人教版高中数学选修（2-2）-1.7《导数及其应用》章末复习

本章回顾一、思维导图1．变化率与导数平均变化率平均变化率导数（瞬时变化率）导函数定义2．导数的计算基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式复合函数求导法则导数的计算导数的四则运算法则几个常见函数的导数导数的运算法则导数公式3．导数在研究函数中的应用函数的最大（小）值几何意义函数的最大（小）值几何意义导数的应用瞬时速度函数的极大（小）值函数的单调性4．生活中的优化问题举例生活中的优化问题生活中的优化问题用导数解决优化问题的步骤解决优化问题的基本思路5．定积分的概念定积分的性质定积分的性质定积分的概念定积分的计算定积分的几何意义曲边梯形的面积汽车行驶的路程6．微积分基本定理定积分的取值定积分的取值微积分基本定理应用定理计算简单的定积分分别用，表示变速直线运动物体的位移7．定积分的简单应用物理中的应用物理中的应用几何中的应用平面图形的面积计算定积分的简单应用变速直线运动的路程变力做功二、章末检测题（一）选择题在处取得极值，则()A．2B．3C．4D．5答案：D解析：略点拨：利用导数研究函数的极值2.函数y＝x2cosx的导数为()A．＝2xcosx－x2sinxB．＝2xcosx＋x2sinxC．＝x2cosx－2xsinxD．＝xcosx－x2sinx答案：A解析：略点拨：导数乘法与除法运算3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3答案：D解析：因为y′＝a－eq\f(1,x＋1)，所以a－1＝2，解得a＝3.点拨：导数的几何意义，导数的加法与减法运算4.一辆汽车按规律s＝at2＋1作直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．2D．3答案：D解析：略点拨：实际问题中导数的意义5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)D．[－eq\r(3)，eq\r(3)]答案：D解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，且f′(x)的图象是开口向下的抛物线，∴f′(x)≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，∴－eq\r(3)≤a≤eq\r(3).点拨：利用导数研究函数的单调性；数学思想：数形结合6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()答案：A解析：略点拨：利用导数的正负与函数的单调性的关系求解.7．已知为正实数，函数在上的最大值为，则在上的最小值为（）A．B．C．D．答案：A解析：，因为为正实数，所以当时，，即在上是增函数，故，从而.易知当时，，即在上是增函数，则在上的最小值为.点拨：利用导数求函数在闭区间上的最值8．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有根，则实数m的取值范围是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案：A解析：令f(x)＝x3－3x＋m，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，显然当x<－1或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当－1<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以在x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m＋2，在x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m，，故由于f(x)＝0在[0,2]上有解，所以，即：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤0，,2＋m≥0，))解得：－2≤m≤2.点拨：利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值9．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>eq\f(1,2)，则满足2f(x)<x＋1的x的集合为()A．{x|－1<x<1}B．{x|x<1}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x>1}答案：B解析：令g(x)＝2f(x)－x－1，由于f′(x)>eq\f(1,2)，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0，故g(x)为单调增函数，而f(1)＝1，于是g(1)＝2f(1)－1－1＝0，所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)<点拨：导数在函数最大值、最小值中的应用10．设函数的定义域为R，是的极大值点,以下结论一定正确的是（）A．B．是的极小值点C．是的极小值点D．是的极小值点答案：D解析：略点拨：结合函数图像的对称性与极值的判断方法可得.11．已知函数f(x)＝eq\f(a,x)＋xlnx，g(x)＝x3－x2－5，若对任意的x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，都有f(x1)－g(x2)≥2成立，则a的取值范围是()A．(0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，－1]答案：B解析：由于g(x)＝x3－x2－5，故g′(x)＝3x2－2x＝x(3x－2)，所以函数g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))上单调递增，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,8)－eq\f(1,4)－5＝－eq\f(41,8)，g∀x1，x2∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，f(x1)－g(x2)≥2恒成立，于是f(x)≥[g(x)＋2]max，即x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，f(x)≥1恒成立，即eq\f(a,x)＋xlnx≥1，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒成立，a≥x－x2lnx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上恒成立，令h(x)＝x－x2lnx，则h′(x)＝1－2xlnx－x，而h″(x)＝－3－2lnx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))时，h″(x)<0，所以h′(x)＝1－2xlnx－x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))单调递减，由于h′(1)＝0，所以x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))时，h′(x)>0，x∈[1,2]时，h′(x)<0，故h(x)≤h(1)－1，解得a≥1.点拨：导数在研究函数最大值、最小值中的应用12．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点、，且∈[－2，－1]，∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是()A．[－eq\f(3,2)，3]B．[eq\f(3,2)，6]C．[3,12]D．[－eq\f(3,2)，12]答案：C解析：f′(x)＝3x2＋4bx＋c，依题意知，方程f′(x)＝0有两个根x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，等价于f′(－2)≥0，f′(－1)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0.由此得b，c满足的约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－8b＋c≥0，,3－4b＋c≤0，,3＋4b＋c≤0，,12＋8b＋c≥0.))满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分．由题设知f(－1)＝2b－c，令z＝2b－c，当直线z＝2b－c经过点(0，－3)时，zz＝2b－c经过点C(0，－12)时，z最大，最大值为12.点拨：利用导数研究函数的极值，线性规划（二）填空题13．_________________．答案：解析：略点拨：微积分基本定理14．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和是________．答案：解析：因为y＝xn(1－x)，所以y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.于是切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，所以an＝(n＋1)·2n，于是数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,n＋1)))的前n项和为.点拨：导数的几何意义，等比数列求和公式15．如图阴影部分是由曲线y＝eq\f(1,x)、y2＝x与直线x＝2、y＝0围成，则其面积为______．答案：eq\f(2,3)＋ln2解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝x，,y＝\f(1,x)))，得交点A(1,1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝\f(1,x)))得交点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2))).故所求面积点拨：定积分在求面积中的应用16．定义：曲线C上的点到直线的距离的最小值称为曲线C到直线的距离，已知曲线到直线的距离等于曲线到直线的距离，则实数______________.答案：解析：曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为，曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为，令得，所以C1：y=x2+a上的点到到直线的距离应为，所以，答案得或（舍去）.点拨：导数的几何意义，导数在函数最大值、最小值中的应用（三）解答题17．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，若曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝eq\f(2,3)时，y＝f(x)有极值．（1）求函数f(x)的答案析式；（2）求函数f(x)在[－4,1]上的最大值和最小值．答案：见解析解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，（1）由题意得，答案得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－4.))经检验得x＝eq\f(2,3)时，y＝f(x)有极小值，所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.（2）由（1）知，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(x＋2)(3x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝eq\f(2,3)，f′(x)，f(x)的值随x的变化情况如下表：x－4(－4，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值－1113eq\f(95,27)4因为f(eq\f(2,3))＝eq\f(95,27)，f(－2)＝13，f(－4)＝－11，f(1)＝4，所以f(x)在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.点拨：利用导数研究函数的极值，利用导数求函数闭区间上的最值18．已知a，b∈R，函数f(x)＝(ax＋2)lnx，g(x)＝bx2＋4x－5，且曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处有相同的切线．（1）求a，b的值；（2）证明：当时，曲线y＝f(x)恒在曲线y＝g(x)的下方．答案：见解析解析：（1）因为＝a(lnx＋1)＋eq\f(2,x)，＝2bx＋4，所以＝a＋2，＝2b＋4，又因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在点(1，0)处有相同的切线，所以f(1)＝0＝g(1)＝b＋4－5，，即b＝1，a＋2＝2＋4，答案得a＝4，b＝1.（2）要使得当时，曲线y＝f(x)恒在曲线y＝g(x)的下方，即需证f(x)<g(x)()，不妨设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)＝(4x＋2)lnx－x2－4x＋5，则4lnx＋eq\f(4x＋2,x)－2x－4＝4lnx＋eq\f(2,x)－2x，令G(x)＝，所以＝eq\f(4,x)－eq\f(2,x2)－2＝恒成立，所以在(0，＋∞)上单调递减．又因为，所以当x∈(0，1)，>0；当x∈(1，＋∞)，<0，所以F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，F(x)取得最大值F(1)＝0，当时，F(x)<F(1)＝0，即f(x)<g(x)，所以当时，曲线y＝f(x)恒在曲线y＝g(x)的下方．点拨：导数的几何意义，导数在研究函数最大值、最小值中的应用19．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x＝2000eq\r(t).若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)．（1）将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额yt2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？答案：见解析解析：（1）因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为：w＝2000eq\r(t)－St.由w′＝eq\f(1000,\r(t))－S＝eq\f(1000－S\r(t),\r(t))，令w′＝0得.当t＜t0时，w′＞0；当t＞t0时，w′＜0，所以t＝t0时，w取得最大值．因此乙方取得最大年利润的年产量(吨)．（2）设甲方净收入为v元，则v＝Stt2.将代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式．v＝eq\f(10002,S)－eq\f(2×10003,S4).又v′＝－eq\f(10002,S2)＋eq\f(8×10003,S5)＝，令v′＝0，得S＝20.当S＜20时，v′＞0；当S＞20时，v′＜0，所以S＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20(元/吨)时，获得最大净收入．点拨：导数在实际问题中的应用，导数在研究函数的最大值、最小值中的应用20．已知函数，.（1）当a＝0时，在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m＝2时，若函数在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数的取值范围．答案：见解析解析：（1）由f(x)≥h(x)，得在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝eq\f(x,lnx)，则g′(x)＝eq\f(lnx－1,(lnx)2)，当x∈(1，e)时，g′(x)＜0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，＋∞)上递增．故当x＝e时，g(x).综上：m的取值范围是(－∞，e]．（2）由已知可得k(x)＝x－2lnx－a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2lnx与直线y＝a有两个不同的交点．φ′(x