《 离散型随机变量的均值》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

第六章概率离散型随机变量的均值已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中不合格品的件数，求X的分布列．根据分布列的求法，可以求得X的分布列如下表：课程导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业k012P(X=k)在问题1的条件下，从这10件产品中任取3件，平均会取到几件不合格品？可否根据分布列得到一个数，这个数能“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？由于随机变量X可能的取值为0，1，2．可否将三者的算术平均“1”“代表”这个随机变量的平均水平呢？为什么？设有12个西瓜，其中有4个质量是5kg，3个质量是6kg，5个质量是7kg，求这12个西瓜的平均质量．类比问题3的方法，可以给出问题2的解决方法．课程导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业西瓜的平均质量应为12个西瓜的总重量除以西瓜的总个数，即

(kg)，也即(kg)．

算术平均？加权平均用随机变量X的三个取值0，1，2的加权平均来代表随机变量X的平均取值，其中0，1，2的权重分别是X取这个值时的概率，即在一次抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品．新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业1.用上述方法求得随机变量X的平均取值是否合理？1.这种取平均值的方法，考虑到了不同变量在总体中的比例份额，变量所占份额越大，对整组数据的平均数影响越大．2.这个平均值的意义在于告诉我们抽出的不合格品最有可能出现的一个值，作用在于对结果的估计，得到的结果可能是与它接近的一个整数．2.抽出的不合格品的平均值是否可以是小数？新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业

能否将上述求离散型随机变量平均值的方法推广到一般情形？设离散型随机变量X的分布列如下表：

则称为随机变量X的均值或者数学期望（简称期望）．XP均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征．均值EX是随机变量X取各个值的加权平均，由X的分布列完全确定．新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业

随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？1.随机变量的均值是一个常数，而样本均值是一个随机变量，样本均值随样本的变化而变化．2.在随机变量均值未知的情况下，通常用随机变量的观测值的平均值估计随机变量的均值．新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业设随机变量X服从参数为p的两点分布，求EX．解：由均值定义，得EX=0•P（X=0）+1•P（X=1）=0•（1-p）+1•p=p．所以，服从参数为p的两点分布的均值EX=p．新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业设X表示抛掷一枚均匀殷子掷出的点数，求EX．解：依题意知X的分布列为如下表：根据均值的定义，可知

．

i123456P(X=i)新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则取出的红球个数的均值是多少？解：设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2．

．

因此，X的分布列如下表：根据均值的定义，可知

．

Ｘ012Ｐ

新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下三种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元．方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．工地的领导该如何决策呢?分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：采用期望总损失最小的方案新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业

为什么可以通过比较均值作出决策？离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，进而做出决策．新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业已知离散型随机变量X的分布列如下：则数学期望E(X)=()D故选D．X123PA．B.

C.1

D.2解：由题意可知：

，新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业

解：B因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好．故选B．123P0.40.10.5123P0.10.60.3新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史､思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为______．解：记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能值为0，1，2，4，，，，

．

则．1新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解：（1）由题可知，X的所有可能取值为0，20，100．P(X=0)=1-0.8=0.2;P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32;P(X=100)=0.8×0.6=0.48．所以X的分布列为Ｘ020100P0.20.320.48新课导入新知探究应用举例课堂练习课堂小结布置作业解(2)由题可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100．P(Y=0)=1-0.6=0.4；P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；P(Y=100)=0.8×0.6=0.48．所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=54.4．因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．

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