自动控制-07a线性离散系统的分析与校正

第七章线性离散系统的分析与校正内容提要

离散系统与连续系统的根本区别在于控制系统中有一处或几处信号是脉冲或者数码，这些信号只在离散时间上有定义。通常把信号是脉冲序列形式的离散系统称为采样控制系统，把数字序列形式的离散系统称为数字控制系统。近年来，随着脉冲技术、数字式元部件、数字电子计算机，特别是微处理机的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。数字控制器的应用使得控制系统的本质发生了很大变化，因此必须用本章将要介绍的离散控制理论来分析与研究其控制性能。离散系统与连续系统间的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈信号以及偏差信号都是连续的时间函数，而在离散系统中则不然，一般情况下，控制信号是离散的时间函数r*(t)，所以取自系统输出端的负反馈信号在和上述离散控制信号进行比较时，也需要采取离散型的时间函数b*(t)，于是比较后得到的偏差信号将是离散的时间函数，即§7－1离散系统的基本概念1、采样控制系统

附图1：采样系统结构图因此，在采样系统中，通过控制器对被控对象进行控制的直接作用信号乃是离散型的偏差信号。上述采样系统的方块图示于附图1。附图2：采样反馈信号在附图1中，采样反馈信号是由连续的时间函数b(t)通过采样开关的采样而获得的。采样开关经一定时间T重复闭合，每次闭合叫间为Γ，且有Γ<T，见附图2。

在采样系统中，采样开关重复闭合的时间间隔T称为采样周期分别称为采样频率及采样角频率。其中T代表采样周期。连续时间函数经采样开关采样后变成重复周期等于采样周期的时间序列。该时间序列在连续时间函数上打*号来表示，属于离散时间函数。图7-3：采样系统结构图在附图1中，两个采样开关的动作一般是同步的，因此，附图l所示采样系统方块图可等效地简化成图7－3。采样控制系统的应用范围非常广泛，一般采样控制系统的构成如附图4所示。附图4：采样控制系统结构图2、数字控制系统

数字控制系统也是一种离散型的控制系统，只不过是通过数字计算机闭合而已。因此，它包括工作于离散状态下的数字计算机(或专用的数字控制器)和具有连续工作状态的被控对象两大部分，其方块图如附图7－6所示。图中，有用于控制目的的数字计算机，或数字控制器，它构成控制系统的数字部分，通过这部分的信号均以离散形式出现。被控对象一般用G(s)表示是系统的不可变部分，它是构成连续部分的主要成分。图7－6：数字控制系统结构图在数字控制系统中，具有连续时间函数形式的被控信号c(t)(模拟量)受控于具有离散时间函数形式的控制信号(数字量)。既然模拟量需要反应数字量，这中间便需要有数－模转换环节。连续的被控制信号c(t)经反馈环节反馈到输入端与参考输入相比较，从而得到e(t)并经A／D得到偏差信号。离散的偏差信号经数字计算机的加工处理变换成数字信号，再经D／A转换为连续信号送到连续部分的执行元件去控制系统的被控制信号c(t)。图中采样开关的动作是同步的。(a)连续信号t(b)离散信号t(c)离散量化信号t3离散控制系统的特点

1.校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。2.采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制噪声，从而提高系统抗干扰能力。3.控制精度高。等等。

§7－2信号的采样与保持1采样过程实现采样控制首先遇到的问题，就是如何把连续信号变换为脉冲序列的问题。按一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其转换为相应的脉冲序列的过程称为采样过程。实现采样过程的装置叫采样器或采样开关。采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示，其闭合周期为T，每次闭合时间为Γ

。在实际上，由于采样持续时间Γ通常远小于采样周期T，也远小于系统连续部分的时间常数，因此，分析采样系统时，可近似认为Γ趋近于0。在这种条件下，当采样开关的输入信号为连续信号e(t)时，其输出信号e*(t)是一个脉冲序列，采样瞬时e*(t)的幅值等于相应瞬时e(t)的幅值，即e(0T)、e(T)、e(2T)……e(nT)，如附图6所示。附图6：实际采样过程采样开关相当于一个单位脉冲发生器，采样信号的调制过程如附图7所示。附图7：采样信号的调制过程例1

e(t)=eat,试写出e*(t)表达式。

物理意义：可看成是单位理想脉冲串T

(t)被输入信号e(t)进行调制的过程，如右图所示。

在图中，T(t)为载波信号；e(t)为调制信号；e*(t)为理想输出脉冲序列。2采样过程的数学描述（1）采样信号的拉氏变换（2）采样信号的频谱

经周期为的等周期采样得到离散信号

由于是周期函数，可以展开成复数形式的傅氏级数

则

从而

进行拉氏变换有

上式表明，采样函数的拉氏变换式E*(s)是以ωs为周期的周期函数。另外，上式还表示了采样函数的拉氏变换式E*(s)与连续函数拉氏变换式E(s)之间的关系。通常E*(s)的全部极点均位于S平面的左半部，因此可用jω代替上式中的复变量s，直接求得采样信号的傅氏变换：上式即为采样信号的频谱函数。它也反映了离散信号频谱和连续信号频谱之间的关系。一般说来，连续函数的频谱是孤立的，其带宽是有限的，即上限频率为有限值(见附图8（a）)。而离散函数e*(t)则具有以ωs为周期的无限多个频谱，如附图8（b）所示。在离散函数的频谱中、n=0的部分E(jω)／T称为主频谱。它对应于连续信号的频谱。除了主频谱外，E*(jω)还包含无限多个附加的高频频谱。为了准确复现采样的连续信号，必须使采样后离散信号的频谱彼此不重叠，这样就可以用一个比较理想的低通滤波器，滤掉全部附加的高频频谱分量，保留主频谱。

附图8：连续及离散信号的频谱

由附图8可见，相邻两频谱互不重迭的条件是ωs≥2ωh

如果满足条件，并把采样后的离散信号e*(t)加到如图9所示特性的理想滤波器上，则在滤波器的输出端将不失真地复现原连续信号(幅值相差l／T倍)。倘若ωs<2ωh,则会出现图8所示的相邻频谱的重叠现象，这时，即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出来，因而就难以准确复现原有的连续信号。附图9：理想滤波器频率特性采样定理(shannon定理)，由于它给出了从采样的离散信号恢复到原连续信号所必需的最低采样频率，所以在设计离散系统时是很重要的。3香农采样定理从上面的分析中，可以得到一条重要结论，即只有在ωs≥2ωh的条件下，采样后的离散信号e*(t)才有可能无失真地恢复到原来的连续信号。这里2ωh为连续信号的有限频率。这就是香农(Shannon)采样定理。由于它给出了无失真地恢复原有连续信号的条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。4采样周期的选择

采样周期的选择在很大程度上取决于系统的性能指标。

从频率域性能指标来看，控制系统的闭环频率特性通常具有低通滤波特性，所以近似有。

根据工程经验，随动系统的采样频率可选为

由于，则

从时域指标看，按下列公式选取采样周期

5信号保持信号保持是将离散信号转换成连续时间信号的转换过程。利用保持器解决各采样时刻之间的插值问题。在采样时刻，连续信号的函数值与脉冲序列的脉冲强度相等。在nT时刻，有

在时刻，有

问题：那么在任意时刻（），连续时间信号的值多大呢？

(1)数学描述实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何把采样信号恢复为连续信号。根据采样定理，在满足ωs≥2ωh的条件下，离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具有附图9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保留主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。(2)信号保持器但是，上述的理想滤波器实际上是不能实现的。因此，必须寻找在特性上接近理想滤波器，而且在物理上又是可以实现的滤波器。在采样系统中广泛采用的保持器就是这样一种实际的滤波器。保持器是一种时域的外推装置，即根据过去或现在的采样值进行外推。一零阶保持器通常把具有恒值、线性和抛物线外推规律的保持器分别称为零阶、一阶和二阶保持器。其中最简单、最常用的是零阶保持器。零阶保持器是一种按照恒值规律外推的保持器。它把前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号和输出信号的关系如附图10。附图10：输入和输出关系由图10可见，零阶保持器的输出信号是阶梯信号。它与要恢复的连续信号是有区别的，包含有高次谐波。若将阶梯信号的各中点连接起来，可以得到比连续信号退后T／2的曲线。这反映了零阶保持器的相位滞后特性。若给零阶保持器输入一个理想的单位脉冲，则其脉冲过渡函数为

对上式取拉氏变换，得零阶保持器的传递函数

零阶保持器的传递函数零阶保持器频率特性（如图11）图11零阶保持器频率特性零阶保持器具有如下特性低通特性：由于幅频特性的幅值随频率值的增大而迅速衰减，说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但与理想滤波器特性相比，在ω=ωs/2,其幅值只有初值的63.7%，且截止频率不止一个，所以零阶保持器允许主要频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过,从而造成数字控制系统的输出中存在纹波。相角特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，且随的增大而加大，在ω=ωs/2时，相角迟后可达－180o，从而使闭环系统的稳定性变差。时间滞后：零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t)其平均响应为e[t－(T/2)],表明输出比输入在时间上要迟后T/2，相当于给系统增加一个延迟时间为T/2的延迟环节，对系统稳定不利。二一阶保持器一阶保持器是种按线性规律外推的保持器，其外推关系为由于未引进高阶差分，一阶保持器的输出信号与原连续信号之间仍有差别。一阶保持器的单位脉冲响应可以分解为阶跃函数和斜坡函数之和。一阶保持器的单位脉冲函数的拉氏变换式可用下式表示，一阶保持器的频率特性绘于图8-12。图中的虚线表示零阶保持器的频率特性。图8-12：一阶保持器的频率特性§7－3Z变换理论通过前面对线性连续系统的讨论我们知道，线性连续系统用线性微分方程来描述，可以应用拉氏变换的方法来分析其动态及稳态过程。线性采样系统中包含离散信号，用差分方程来描述，同样可以应用一种z变换的方法来进行分析。z变换是由拉氏变换引申出来的一种变形。1Z变换定义

设连续时间函数e(t)可进行拉氏变换，其拉氏变换为E(s)。连续时间函数e(t)经采样周期为T的采样开关后，变成离散信号e*(t)离散信号的拉氏变换为上式中各项均含有eTs因子，为便于计算定义一个新变量z=esT，其中T为采样周期，z是复数平面上定义的一个复变量。通常称为z变换算子。得到以z为自变量的函数E(z)是相互补充的两种变换形式，前者表示s平面上的函数关系，后者表示z平面上的函数关系。若所示级数收敛，则称E(z)是e*(t)的z变换。记为

Z[e*(t)]=E(z)应该指出，式所表示的z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。人们习惯上称E(z)是e(t)的z变换,指的是经过采样后e*(t)的z变换。采样函数e*(t)所对应的z变换是唯一的，反之亦然。但是，一个离散函数e*(t)所对应的连续函数却不是唯一的，而是有无穷多个。从这个意义上来说，连续时间函数e

(t)与相应的离散时间函数e*(t)具有相同的z变换，即2Z变换方法求离散函数的方法有很多，本书介绍其中两种。1)级数求和法由离散函数及其拉氏变换，根据z变换的定义有：其为离散函数z变换的一种表达形式。只要已知连续函数在采样时刻nT(n=0,1,2,3,4,…..)的采样值便