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文档简介

§1.5分块矩阵一、分块矩阵的运算例设计算AB。记则而因为由此得

定义设A是m×n矩阵，在A的行之间加入条横线，在A的列之间加入条竖线

，则A被分成s×t

个小矩阵，依次记为

此时，A可写为把A视为以为元素的形式上的s×t矩阵，称之为分块矩阵，也称为对A的分块，每个小矩阵称为A的子块。常见分块：(1)

根据元素的排列特性；

(2)

按行（列）；(3)

两个极端。例

(1)

(2)

(3)

问题：如何分块，使（1）分块矩阵之间的形式运算有意义（2）块之间的矩阵运算有意义

要求：分块运算需如下进行的p个解。

例已知m×n矩阵A，则对n×p矩阵B，等式AB=0成立的充分必要条件为：B的p个列恰是齐次线性方程组AX=0

（1）加法：A+B

（A与B分块方法相同）

（2）数乘：kA

（A的分法任意）

（3）乘法：AB

（A的列与B的行分法相同）

（4）转置：

AT

（A的分法任意）证明对按列分块，则即是齐次线性方程组AX=0的解。

例设A是n阶方阵。若存在n阶非零方阵B，使

AB=O则A是降秩矩阵。▌

证明由上例的结论知，B的每个列均是齐次线性方程组AX=0的解。因B≠0，故B至少有一列的元素不全为零，该列即是上述齐次方程组的非零解。于是，由前面的定理可得，A不可逆。所以，秩(A)<n。

例已知分块矩阵可逆，其中A、D是可逆的子块，求。▌

证明已知T可逆，故存在。根据T，对分块其中是分别与A、D同型的子块。因为其中是分别与A、D同型的单位子块，所以由此解出于是

▌二、分块矩阵的初等变换定义对分块矩阵的下述三种变换称为分块初等行（列）变换：

（1）用可逆矩阵P左（右）乘A的某一行（列）全部子块

（2）A的某一行（列）全部子块的左（右）侧乘上矩阵P加到另一行（列）上（3）互换A的两行（列）这里，矩阵P应使矩阵运算可以进行。

定义称下述分块矩阵为分块单位矩阵，其中都是单位矩阵。

定义对分块单位矩阵做一次分块初等变换，所得分块矩阵称为分块初等矩阵。性质分块初等矩阵是满秩矩阵。

定理对一个分块矩阵A做一次分块初等行（列）变换等同于在A的左（右）侧乘上一个对应的分块初等矩阵。

推论1

若分块矩阵A经过有限次分块初等变换化为分块矩阵B，则A相抵于B。推论2

分块初等变换不改变矩阵的秩。例设分块矩阵中B、D均为可逆矩阵，证明：A可逆，并求。证明

由此得令

则PA=I，故A可逆，并且

▌

定理（1）A与B是同型矩阵，则秩(A+B)秩(A)+秩(B)；（2）设A是s×n矩阵，B是n×t矩阵，则秩(AB)秩

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