基本数学思想的教材架构与教学思考

基本数学思想:教材架构与教学思考电/p>

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聂艳军

邳州市教育局教研室

课程理念：“课程内容不仅包括数学结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”

课程目标：“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”基本数学思想:教材架构与教学思考

关于什么是基本数学思想，义务教育数学课程标准修订组组长史宁中先生认为，“数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想，二是学习过数学的人所具有的思维特征。可以归纳为3种基本思想：抽象、推理和模型。”一、基本数学思想的教材架构由数学抽象思想可以派生出：分类、集合、符号、对应等思想。由数学推理思想可以派生出：归纳、演绎、数形结合、转化、类比等思想。由数学模型思想可以派生出：函数、方程、随机、统计等思想。

由“基本思想”可以演变、派生、发展出来的数学思想还有很多：（顾沛，《小学数学教学也要注重渗透数学思想》，《小学教学》，2012.7-8）：整个数学学科就是建立在基本数学思想的基础上，并按照基本数学思想发展起来的。

（一）以数学抽象为主线引入数学研究的对象数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学研究的对象是一种抽象的存在。教材在编写时，注重精心选择素材，创设情境，把客观世界中与数量和图形有关的事物或现象抽象成数学研究的对象。

1.数量与数量关系的抽象。

实物→数珠数珠→数字符号○把数量抽象为数

10以内的自然数是建立在对于真实事物的直接抽象之上的。把数量多少关系抽象成数大小关系

抽象出数的大小演变为一般的序关系

比较同类事物数量的多少认识比10大的自然数，借助从较小数的概念中抽象出数概念“序”的特性，按照“实物（小棒、小方块等）表示数——计数器（或算盘）表示数——写数”的线索，经历数的抽象过程。具体事物个性化地表示学会数学地表示○把数抽象成字母

几何学主要是研究几何体和几何图形的空间形式、位置关系和量的关系。把现实生活中与图形有关的事物抽象成平面图形，为几何学打开研究的大门。

教材从学生熟悉的现实空间的物体出发,引导学生在观察、操作、比较等活动中逐步舍弃其他属性，对其形状、大小、位置等几何形态进行抽象和概括，进而获得相应的表象，建立几何图形概念。2.图形与图形关系的抽象。

教学“认识方向”，教材通过创设现实情境，让学生在熟悉的环境中体验东、南、西、北、东南、东北、西南、西北，进而抽象成平面图，为进一步研究图形位置关系提供方法基础。教学“确定位置”，教材提供教室座位图，先让学生利用已有的经验描述小军的位置，再把日常生活中用行和列描述物体位置的经验抽象成有序的数对，过度到用数对表示平面上点的位置，为研究平面直角坐标系做好准备。在“数的运算”中，通过练习引导学生对式题进行分类，整体把握笔算方法；分类的思想是“由抽象的思想派生出的”，分类为数学抽象活动提供必要的基础。在“解决问题策略”中，引导学生经历分类列举的过程，感悟策略的价值；在“图形的认识”中，引导学生通过对图形进行分类，引入图形概念；在“数据的收集和整理”中，引导学生按不同的标准对数据进行分类，体会分类标准与分类结果之间的联系。

推理有两种形式，通过特例的分析引出普遍的结论叫归纳推理（包括类比推理），从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论叫演绎推理。在解决问题的过程中，归纳推理用于推断结论；演绎推理用于证明结论。

推理是从一个或几个已知判断得出新判断。人们通过推理得到数学命题和算法，建构数学理论体系大厦。

（二）以数学推理为主线建构数学内容体系

教材在编写时，注重处理好归纳推理与演绎推理的关系，坚持以推理思想为统领，形成数学概念、建立数学知识体系、思考和解决数学问题，让学生从中受到数学思想的熏陶。1.用归纳思想架构内容结构。2.通过归纳发现数学知识。

○运算规律的发现○数的性质的揭示○运算法则的概括○数学结论的探索3.通过归纳推理探索数学规律。4.通过演绎推导数学结论。在小学阶段，尽管很少涉及数学证明这样严格规范的演绎推理，但一些数学结论的推导过程同样蕴涵了演绎思想。

5.通过演绎应用数学知识。（三）以数学建模为主线搭起数学与外部世界的桥梁

数学模型是沟通数学与现实世界的桥梁。从广义上讲，一切数学概念、公式、数量关系、图形、表格，以及由它们所构成的算法系统，都可以称为数学模型。狭义上，数学模型专指针对一个个比较复杂的具体情境所建立的，旨在解决具体问题的、特定的模型。结合运算意义感知实际问题里各个数量之间的关系。1.实际问题中数量关系的抽象表达。

结合教学内容在练习中提炼实际问题的具体数量关系式。从大量的同类实际问题中概括出基本数学模型。总价=单价×数量路程=速度×时间总数=每份×份数列表分析建模2.用字母表示数量关系。

问题情境3.列方程解决实际问题。

寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系转换成符号表达式二、基本数学思想的教学思考1.数学思想教学的基本方式和目标要求是“感悟”。

“学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。”（课程标准“教学建议”第4条）师：请同学们认真观察这两幅图，说一说从图上你看到了什么？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，剩下3个。师：你真棒!谁再来说一说。生：原来有5个小朋友在浇花，走了2个小朋友，还剩下3个小朋友。师：很好！你知道怎样列式吗？生：5-2=3。教师听了满意地点点头，板书5-2=3。接着教学减号及其读法。认识减法教学片断：师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？生（齐）：3个。师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？（教师指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图下面。）师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）生齐读：5减2等于3。师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？……师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。……师：完全不一样的事情，为什么都能用“5－2”表示？

“列方程解决实际问题”教学设计:谈话：西安是我国的一座历史文化名城，那里名胜古迹众多。课件出示例题，指名读题。第一环节：问题呈现，理解题意提问：例题告诉我们什么条件？要我们解决什么问题？提问：大雁塔和小雁塔的高度之间有什么关系？提问：如果要用一幅线段图来表示大雁塔和小雁塔高度的关系，可以怎样画？追问：你能接着画下去吗？学生在教师提供的练习纸上接着画。问：根据这句话，或者这幅图，你能找出大雁塔与小雁塔高度之间的相等关系吗？同桌互说。指名口答。结合关键句、线段图体会下面的关系式是正确的。

小雁塔的高度×2－22米=大雁塔的高度小×2=大＋22小×2－大=22第二环节：寻找数量间的相等关系讲解：根据这个等量关系式，对照已知的条件和问题，我们发现，小雁塔的高度是未知的，大雁塔的高度是已知的。这样的题适合用方程解决。第三环节：确定解题思路，列方程指名说出“设”句，教师板书。指板书，说明：我们先根据最先找到的等量关系列方程。指名列方程，教师板书。追问方程中每一步的含义。确认方程是正确的。

第二环节，引导学生找到了三种关系式来表达这种相等关系，目的不是为训练学生一题多解，而是为了促进学生更深刻地体会“相等的数量关系”的特征，即等号左右两边所描述的事情是等价的。第一个环节，教学安排了三项学习活动：读题、找出题中体现数量关系的“关键句”、探索线段图的画法。其中，读题、找“关键句”都不难，但是，读了题目、找到“关键句”后，并不意味能从中得出数量间的相等关系。所以，这一环节中，“画线段图”花的时间最长，学生充分参与了“线段图”的形成过程。第三环节，引导学生讨论方程中每一步的含义，确认方程是正确的，意在进一步突出方程的本质特征：方程主要是说明两件事情等价。教学分析：数学思想教学不可能脱离数学知识的学习而单独存在，而应通过数学概念的形成和建立过程、数学规律的归纳和总结过程、数学问题的分析和解决过程来体现。比如，“问题情境——建立模型——求解验证”的过程是感悟模型思想的关键，“猜想——验证”的探索过程对感悟推理思想尤为重要。学生只有亲身经历运用数学思维方法的思考过程，才能获得相应思想的深刻体验。

2.数学思想“显化”在数学思考的过程之中。

过去教学“间隔排列”，根据问题所包含的各种情况采用分类教学，总结出不同的规律，学生常常在“加1”“减1”“不变”之间不知所措。“间隔排列”的本质特征是一一对应。教学中，如果紧紧抓住教学内容的本质，以数学思维方法统领全课学习，各种不同情况就会由对立走向统一，学生不仅学得轻松，而且“对应思想”透过数学方法的思考得以“显化”。“间隔排列”教学设计:3.数学思想教学要兼收并蓄，更要突出主干。

不同的数学思想，互相间并不排斥，而是彼此包容共生的。比如，归纳和演绎，虽然思维路径互逆，但两者通常是相互补充、有机融合在一起，即归纳中有演绎，演绎中有归纳。教学中常见的是以一种思想的渗透为主线，同时融合其他的数学思想。“小数乘整数”教学设计：○探索0.1、0.01、0.001与整数相乘提问：涂色部分用小数表示是多少?你是怎么想的?这样的4份呢?8份呢?0.1×4=0.40.1×8=0.8提问：涂色部分用小数表示是多少?你是怎么想的?这样的5份呢?35份呢?0.01×5=0.050.01×35=0.35提问：1个小方块用小数表示是多少?为什么?9个呢？125个呢？0.001×9=0.0090.001×125=0.125观察：0.1、0.01、0.001与整数相乘，计算结果分别是几位小数？和谁有关系呢?0.001×9=0.0090.001×125=0.1250.01×5=0.050.01×35=0.350.1×4=0.40.1×8=0.8归纳：因数中有几位小数，积就有几位小数。○探索一般的小数与整数相乘夏天买3千克西瓜要多少元？0.8×3=8×0.1×3=8×3×0.1=24×0.1=2.4冬天买3千克西瓜要多少元？2.35×3=235×0.01×3=235×3×0.01=705×0.01=7.05比较：这两题的计算中，有什么相同的地方？（先用整数乘3，再乘0.1或0.01）归纳：积的小数位数有什么规律?（因数中有几位小数，积就有几位小数）2.35×3=235×0.01×3=235×3×