数列专题(精品)

q„1;qq„1;q丰1.a+amn是公差为md的等a-amn数列专题一、数列知识的梳理1•等差数列的通项公式和前n项和公式如果等差数列€a｝的首项为a，公差为d，那么它的通项公式是：n1a„a+(n，1)d„dn+(a，d)TOC\o"1-5"\h\zn1 1如果等差数列€a｝的首项为a，公差为d，那么它的前n项和公式是n1\o"CurrentDocument"c (a+a)n n(n-1)d d, d、S„in„na+ „n2+(a一一:\o"CurrentDocument"n2 1 2 2 1 22.等差数列的性质⑴通项公式的推广：a„a+(n-m)d(n，m…N*).nm\o"CurrentDocument"⑵若€｝为等差数列，且k+1„m+n(k,l,m,n…N*)，则a+a:n kl(3)若匕｝是等差数列，公差为d，则匕｝也是等差数列，公差为2d.n 2n⑷若匕｝，€｝是等差数列，则€Pa+qb｝也是等差数列.nn nn(5)若€｝是等差数列，公差为d，则a,a,aA (k,m…N*),n kk+mk+2m差数列.⑹数列S,S2 ,s3 A构成等差数列.2m一m3m一2m3•等比数列的通项公式和前n项和公式如果等比数列€a｝的首项为a，公比为q，那么它的通项公式是：n1a„a-qn，i(q工0)n1如果等比数列^｝的首项为a,公比为q，那么它的前n项和公式是n1na1S„<a(1-qn) a-aqn „—1 n—、1-q 1-q4.等比数列的性质(1)通项公式的推广：a„a-qn，m (n，m…N*).nm⑵若€｝为等比数列，且k+1„m+n (k,1,m,n…N*)，则a-an kl

⑶若｛a｝,€｝(项数相同)是等比数列，则da》0)‘｛丄｝,12!€•b｝｛+｝仍是nn n annnbn n等比数列.⑷公比不为-1的等比数列€a｝的前n项和为S，则S，S,S32，…仍成等比数列，其2n-n3n-2n公比为qn.⑸若€a｝是公比不为1的等比数列，OS=Aqn+B(A+B=0,且A丰0,q丰0,q丰1).nn二、数列通项的几种求法1.累加法：数列的基本形式为：a,-aan n-1 n-an n-1 n-1n-2)+…+(a—a)+(a—a)=(a—a)3 2 2 1 n1等式左边二(a—a)+(a等式左边=f(n-1)+f(n-2)+A+f(2)+f(1)所以：a-f(n-1)+f(n—2)+…+f(2)+f(1)+a.n1例1已知｝例1已知｝的首项a=1,a=a+2n,n1n+1 n(neN*)，求€｝的通项公式.n2.累乘法：数列的基本形式为：分二f(n)(neN*).an等式左边二a nan-1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"a a a a等式左边二a nan-1——n-1，…，―3+—2—―na a a an-2 2 1 1等式左边—f(n-1)，f(n-2)•…，f(2)，f(1)所以：a—[f(n-1)，f(n-2)•…，f(2)，f(1)]，a.n1例2已知€a｝的首项a—2,a—二a,(neN*)，求t｝的通项公式.n 1 n+1 n+2n n

2.公式法：n，则n若S为数列€｝的前n项和，即：S—a,a,a+„+n，则nn—1;n>2.(n>2)，求(n>2)，求€｝的通项公式.n例3数列€｝中，S是前n项和，若a=2,a=—S,n n 1 n+13n4.待定系数法：数列匕｝有形如a1=ka+b(k丰1)的关系时，可用待定系数法求得匕+八为等比数列,TOC\o"1-5"\h\zn n+1 n n进而求得a.n即：a,t—k(a,t)n,1 nb展开可得：a1=ka+(k-1)t，其中t=厂一f.1 n k—1例4已知数列€a｝满足关系，a,=3a+2且a—1，求｝的通项公式.n n,1 n 1 n5.倒数法：数列€a｝有形如a1(a+k)=a的关系时，可先用倒数法，再用待定系数法求a1即：a<a,ka—a11k—1两边同时除以a1•a，可得：1+—=—1 aa1将—看成一个整体运用待定系数法，从而得出a.annTOC\o"1-5"\h\z例5已知数列€a｝满足关系，a1二一务且a=2(n„N*)，求€a｝的通项公式.n n,1a,3 1 nn课堂练习：1•已知等差数列€a｝中,a=28,S二51，求数列｝的通项公式.n 10 6 n2•已知数列€a｝满足，a二1,a二a+2n+1，求数列€a｝的通项公式.n 1 n,1 n n3•已知数列€a｝满足，a1二人匚二2n，求数列｛a｝的通项公式.n 1 a nn4•已知数列｛a｝的前n项和S满足，S=!(a+1)2且a…0，求数列｝的通项公式.n n n4n n n5•已知数列｝满足，a=1,a广2a+1，求数列｝的通项公式.n 1 n,1 n n6•已知数列€a｝满足,na1=1，a,1=二6•已知数列€a｝满足,nn I2n三、数列前n项和的求法：1.裂项相消法：—般地，若是公差为d的等差数列,则有：a•a•a12„a3—般地，若是公差为d的等差数列,则有：a•a•a12„a3(n…1)d„a123 n-1a•a•aa•a•a特殊的裂项公式：特殊的裂项公式：1)an n(n+1)an n(n+1)nn+1'2)广(2n-1)(2n+1)=2(2n-1anJn,\：'n+1=+1-\：n例例6已知数列匕｝是递增的等比数列，且a,a=9,a・a=8.n 1 4 2 3⑴求数列€a｝的通项公式；n⑵设S为数列€a｝的前n项和，b=純1求数列€｝的前前n项和T.n n nSS n nnn,1例7已知数列€例7已知数列€｝满足an1=1,a-an,1 n(neN*)，求数列｛■—｝的前10项和.Ct-2.错位相减法：—般地，若数列€a｝是公差为d的等差数列，数列€｝是公比为q的等比数列，若n nC=a•b，则数列€c｝的前n项和s:nnn n ns=ab+ab+ab+ab+…+ab…n11223344 nnqs=ab+ab+ab+ab+…+abn12233445 nn+1①—②得：4了b-b

„d， n„—(1-q)2(1—q)S=ab„4了b-b

„d， n„—(1-q)211 234 n nn„1若q丰1时，Sab—若q丰1时，S=—1~1 n~n+—1—q若q若q=1时，s了 (a+a)，n=b， —n———2例8已知数列例8已知数列€a｝满足a=2,n12a=n„1—)2，ann⑴求数列€a｝的通项公式;n⑵令b=a—1a,求数列€｝的前n项和s.n n+12n n n课堂练习：1.已知等比数列｝中，a=2,a=16.n 1 4⑴求数列€a｝的通项公式；n1⑵令bn=loga・logan'"*，求数列€bn的前n项和S2n2n+12.已知等比数列a中，a„1,na„(n+1)a+n(n+1),n,N*.TOC\o"1-5"\h\zn 1 n+1 n⑴证明：求数列［牛I是等差数列；⑵设b„3n•药，求数列€｝的前n项和S.n 、n n n四、等差、等比数列的综合应用例9已知数列｝满足a„b„6,a„b„4,a