ChapIIR数字滤波器的设计

第六章无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计一、数字滤波器——是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比列或者虑除某些频率成分的器件。二、数字滤波器的分类经典滤波器从功能上分：低通、高通、带通、带限从实现的网络结构或单位脉冲响应：IIR、FIR现代滤波器维纳滤波器、卡尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。三、标准理想滤波器的特性图6.1.2低通高通带通带阻滤波器类型010101--01--过渡带——通带截止频率——阻带截止频率四、数字滤波器的技术指标

（以低通滤波器的性能指标为例：

）00.707——3dB通带截止频率五、数字滤波器设计方法概述理想的带限滤波器，h(n)是一非因果的，无法实现，一般采用逼近技术来设计实际的滤波器。IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法相差较大。IIR滤波器的设计经典设计方法：借助模拟滤波器Ha(s)H(z)计算机辅助设计FIR滤波器的设计窗函数法、频率采样法切比雪夫等波纹逼近法§2、模拟滤波器的设计常用的模拟滤波器三种：巴特沃斯滤波器（Butterworth）切比雪夫滤波器（Chebyshev）椭圆滤波器（Ellipse）模拟低通滤波器的设计指标：|Ha(j)|2=Ha(s)Ha(-s)|s=j=Ha(j)Ha*(j)因此，幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起很重要的作用。一、巴特沃斯低通滤波器的设计1.定义——

巴特沃斯滤波器是指在通带内的幅度特性具有最大平坦特性，是一全极点型滤波器。

滤波器的平方幅频特性函数的前(2N－1)阶导数在模拟频率=0处都为零。2.幅频特性平方函数N——称为滤波器的阶数幅频平方函数特性：3.低通滤波器的传递函数H(s)（1）|Ha(s)|2的极点分布：2N个极点在S平面上是象限对称分布在半径为c的圆上；极点间的角度间隔为/Nrad；极点决不会落在虚轴上；

保证了系统的稳定性

N为奇数则实轴上有极点，N为偶数实轴上无极点。极点分布：N=9极点分布：N＝12极点分布：N＝3、N＝6（2）稳定系统Ha(s)的表达式：注意：Sk应选S左半平面上的极点，以保证系统的稳定性；

S右半平面上的极点归到Ha(-s)中。（3）归一化N阶低通滤波器的传递函数HN(s)：BN(p)——巴特沃斯多项式，可查P.157表6.2.1得到。例题1：试自己推导出一个三阶巴特沃斯归一化低通滤波器的传递函数HN(p)。4.设计低通模拟滤波器的过程已知：在通带p处的衰减为pdB；在阻带s

处的衰减为sdB。根据技术指标确定N、c；由N查表得到HN(p)；从归一化的HN(p)得到Ha(s)例题：例2：见书上

例6.2.1例6.2.2matlab程序看一下例1：试设计一巴特沃斯低通滤波器，要求：在20rad/s的幅度衰减不大于2db；在30rad/s的幅度衰减大于10db。二、切比雪夫滤波器的设计方法

切比雪夫I型滤波器、切比雪夫II型滤波器1、幅频特性平方函数|Ha(j)|2

：式中：——通带内限定的波纹系数

CN(x)——N阶切比雪夫多项式，定义见书上当/c

＝0时当/c

＝1时，CN2(1)=1幅频特性：在通带内，|Ha(j)|2

在1和1/(1+2)之间作等波纹振荡起伏；在当/c

＝1处，|Ha(j)|2

值为1/(1+2)；在过渡带和阻带内单调下降。幅频平方特性曲线：（见下页）三阶切比雪夫滤波器幅频特性六阶切比雪夫滤波器幅频特性九阶切比雪夫滤波器幅频特性12阶切比雪夫滤波器幅频特性2、极点分布3、低通切比雪夫滤波器的设计步骤：已知的技术指标一般有三个：通带内波纹起伏dB；3dB截止频率c

；在阻带s

处的衰减为sdB。步骤：由技术指标确定、N；根据N查表得归一化的HN(p)；将p用s/c

替换，得到Ha(s)。例题：

P.165例6.2.2

三、椭圆低通滤波器四、模拟滤波器的频率变换低通低通低通高通0ps0sp四、模拟滤波器的频率变换低通低通低通高通低通带通低通带阻§3、用脉冲响应不变法设计IIR滤波器一、脉冲响应不变法原理：原理：使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)等于模拟滤波器的脉冲响应ha(t)的采样值。二、Ha(s)H(z)的变换模拟系统和数字系统函数的联系：ha(t)h(nT)h(n)Ha(s)^Ha(s)H(z)§3、用脉冲响应不变法设计IIR滤波器三、S平面Z平面的映射关系：Z=esT1、σ=0,r=1S的虚轴Z平面的单位圆(|z|=1)σ<0,r<1S左半平面Z平面的单位圆内(|z|<1)σ>0,r>1S右半平面Z平面的单位圆外(|z|>1)2、j轴上的每一段长为2/T的线段z平面单位圆上一周S平面以平行于横轴、高度为2/T的带状区域z平面S平面Z平面四、脉冲响应不变法的特点：优点：＝T保证了模拟角频率与数字角频率之间的线性关系缺点：在＝附近产生混叠失真所以，一般只适用于带限滤波器，高通、带阻滤波器不能直接进行变换所以，脉冲响应不变法适用情况：带限滤波器H(s)要能用部分分式展开成单阶极点用脉冲响应不变法得到的幅度特性图：

图6.3.4例题：

例6.3.16.3.2§4、用双线性变换法设计IIR滤波器双线性变换的含义第一次映射:将整个S平面压缩到S1平面的一条横带内（-/T,+/T

）第二次映射:将S1平面映射到Z平面双线性映射的变换式第一次映射:第二次映射:双线性变换法的公式：S平面S1平面Z平面双线性映射图例1：

例6.4.13.利用双线性变换法设计IIR数字滤波器的步骤：将数字滤波器指标变换成相应的模拟滤波器指标设计Ha(s)利用双线性变换法将Ha(s)H(z)例2用双线性变换法设计一低通数字滤波器，技术指标：(1)通带和阻带都是频率的单调下降函数，而无起伏；(2)频率在0.5处的衰减为0.31dB；(3)在0.75处的幅度衰减至少为15dB。4.双线性变换法的特点：优点：缺点：相位失真用双线性变换法得到的幅度特性图：

图6.4.6§5、数字高通、带通和带阻滤波器的设计一、利用模拟域频率变换设计数字指标模拟指标Ha(s)H(z)具体设计步骤：

确定所需类型数字滤波器的技术指标将数字技术指标转换成对应的模拟技术指标将模拟指标转换成度应的模拟低通滤波器指标设计模拟低通滤波器由模拟低通进行频率变换得到模拟滤波器利用模拟到数字的变换法得到所需的数字滤波器例题：例6.5