抛物线定义及标准方程知识分享

抛物线及标准(biāozhǔn)方程（一）第一页，共25页。第二页，共25页。抛物线是怎样(zěnyàng)形成的呢？第三页，共25页。平面内与一个定点F和一条(yītiáo)定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹是什么？思考(sīkǎo)：请看动画演示(yǎnshì)第四页，共25页。第五页，共25页。1．抛物线的定义(dìngyì)平面内与一个定点F和一条(yītiáo)定直线L（F不在L上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做(jiàozuò)抛物线的焦点；定直线L叫做抛物线的准线．第六页，共25页。二、标准(biāozhǔn)方程··FMlN如何(rúhé)建立直角坐标系？第七页，共25页。二、标准(biāozhǔn)方程xyo··FMlNK设︱KF︱=p则F（，0），l：x=-

p2p2设动点M的坐标(zuòbiāo)为（x，y），由定义(dìngyì)可知，化简得y2=2px（p＞0）如图，建立直角坐标系第八页，共25页。方程y2=2px（p＞0）叫做(jiàozuò)抛物线的标准方程其中p为正常数，它的几何(jǐhé)意义是:

焦点到准线的距离第九页，共25页。则F（，0），l：x=-

p2p2一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同(bùtónɡ)，方程也不同(bùtónɡ)，所以抛物线的标准方程还有其它形式.y2=2px（p＞0）表示(biǎoshì)抛物线的焦点在X轴的正半轴上 第十页，共25页。图形标准方程焦点坐标准线方程3．四种抛物线的标准方程(fāngchéng)对比第十一页，共25页。怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点(tèdiǎn)（标准方程）统一起来？第十二页，共25页。抛物线的标准(biāozhǔn)方程顶点在原点对称轴为x轴对称轴为y轴标准方程为y2=2px(p>0)标准方程为x2=2py(p>0)开口与x轴正向同向:y2=2px开口与x轴正向反向:y2=-2px开口与y轴正向同向:x2=2py开口与y轴正向反向:x2=-2py++已知抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位(dìngwèi)”；后“定量”。第十三页，共25页。如何确定(quèdìng)抛物线对称轴及开口方向一次项变量对称轴，开口方向(fāngxiàng)看正负第十四页，共25页。例1求下列(xiàliè)抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y2=6x（2）2x2+5y=0(3)x=ay2(a≠0)解：（1）因为(yīnwèi)2p=6，p=3，（2）抛物线方程是2x2+5y=0,即x2=-y,2p=则焦点坐标是F（0，-）,准线方程是y=(3)抛物线方程化为：y2=x则抛物线x=ay2的焦点坐标为(,0)准线方程为x=-准线方程是x=-所以焦点坐标是（，0），第十五页，共25页。再次(zàicì)强调解题技巧：已知抛物线的标准(biāozhǔn)方程求焦点坐标和准线方程时，应先“定位”；后“定量”。第十六页，共25页。例2根据下列(xiàliè)条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F（0，-2）

(2)焦点在直线3x-4y-12=0上

(3)抛物线过点A（-3，2）。(1)因为焦点(jiāodiǎn)在y轴的负半轴上，并且p/2=2，p=4，

所以抛物线的方程是x2=-8y解：(2)由题意(tíyì)，焦点应是直线3x-4y-12=0与x轴或y轴的交点，

即A（4，0）或B（0，-3）当焦点为A点时，抛物线的方程是y2=16x当焦点为B点时，抛物线的方程是x2=-12y当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，

把A（-3，2）代入x2=2py，当焦点在x轴的负半轴上时，

把A（-3，2）代入y2=-2px，得p=949243∴抛物线的标准方程为x2=y或y2=-xoxyA(3)23得p=第十七页，共25页。变式训练(xùnliàn)1.根据下列(xiàliè)条件写出抛物线的标准方程(1)焦点是F（3，0）；(2)准线方程是x=1/4；(3)焦点到准线的距离是2；(4)焦点在直线3x-4y-12=0上.2.求下列(xiàliè)抛物线的焦点坐标与准线方程(1)y2=28x;(2)4x2=3y;(3)2y2+5x=0;(4)y=4ax2y2=12xy2=-xy2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4yy2=16x或x2=-12y焦点(jiāodiǎn)（7，0），准线x=-7焦点(0,1/16a),准线y=-1/16a;焦点（0，3/16），准线y=-3/16焦点（-5/8，0），准线x=5/8第十八页，共25页。例4:在抛物线y2=4x上求点M，使它到定点P（2，2）和焦点(jiāodiǎn)F的距离之和为最小。第十九页，共25页。例3:点P与点F（2，0）的距离(jùlí)比它到直线x+4=0的距离(jùlí)小2，求点P的轨迹方程。第二十页，共25页。例5、M是抛物线y2=2px（P＞0）上一点(yīdiǎn)，若点M的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是

————————————X0+—2pOyx．FM．第二十一页，共25页。例6过抛物线y2=4x的焦点，斜率(xiélǜ)为2的直线L与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。第二十二页，共25页。求过定点(dìnɡdiǎn)M（0，1）且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程。例7；第二十三页，共25页。例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线(zhíxiàn)m，交这抛物线于A,B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析(fēnxī)：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．第二十四页，共25页。证明(zhèngmíng)：如图．所以(suǒyǐ)EH是以AB为直径的圆E的半径，且E