报告、书评以及IMO消息、试题。是国际性的刊物，主要用英文发表。2）《数学教育》（L′Enseignement

Mathematique）（瑞士），510LG004。ISSN0013—8584，季刊，1899年创刊，国际数学教育委员会机关刊物，日内瓦大学数学研究所出版、发行。刊载数学教学研究文章，供大学数学系师生阅读的文章以及新书介绍等。用英、法或德文发表。3）《数学杂志》（MathematicalGazette）（英国），ISSN0025—5572，季刊，1894年创刊，英国数学协会出版、发行。主要刊载初等、中等数学知识及教学法方面的文章与简讯。4）《数学杂志》（MathematicsMagazine）（美国），512B6001.ISSN0025—570X，年出5期，1926年创刊，美国数学会编辑出版。刊载有关大学、中学数学教学方面的文章，兼登简讯和书评。5）《国际科技中的数学教育杂志》（InternationalJournalofMathematicalEducationinScienceandTechnology）（英国），510C0058.ISSN0020—739X，双月刊，1970年创刊，泰勒和费朗西斯（TaylorandFrancis）出版公司出版、发行。刊载数学教育理论文章、书评、经验介绍与有关会议报道等。6）《结构研究杂志》（JournalofStructuralLearning）（英国），ISSN0022—4774，季刊，1970年创刊，戈登和布里奇（GordonandBreach）科学出版公司出版、发行。刊载研究数学概念与学习过程方面的理论、模型、语言、逻辑等复杂结构研究的文章。7）《学校数学》（MathematicsinSchool）（英国），512C0052.ISSN0306—7259，年出5期，1971年创刊，朗曼集团（LongmanGroup）出版公司出版、发行。主要介绍数学教科书、教学法、趣味数学和数学词汇等，是中小学数学教师的教学参考刊物。8）《数学教学》（MathematicsTeaching）（英国），512C0053.ISSN0025—5785，季刊，1956年创刊，英国数学教师协会出版、发行。主要刊载讨论中小学数学教学问题的文章，介绍数学教具、教学设备等。9）《数学教学及其应用》（TeachingMathematicsandItsApplications）（英国），ISSN0268—3679，季刊，1982年创刊，牛津大学出版社出版、发行。刊载中等和高等学校数学教学方面的文章。10）《美国数学月刊》（TheAmericanMathematicalMonthly）（美国），510B0007.ISSN0002—9890，年出10期，1894年创刊，美国数学会（AMS）编辑出版。除刊载数学研究论文之外，也刊载数学史、数学家传记、数学教育研究、数学问题等文章。11）《数学教育研究杂志》（JournalforResearchinMathematicsEducation）（美国），510B0066.INNS0021—8251，年出5期，1970年创刊，美国全国数学教师协会（NCTM）编辑出版。刊载从小学、中学到大学各级各类学校数学教育研究文章、文献评论和简报等有关内容。12）《数学教师》（MathematicsTeacher）（美国），512B0052.ISSN0025—5769，月刊，1908年创刊，美国全国数学教师协会机关刊物。刊载中学和大学的数学教学问题，以及数学研究进展等方面的文章，包括对若干专题的探讨，交流教学、教材编写的应验等。13）《数学课程》（Der

Mathematikunterricht）（德国），ISSN0029—5807，双月刊，1955年创刊，赛尔滋市（Seelze）克兰特（Klett）出版社与弗里德列（Friedrich）出版社联合出版。主要刊载数学教育及其课程等方面的文章。14）《数学实践》（Praxisder

Mathematik）（德国），ISSN0032—7042，月刊，1959年创刊，奥利斯（Aulis）出版社与多伊纳（Deubner）出版公司出版、发行，刊载理论数学、应用数学以及数学教学方面的文章。15）《数学教育文献》（ZentralblattfurDidaktik

Mathem