过程系统工程-2

化工过程模拟与优化Simulation&OptimizationofChemicalEngineeringProcess

李亚军87112044iyajun@

第三章：化工过程系统数学模型2023/1/152第三章：化工过程系统数学模型

对于一个化工过程系统，常常需要从整体上进行详尽的考察以探求其在技术上的合理性、操作上的可靠性以及整体性能达到最优的条件。为了达到这样的目的，就要对给定的化工系统建立数学模型，通过该数学模型的求解，对系统的整体特性进行计算，即通过数学模型来分析过程中各单元过程的设备结构参数和操作参数对系统整体特性的影响。2023/1/153

建模和模拟是化工系统工程最重要、最常用的技术手段。完美地解决了建模与模拟的问题，就几乎等于解决了化工系统工程的绝大部分问题。在从事系统分析、系统综合或系统优化时，绝大部分时间都是消耗在建模和模拟工作方面。假如不能解决建模和模拟的问题，则其他任何手段也难于代替建模和模拟的作用，因而无法解决实际化工生产问题。3.1、数学模型概念、定义与分类2023/1/1543.1、数学模型概念、定义与分类

3.1.1、模型模型是指可描述、表现原型某种特征的替代物。由于研究目的不同，表达的特性不同，对同一事物、同一原型可用不同的模型加以描述。化工系统工程-——数学模型只有建立了可用的数学模型，才有可能运用过程系统工程的经典方法解决实际工程问题。2023/1/1553.1、数学模型概念、定义3.1.2、数学模型及分类

一个正常生产的工厂（过程系统）不可能为了了解其性能而随意让人冒着破坏正常生产秩序甚至爆炸的危险对其操作参数、原料、设备、流程作大幅度的调整。为了方便、安全、经济的研究一个复杂的对象，常常以一个相比较简单的系统B来代替对象系统A。系统B必须在其主要系统性能、操作特征、应答特征上与系统A一致，或者说等效A，且系统B要较系统A容易进行试验或解算。2023/1/1563.1、数学模型概念、定义与分类

3.1.2、数学模型及分类要实现对过程系统的操作模拟、设计、控制及最优化，首先必须解决的问题是用定量的方式即用数学表达式来描述所研究的对象。数学模型就是物理实体的数学抽象、原型特性的数学描述。用一套数学关系式或数学符号描述系统的各种因素、特征、变量之间的数学关系或逻辑关系；即关联研究对象的输入、输出以及一系列参数的数学方程式（组）。2023/1/1573.1、数学模型概念、定义与分类3.1.2、数学模型及分类数学模型可分为：1、从流程模拟系统设计角度可分为物性模型、过程单元模型和系统结构模型；2、从建模的方式和信息依据可分为机理模型、统计模型和混合型模型（也称经验型模型）。2023/1/1583.1、数学模型概念、定义3.1.3、模型中的变量对系统建立了适当的数学模型后，模型中所涉及的变量分为决策变量、设计变量和状态变量。系统的决策变量及设计变量是指可人为选择或控制，用以改变系统状态的变量。状态变量是当决策变量或设计变量给定后，由于过程本身的物理规律所限而被确定、无法人为改变的量。2023/1/1593.1、数学模型概念、定义3.1.4、模型参数一个模型可能包含着若干个模型参数，这些参数除个别可以根据机理导出外，大部分需通过实验确定。因此在建立模型时，应当随时注意尽可能减少模型中的参数，特别是不能独立测定的参数。这类参数愈多，实验确定参数就愈不容易准确，外推时的误差也就愈大。2023/1/15103.1、数学模型概念、定义3.1.5、数学模拟将过程系统抽象成数学模型，这种将原型抽象成数学模型的过程就是数学模型化，而通过对数学模型的研究达到了解、认识原型特性的这种方法称为数学模拟。数学模拟的过程就是利用模型由选定的量计算出待定的量，或说由模型的输入量计算出模型的输出量。通常模型的输入量也对应着决策变量或设计变量，输出量也对应着状态变量。

2023/1/15113.1、数学模型概念、定义

数学模拟是化工系统工程的主要方法，其优点在于：（1）经济性：如果在实际工业装置或实验设备上进行研究，将耗费大量的物质。使用数学模拟的方法，不但可以节省大量的物质和能源消耗，而且更加迅速、详尽。（2）缩短研究周期：用数学模拟的方法可以缩短从小试放大为生产装置的进程，不必逐级放大。（3）研究过程的稳定性和灵敏度：用数学模拟的方法能较方便地研究过程的稳定性和灵敏度。2023/1/15123.1、数学模型概念、定义

数学模拟的局限性，主要表现在：（1）模拟是否准确依赖于数据的完备性和准确性：数学模拟的准确性在很大程度上取决于数据的可靠性和准确性。在实际工作中，困难并不在于建立模型，而在于如何准确地确定模型中的参数。（2）数学模型解算手段的限制：由于用解析法求数学方程通常仅限于线性代数方程，线性微分方程以及少量几个变量的线性偏微分方程。（3）数学模型适用范围的限制：在应用数学模型时，不能把数学模型推广应用于假设前提之外，也不能用于超过变量允许的适用范围。2023/1/15133.2、过程系统数学模型

数学模型就是实际过程的数学描述，它规定了系统的各个参数和变量之间的数学关系，通常表现为一个数学方程组。

3.2.1、机理模型

1、概念：描述过程的方程组可以由过程机理出发，经推导得到，并且由实验验证。指在建立模型时，需要对系统的各个组成部分及其相互联系方式进行研究,了解其各部分运行的物理规律，然后利用已知的、经过长期实践检验的公理，如质量守恒、能量守恒、万有引力定律等建立系统的数学模型。实质上就是将系统分解至已知公理可以解释的程度再进行相应的数学描述。2023/1/15143.2、过程系统数学模型2、局限：机理模型的应用受到化工过程的复杂性限制。复杂性不在于描述过程的数学方程本身的庞杂，真正的困难在于复杂的几何形状构成了极为复杂的边界条件，而且这种复杂的边界条件几乎是无法确定的。机理模型对于这种困难根本无法求解。2023/1/15153.2、过程系统数学模型

3.2.1机理模型:

在机理模型的建模实践中，完全可以在一定的公理指导下，对系统的部分未知物理规律进行某种有意义、并有可能成立的猜测，完全可以利用某种虽未成为定律、但有相当依据的学说或理论，建立适当的简化和假设，忽略影响系统功能、状态的次要因素，最终建立整个系统的数学模型。目前绝大多数化工过程机理模型都是遵循这样的建模思路。2023/1/15163.2、过程系统数学模型

3.2.1机理模型:

注意：不要片面的追求模型的机理性，无止境地向微观层面探索“机理”，这样会导致工作效率低下，而且必将面临缺乏实践考验的、研究不成熟的理论问题，引入更多的不确定因素和难于估计的计算误差，最终必严重影响模型的预测性。2023/1/15173.2、过程系统数学模型3、特征：在化工系统工程领域，经过多年的实践检验，可以认为对于流程模拟任务而言，所称机理模型一般应具有如下基本特征。（1）、确定的组分，统一、可靠的基础物性数据；（2）、质量衡算方程（3）、能量衡算方程（4）、严谨相平衡计算（5）、化学反应动力学或化学平衡计算（6）、传递与流动计算2023/1/15183.2.1机理模型4、建模手段：（1）、系统分析强调：在系统分析阶段，应对整个系统及其各子系统（物流及设备）进行仔细的自由度分析，深刻认识影响系统行为的各独立影响因素。（2）、数学推演2023/1/15193.2、过程系统数学模型3.2.2、统计模型:

当对过程机理缺乏足够的认识或机理模型过于复杂、不便求解时，往往使用经验模型解决实际建模问题。数学模型可以根据实验室装置、中试装置或者工业化装置的实测数据，通过数据回归分析得到纯经验的数学关系式。2023/1/15203.2、过程系统数学模型局限：统计模型与过程机理无关，是根据实验从输出和输入变量之间的关系，经分析整理得到。经验模型的定义域是受到严格限制的，它只是在实验范围内才是有效的，不宜外推或以较大幅度外推。由于实验条件的限制，统计模型的局限性是很大的。2023/1/15213.2、过程系统数学模型3.2.3、混合型模型：对实际过程进行抽象概括和合理简化，然后对简化的物理模型加以数学描述，这样得到的数学关系式称为混合型模型，是半经验半理论性质的。混合型模型的建立是通过过程的简化，设法回避过程中一些不确定的复杂的因素，绕过数学上看来难以克服的困难，代之以一些统计的结果和一定的当量关系。2023/1/15223.2、过程系统数学模型

3.2.4、模型的简化数学模型的特征是简化，用数学模型模拟实际过程变量关系。模型简化的合理性判断：（1）简化但不失真；（2）简化当能满足应用要求；（3）简化使之能适应当前实验条件，以便于模型鉴别和参数估计；（4）简化使之能适应现有计算机的能力。2023/1/15233.2、过程系统数学模型3.2.5、数学模型的建立和检验

模型建立的步骤2023/1/15243.3过程系统模型自由度3.3.1、模型的数学描述由物理模型推导数学模型的步骤：①、列出有关变量（1）物流变量中的独立变量；（2）与过程有关的设备特性参数和操作参数；（3）过程从外界得到（或向外界放出）的热量和功。2023/1/15253.3过程系统模型自由度3.3.1、模型的数学描述由物理模型推导数学模型的步骤：②、列出表示各物流之间有关变量约束关系的全部独立方程化工过程各股物流的有关变量受到热力学、动力学等关系的约束，有关方程一般为：物料平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程，压力平衡方程、化学平衡方程、相平衡方程、反应动力学方程、传热速率方程、传质速率方程、流动阻力方程。2023/1/15263.3过程系统模型自由度3.3.2、自由度的基本概念

对任何一个实际系统和实际过程，由于事物本身的客观物理规律所决定，都存在着影响该系统状态的独立影响因素。当这些独立因素被确定后，系统的状态即被确定，无法改变，由此产生了自由度（DegreeofFreedom）的基本概念。在实际的化工流程计算中，尤其是在计算物流状态时，没有热力学平衡的约束，决定物流状态的独立影响因素或自由度为：f=组分数C+22023/1/15273.3过程系统模型自由度3.3.2、自由度的基本概念一般来说，在进行流程模拟计算时，合理的物流独立变量选取为：流量、压力、温度、C-1个组分摩尔分数。通常当这些独立变量确定后，其他诸如汽相分率、密度、摩尔焓、熵、逸度、相平衡常数、传递性质等就被确定了，即被物理规律所限定而不可改变，在数学上就反映为独立变量作为自变量利用数学模型计算得出的函数变量，或说是可由独立变量计算得出的状态变量。2023/1/15283.3过程系统模型自由度

3.3.2、自由度的基本概念从数学角度看，某些参数通常不被选取为独立变量是由于其他变量很难表达为这些参数的显函数。如果将这样的参数作为独立变量用于计算其他变量，则易增加迭代计算，增加计算的难度。在实际的化工过程中，那些计算时不被选取为独立变量的参数，恰好多是难于检测、也难于直接控制的变量。2023/1/15293.3过程系统模型自由度3.3.2、自由度的基本概念

如果在计算物流或设备状态时多引用了独立变量作为自变量，则在计算状态变量时就会产生矛盾，在数学上就表现为模型中有矛盾的关系式，模型无解。反之，如果少引用了独立变量，则数学模型的解不定。对于复杂大系统的正确自由度的正确自由度分析，亦即解决应由哪些变量求算哪些变量的问题，往往是很困难的。2023/1/15303.3过程系统模型自由度

3.3.3、稳态流程模拟中的自由度问题不论对于实际生产还是流程的模拟，实际上并不关注设备内部各变量的分布情况，而只关注设备的出口物流的状态。对于多数比较简单的单元设备或过程，决定设备状态（设备出口物流状态）的独立影响因素仅仅是所有入口物流的状态以及设备本身。可以说单元设备模拟的自由度就是该设备所有入口物流或上游物流的自由度的简单集合，然后再加上设备本身的设备参数。2023/1/15313.3过程系统模型自由度

3.3.3、稳态流程模拟中的自由度问题事实上，在实际流程运行时，无论需要控制哪个参数，在操作上都是通过对某些物流的状态控制来直接或间接实现的。即在实际化工过程中，只有物流尤其是流量才是真正可以直接进行调整和控制的。这也是流程模拟计算时物流状态往往成为设计变量的重要原因之一。在优化计算中，那些独立的、可决定系统状态的物流参数就顺理成章地成为优化计算的“决策变量”。2023/1/15323.3过程系统模型自由度3.3.3、稳态流程模拟中的自由度问题

在进行化工流程模拟的过程中，除了温度、压力、组成等通常在实际过程中可以是直接控制的操作参数外，设备特性参数也是决定系统状态的独立影响因素。独立操作参数和独立设备参数的全体就构成了整个流程模拟计算的全部独立变量，对应着整个系统的自由度。而其余的非独立变量均作为状态变量可由独立变量计算得出，习惯上也称独立变量为设计变量。2023/1/15333.3过程系统模型自由度3.3.4、数学模型的自由度表达实际系统原型特征的数学模型同样也存在独立变量。模型的自由度即模型中的独立变量数，在求解模型之前，通过自由度分析，可正确的确定独立变量数，可以避免由设定不足或设定过度而引起的方程无解。建立具有唯一解的数学模型是实际模拟工作的需要。

2023/1/15343.3过程系统模型自由度3.3.4、数学模型的自由度根据数学原理，n个不矛盾的独立方程组成的方程组，可以而且只能求解n个未知数。当独立方程数大于未知变量数时，方程组会导致矛盾而无解；当独立方程数小于未知变量数时，方程组可有多解。因此变量数与独立方程数的差值即为模型的自由度。f＝m-n

在与过程有关的全部m个变量中，f个是独立变量或设计变量，它们的值在求解模型方程时必须预先规定；其余n个为状态变量（不独立的变量），它们的值由模型方程规定。2023/1/15353.3过程系统模型自由度3.3.5、实际自由度与模型自由度的关系实际系统物理上的自由度与其数学模型的自由度是既有区别又有联系的。在系统分析和建模求解时应当正确地运用而不应混淆这两个概念。实际系统的自由度就是客观上存在的影响系统状态的实际独立影响因素数目。而数学模型的自由度虽然由实际系统自由度决定，但也与实际建模时模型本身是否合理以及建模假设、建模思路有关。由于建立模型时一般需要一些简化和假设，某些影响因素忽略不计，故数学模型的自由度通常小于或等于实际自由度。2023/1/15363.3过程系统模型自由度3.3.5、实际自由度与模型自由度的关系对于复杂系统，尤其是对其规律认识不清时，正确的指出其自由度实际是个非常复杂的问题。必须有丰富的专业知识，对过程物理意义有透彻了解、认清实际系统独立影响因素，才可能在适当的简化假设前提下，建立足够的、正确的数学模型，同时计算出系统自由度，最终由模型计算出所有状态变量。如果想当然的建立了不适当的数学模型，简单套用公式计算自由度，往往导致错误，最终影响数学模拟的结果。

无论是建立机理模型还是建立经验模型，都必须进行仔细的自由度分析。2023/1/15373.3过程系统模型自由度

模型假设：假定换热器没有散热损失和流体压力降，物性不随温度、压力变化，稳态。

实际自由度分析：两个输入物流状态和两个换热器设备参数决定了换热器出口物流状态，此单元过程的独立变量共有8个。例：管壳式换热器稳态建模与自由度分析2023/1/15383.3过程系统模型自由度数学模型自由度分析：

变量数：3×4=12，设备特性参数：2，总变量数：m=14

压力平衡方程：P1=P2p1=p22个

物料平衡方程：W1=W2

w1=w22个

热平衡方程：W1CP（T1-T2）=w1CP（t2-t1）

1个

传热方程：W1CP（T1-T2）=KA△tm

1个

独立方程数：n=6，模型自由度：Fr=m-n=14-6=82023/1/15393.4流程结构模型3.4.1、概念流程结构模型也称拓扑结构模型，它是从全局的角度描述系统中各个局部之间的关系，描述组成系统的拓扑结构。

其用途通常是解决全流程计算时的顺序问题和连接上下游设备间的物流的取值问题。建立流程结构模型是过程系统工程的典型技术手段，是其他化工类相关学科所不研究的内容。2023/1/15403.4流程结构模型3.4.1、概念流程结构模型有三类表达形式：图形形式，矩阵形式，代数形式。通常在进行大系统模拟时，总是根据实际系统特点先利用图形形式描述其结构，再进一步用矩阵描述，最后再转化为代数形式从而使计算机能够正确计算。2023/1/15413.4流程结构模型

3.4.2、图形表达方式工艺流程图实例：PFDorPID2023/1/15423.4流程结构模型

3.4.2、图形表达方式信息流程图实例2023/1/15433.4流程结构模型3.4.3、矩阵表达方式

用于描述系统结构的矩阵通常有过程矩阵、关联矩阵、邻接矩阵等。

过程矩阵

Rp=单元物流流线混合17-2换热2-39-8反应3-4分离4-5-62023/1/1544

邻接矩阵

至从混合换热反应分离混合1换热1反应1分离3.4流程结构模型Rp=2023/1/1545

关联矩阵

物流单元123456789混合1-11换热1-1-11反应1-1分离1-1-13.4流程结构模型Rp=2023/1/15463.4流程结构模型3.4.4、代数表达方式

因在计算机内实现流程模拟计算时一定是采取代数的表达方式。在流程模拟软件中，物流联系方程组对应着一系列的赋值语句。这些赋值语句是由过程矩阵等结构模型决定的。

目前水平较高的通用流程模拟系统都是先根据流程结构人工画出系统结构的图形，输入计算机，再由计算机自动将图形转化为矩阵，最后再由矩阵自动生成物流联系方程组，得到最终的代数表达形式。极大地提高了流程模拟的效率。2023/1/15473.5流程模拟基本模型

1、纯组分性质（基本性质、蒸汽压、蒸发热、液相密度等）

2、流体热力学性质模型流体的PTV关系、焓模型、逸度模型等

3、流动模型

4、相平衡模型

5、反应动力学模型

6、传递过程模型

2023/1/15483.6过程单元模型3.6.1单元过程稳态模型即模块概述在通用稳态流程模拟系统中，单元过程模型总是与其解算法紧密结合在一起，形成所谓“单元过程模块”。单元过程数学模型的设计变量一般都是实际系统的输入参数，如输入物流，设备单元，控制变量等，与系统的实际自由度相对应。而系统的输出物流、设备内部状态等一般作为模型的状态变量。作为单元过程模型及模块，其在流程模拟系统中的地位可以认为是“物流变换器”，即由输入物流状态计算输出物流状态的模块。2023/1/15493.6过程单元模型

3.6.1单元过程稳态模型即模块概述在稳态流程模拟任务中，物流的基本状态一般包括流量、温度、压力、组成、相态、焓等变量。在化工过程中，通常有以下几种单元操作模型：（1）钝性流动器类流股混合器和流股分流器（2）活性分离器类精馏塔、吸收塔和萃取塔等（3）平衡级器类闪蒸器（等温闪蒸、绝热闪蒸）等。（4）压力变化器类泵、压缩机、膨胀机和节流阀等。（5）温度变化器类换热器、再沸器、冷凝器、冷却器、加热炉等。（6）化学反应器转化率反应器、化学计量反应器、平衡反应器等。2023/1/15503.6过程单元模型

在化工过程中，常见的化工单元过程的数学模型：

1、物流混合器和分离器

两股物流经混合器混合成为一股物流，若组分数为C，过程为绝热，有关变量为各股物流的独立变量F，P，T，(C-1)个xi变量数。则总变量数：m=3(C+2)

F1、P1、T1、xi1F2、P2、T2、xi2F3、P3、T3、xi3物流混合器2023/1/15513.6过程单元模型

可以建立以下独立方程：压力平衡方程：P3=Min{P1,P2}1个物料平衡方程：F1xi1+F2xi2=