信号与系统第1-4章复习题纲

《信号与系统》1-4章复习提纲绪论（基本概念）线性非时变系统的时域描述信号与线性非时变系统的傅里叶描述混合类型信号中的傅里叶描述的应用（频域）1.1-1.3 基本概念1.4-1.5 信号的分类和基本运算1.6、1.11 基本信号1.7-1.8 系统1.9-1.10 噪声及主题范例

第一章绪论2.1信号的时域描述与分解2.2-2.8冲激响应描述法卷积和、卷积积分LTI系统的互联：满足交换、分配、结合律不同特性的LTI系统：对应冲激响应的表征2.9-2.11常系数线性微分方程描述法第二章线性非时变（LTI）系统的时域描述3.1-3.2 LTI系统对复指数信号的响应：频率响应3.3-3.8 4种信号的傅里叶描述及对比3.9-3.18 傅里叶表示的特性（只考FT的情况、不考3.13/3.18节）4.1 引言4.2-4.4 建立4种信号的FT表示4.5-4.7 信号分析的基本原理：抽样及重构（只考连续时间信号与离散时间信号之间的处理）第四章混合类型信号中傅里叶描述的应用第三章信号与线性非时变系统的傅里叶描述1.1-1.3基本概念信号：是信息的载体，即信息的表现形式。通过信号传递和处理信息，传达某种物理现象（事件）特性的一个函数。 系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。系统依赖于信号来表现，而系统对信号有选择做出的反应。本课程主要讨论以时间为自变量的一维单值函数信号。信号可以是实数，也可以是复数，但自变量一般总是实数。第一章绪论1.4信号的分类通常把信号分为五种：1、连续信号与离散信号2、偶信号和奇信号3、周期信号与非周期信号4、确定信号与随机信号5、能量信号与功率信号——噪声是一种典型的随机信号。连续/离散时间信号能量、平均功率的定义；能量信号的平均功率为零，功率信号的能量为无穷大。1.5信号的基本运算一、对因变量进行的运算1、幅度变换（幅度压扩）：2、加法：同一时刻的两个信号的叠加运算。3、乘法：同一时刻两个信号的乘积。4、微分（差分）：5、积分（求和）：1.5信号的基本运算——对自变量的运算二、对自变量进行的基本运算（线性）1、时间坐标的变换（时间压扩）2、反折3、时移运算（考虑a,k>1、0<a,k<1、的两种情况）

（注：当k>1时会丢失信息）自变量线性变换的顺序：先时间平移，后时间变换做缩放。对离散信号做自变量线性变换会产生信息的丢失！。指数信号正弦信号：满足周期信号的条件正弦信号与复指数信号的关系指数衰减的正弦信号阶跃信号冲激信号斜升信号1.6基本（典型）信号矩形脉冲信号：1.6基本（典型）信号——冲激（impulse）信号6.单位冲激（impulse）信号看做单位面积矩形脉冲的极限扩展：任意宽度为Δ、面积为1，且为时间t的偶函数脉冲的极限：——持续时间极短、幅度极大的实际信号的数学近似。（3）时间变换特性：（1）时间t的偶函数：（2）筛选特性（取样性）：性质冲激信号的导数、积分冲激偶：即单位冲激信号的一阶导数，包含一对冲激信号，一个位于t=0-处，强度正无穷大；另一个位于t=0+处，强度负无穷大。1.7系统的数学化描述1.7系统的数学表示一、系统与算符系统H输入信号输出信号二、系统分析和系统综合的基本思想根据工程实际应用，对系统建立数学模型，通常表现为描述输入-输出关系的方程。建立求解这些数学模型的方法。各类系统大多数都可以分解为若干简单系统的组合，通过对简单系统（子系统）的分析，并通过系统互联而达到分析复杂系统的目的。三、系统的互联1、级联ⅡⅠ2、并联ⅡⅠ3、级联、并联混合4、反馈联结ⅡⅠ-ⅡⅠⅢⅣ1.8系统的特性1.8系统的特性系统具有六个方面的特性：1、稳定性（P46）2、记忆性（P49）3、因果性（P50）4、可逆性（P51）5、时变性与非时变性（P52）6、线性性（P54）——BIBO意义下的稳定系统1.8.2系统的记忆性（P49）记忆系统：系统的输出取决于过去或将来的输入。非记忆系统：系统的输出只取决于现在的输入有关，而与现时刻以外的输入无关。*记忆延伸的广度问题系统的因果性决定了系统的实时性：因果系统可以实时方式工作，而非因果系统不能以实时方式工作.1.8.3系统的因果性（P50）因果系统：输出只取决于现在或过去的输入信号，而与未来的输入无关。非因果系统：输出与未来的输入信号相关联。1.8.4系统的可逆性（P51）可逆系统：可以从输出信号复原输入信号的系统。不可逆系统：对两个或者两个以上不同的输入信号能产生相同的输出的系统。可逆系统对任何不同的输入都必须产生不同的输出，即输入与输出必须是一一对应的。H系统Hinv逆系统、逆算符1.8系统的特性1.8系统的特性如果一个系统当输入信号仅发生时移时，输出信号也只产生同样的时移，除此之外，输出响应无任何其他变化，则称该系统为非时变系统；即非时变系统的特性不随时间而改变，否则称其为时变系统。1.8.5系统的时变性（P51）对于系统：对于任意输入信号，若发生时移：1）系统对已时移的输入信号的输出响应：2）系统响应发生时移：非时变系统1.8系统的特性检验一个系统时不变性的步骤：令输入为，根据系统的描述，确定此时的输出。将输入信号变为，再根据系统的描述确定输出。令，根据自变量变换，检验是否等于。HSt。HSt。1.8系统的特性1.8系统的特性1.8.5系统的线性性（P54）同时满足叠加性和齐次性的系统为线性系统，否则为非线性系统。18第二章线性非时变系统的时域描述

（LTIsystem：lineartime-invariantsystem）2.1 信号的时域描述与分解2.2-2.8 冲激响应描述法卷积和、卷积积分LTI系统的互联：满足交换、分配、结合律不同特性的LTI系统：对应冲激响应的表征2.9-2.11 常系数线性微分或差分方程描述法完全响应=自然响应+强迫响应（只考常系数微分方程）2.12 方框图表示（与输入-输出方程的对应）2.13 状态变量描述（状态方程+输出方程）1、四种描述方法:利用冲激响应进行描述：输入信号分解为时移单位冲激信号（序列）的加权叠加，输出信号是时移的系统的冲激响应的加权叠加。常系数线性微分方程或差分方程描述LTI系统的输入输出关系；方框图法：由乘法器、加法器和延迟器等基本运算单元来描述系统内部是如何组织并按次序的对输入信号进行运算。状态变量描述法从不同的角度描述同一个LTI系统——可系统研究和设计系统的内部结构外部法2.1信号的时域描述与分解202、信号的分解——基本思想信号与系统分析的基本理论和方法对于一个线性系统，若可以把任意输入信号分解成若干个基本信号的线性组合，只要得到该系统对每一个基本信号的响应，就可以根据系统的线性特性，将系统对输入信号响应基表示为系统对基本信号的响应的线性组合。

LTI系统：满足线性特性（齐次性、叠加性），非时变性。More，这种分析方法也可扩展至频域或其他变换域。21§2.2-2.5LTI系统的冲激响应描述—非时变性—卷积和线性性2、任意离散时间信号1、LTI系统的冲激响应—卷积积分3、任意连续时间信号§2.6LTI系统的互联—卷积和、卷积积分的性质1、LTI系统的并联——分配性+一个互联LTI系统的冲激响应与组成这个互联系统的各LTI子系统的冲激响应之间的关系。2、LTI系统的级联——交换性、结合律离散时间LTI系统及其卷积和满足类似关系。§2.7不同特性LTI系统的冲激响应表征1、无记忆LTI系统：其输出只与现在的输入信号有关。充要条件2、因果LTI系统：其输出只与过去和现在的输入信号有关。实际意义：输入为单位冲激信号时，因果系统的冲激响应不可能在零时刻之前出现。离散： 连续：若只关心冲激响应的形式时，可得：243、有界输入有界输出（BIBO）意义下的稳定系统，满足：4、可逆LTI系统的冲激响应满足：§2.8阶跃响应§2.9-2.11LTI系统的微分方程描述ak和bk是与时间无关的常系数N是方程的阶数1、连续时间系统，常系数线性微分方程描述：1）建立微分方程2、常系数线性微分方程解的形式和求解步骤2）求方程的齐次解3）求给定输入情况下的特解4）求方程的通解5）求自然响应——满足初始条件的齐次解6）求强迫响应——初始条件为零的通解7）求完全响应——满足初始条件的通解求解的核心，是将求解微分方程化为求解代数方程！3、初始条件-自然响应（齐次方程、齐次解）初始条件：指系统在过去的输出信息，它隐含了会影响未来输出的、关于系统过去历史的全部信息，代表了系统对过去的“记忆”。一般来说，确定输出所需的初始条件的数目等于方程的阶数。在零输入（即与输入信号直接有关的变化均为零）的前提下，由系统的非零初始条件（即某一时刻该方程的状态）所决定的解，称为满足初始条件的齐次解；此时方程所对应的系统输出信号称为系统的自然响应，描述系统中由非零初值条件所代表的储能或过去存储值耗散的方式。齐次解：代表满足齐次方程的系统的各种可能的状态！

§2.10微分和差分方程的求解方法当与输入信号直接有关的变化不全为零时，该方程称为非齐次方程，满足非齐次方程的解可能不止一个。其中，对于给定输入的、满足非齐次方程的任意一个解称为其特解。4、初始条件为零、给定输入——强迫响应（非齐次方程及特解）当系统的初始条件为零（即自然响应为零）时，只由输入信号引起的系统响应，称为强迫响应，即描述当系统处于零状态时受输入信号“推动”的结果。——满足初始条件为零的完全解。§2.10微分和差分方程的求解方法在给定输入信号后，任何时候都能够满足微分或差分方程的解，称为常系数线性微分方程或差分方程的通解。满足初始条件的非齐次方程的通解是完全解，完全解所对应的系统的输出信号就是完全响应。5、非齐次方程的通解、完全解与完全响应非齐次常系数线性微分方程或差分方程的通解，由其齐次解和一个特解完全确定。完全响应就是自然响应与强迫响应的叠加。29第三章信号与线性非时变系统的傅里叶描述3.1-3.2 LTI系统对复指数信号的响应：频率响应3.3-3.8 4种信号的傅里叶描述及对比建立概念：傅里叶变换与傅里叶逆变换4种信号的计算方法与应用3.9-3.18 傅里叶描述的特性（只考FT的情况、不考3.13/3.18节）30§3.1-3.2复正弦信号及LTI系统的频率响应输入信号：输出信号：LTI系统对频率ω的复正弦输入信号的频率响应：正弦响应复正弦函数是一切LTI系统的特征函数；其对应的特征值只是频率的函数。相关概念：频率响应函数、频谱、幅度响应、相位响应31§3.2正弦信号、复指数信号及LTI系统的频率响应LTI系统对表征为特征函数线性组合的输入信号的响应输出信号：输入信号：M个复正弦特征函数的加权和（线性组合）1）输出信号也是M个复指数特征函数的加权和；2）卷积运算变成了输入权重与频率响应的乘积运算；3）输入与输出权重：信号由时域表示转换为频域表示；

与每个频率的复正弦信号相联系的权重表示该频率的正弦信号对整个信号的贡献。特点：32§3.3-3.8四种信号的傅里叶表示一、从傅里叶分析的角度，信号可分为4种类型连续时间周期信号离散时间周期信号连续时间非周期信号离散时间非周期信号—傅里叶变换（Fouriertransform,

FT）—离散时间傅里叶变换（discrete-timeFouriertransform,DTFT）——傅里叶级数（Fourierseries,FS）——离散时间傅里叶级数（discrete-timeFourierseries,DTFS）傅里叶分析：利用复正弦信号，通过傅里叶级数及傅里叶变换，分析信号与系统在频域范围内性质的方法。33§3.3四种信号的傅里叶表示狄里赫利（Dirichlet）条件：1、信号是有界且单值的；2、任何区间内绝对可积（或绝对可和）；3、信号在任何有限区间内只有有限个极大值和极小值；4、信号在任何有限区间内只有有限个不连续点。二、

傅里叶分析：信号所需满足的条件狄里赫利条件是充分条件，但不是必要条件。即：满足狄里赫利条件就一定可以用傅里叶分析方法对信号进行分析；有一些不满足狄里赫利条件的信号，也还是可以用傅里叶分析方法分析—例如冲激信号。34三、四种信号傅里叶表示的总结（P235，§3.8）一个域中为连续的表示，在另一个域中就是非周期性的表示;一个域中为离散的表示，在另一个域中就是周期性的表示。35连续周期信号的傅里叶级数时域—频域连续、周期—离散、非周期离散周期信号的傅里叶级数时域—频域离散、周期—离散、周期离散非周期信号的傅里叶变换时域—频域离散、非周期—连续、周期连续非周期信号的傅里叶变换时域—频域连续、非周期—连续、非周期

四种信号傅里叶表示的特性：时域、频域对比时域采样时域采样频域采样频域采样课上例题：4种信号的时、频域变换计算与应用364、频移性3、

时移性小结：频移与时移两种特性是对偶关系：一个域内的移动，对应于另一个域内乘以一个复正弦函数。1、线性特性2、对称特性时域实信号：频域实部（幅度谱）偶、虚部（相位谱）奇频域实部（幅度谱）奇、虚部（相位谱）时域虚信号：时域实偶信号——频域实偶、时域实奇信号——频域虚奇——4种信号及对应的傅里叶表示均满足上述特性（表3.4）§3.9-3.18傅里叶描述的特性（只考FT的情况）375、微分和积分特性——适用于连续变量函数的运算1）时域微分：适用于连续时间信号（FT,FS）非周期信号——消除零频分量增强高频成分2）频域微分：适用于连续频谱分布信号（FT，DTFT）连续时间信号：3）积分：适用于FT和FS的时域、FT和DTFT的频域

时域积分——仅适用于时间均值为0的信号扩展：加入冲激解决0频处对应的FT，不影响高频成分386、时域的卷积特性时域非周期信号——可变换为频域傅里叶表示的乘积。——提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础，可用于求系统输入-输出关系的频率响应、频域滤波效应。——经常用于信号的分析和处理情况中。7、时域的相乘特性连续时间非周期信号：——可变换为频域傅里叶表示的卷积。→频域非周期卷积——可用于研究调制信号对载波信号频域特性的影响。398、尺度变换（时—频压扩）特性——时域信号的尺度变换，引起频域表示的尺度反变换，同时引起幅度的变化。连续时间非周期信号：——时间翻转性9、时宽-带宽乘积——信号的时宽与频宽之间存在倒数关系。——利用尺度变换特性解释：信号在时域上的压缩导致频域上的扩展，反之亦然。信号带宽的定义

不定性原理：不可能同时减小信号的持续时间和带宽。4010、帕斯瓦尔(Parseval)关系——各类信号的能量或功率在时域与频域中是守恒的。连续时间非周期信号（FT）的能量能量谱11、对偶特性——信号的时域和频域表示之间的对称性。一个域的卷积运算↔另一个域的乘积运算；一个域的微分↔另一个域内乘以一个独立变量；信号的时宽与频宽之间存在倒数关系；信号在时、频两域中对应函数形式的对称性；414种信号的FT表示，为各类信号的综合及运算提供前提；如何用连续时间信号的离散时间样本来表示原始连续时间信号——采样定理；（防止“频谱混叠”）如何从离散时间样本不失真地重构原始连续时间信号理想重构：理想带限插值法实际重构：零阶保持+反像滤波器第四章混合类型信号中傅里叶描述的应用42§4.2周期信号的傅里叶变换4.2.1FT与FS的关系FS连续时域周期信号FT4.2.2DTFT与DTFS的关系离散时域周期信号DTFSDTFT利用频移的冲激序列的加权叠加，实现周期信号频域表示：傅里叶级数（离散频谱）→傅里叶变换（连续频谱）。43§4.3周期与非周期混合信号的卷积及相乘——解决周期与非周期混合信号（运算）问题：连续时域信号统一利用FT分析；离散时域信号统一利用DTFT分析。4.3.1

周期与非周期信号的卷积1、连续时域信号应用：利用冲激响应h(t)↔H(jω)实现频谱滤波。2、离散时域信号：444.3.2

周期与非周期信号的相乘1、连续时域信号——FT对应频谱：是由G(jω)的频移模式的加权和所构成连续频谱；各频移模式的频移量为kω0

，权重为X[k]。2、离散时域信号——DTFT对应频谱：是由的频移模式的加权和构成;各频移模式的频移量为kΩ0