第4次课 定积分及其应用;实验报告(2课时)

第4次课定积分及其应用实验目的1、掌握用软件求一元函数积分的方法2、从几何图形上直观理解定积分的定义3、学习用软件解决定积分应用问题1命令功能描述备注int(f)求f关于默认变量的不定积分f为符号表达式或字符串表达式（下同）int(f,t)求f关于变量t的不定积分int(f,a,b)求f关于默认变量由a到b的定积分a,b为数值常数int(f,t,a,b)求f关于变量t由a到b的定积分a,b为数值常数int(f,x,'m','n')求f关于默认变量由m到n的定积分m,n为符号常量注：软件运行的不定积分的结果中省略了加任意常数C。

1、符号积分表6-1int函数表2命令：symsxa;f='a*x*sin(x)';f1=int(f)f2=int(f,a)f3=int(f,0,2*pi)运行结果：

f1=

a*(sin(x)-x*cos(x))

f2=

1/2*a^2*x*sin(x)

f3=

-2*a*pi3(1)命令：symx;f='exp(-x^2)';I=int(f,-inf,inf)运行结果：I=pi^(1/2)(2)命令：symsx;I=int(1/(x*sqrt(1-(log(x))^2)),x,1,'exp(1)')运行结果：I=1/2*pi4命令：f='1/(1+x^2)';I1=int(f,-inf,inf)f='exp(-x)*x^(-1/2)';I2=int(f,0,inf)运行结果：I1=piI2=pi^(1/2)5命令：symsxt;f=cos(pi*t^2);yx=diff(int(f,sin(x),cos(x)))运行结果：yx=-cos(pi*sin(x)^2)*cos(x)-cos(pi*cos(x)^2)*sin(x)6运行结果：ans=1命令：sumsxt;f=cos(t^2);limit(int(f,0,x)/x)72、交互式近似积分（积分在定义上的几何意义）交互式近似黎曼求和函数rsums可以给我们很形象的演示积分定义的几何意义：无限分割再逼近。表6-2rsums函数表命令功能说明rsums('f')计算f在区间[0,1]上的近似积分该命令展示积分定义上的几何意义注：rsums命令将[0,1]区间分割成10个等分子区间，界面上方为被积函数与小矩形面积的累加和，向右拉动界面下方的滑动键，分割越细，小矩形越多，而矩形面积和就越接近曲边梯形的面积，即累加和越接近于积分准确值。8命令：symsabxt;f=exp(-t^2);s=eval(int(f,-1,1))a=-1;b=1;t=a+(b-a)*x;rsums(subs(f,t)*(b-a))运行结果：s=1.49369三、定积分的应用命令：symsxy;[xc,yc]=solve('y=x^2/8','y=64/(x^2+16)')运行结果：xc=4-44*i*2^(1/2)-4*i*2^(1/2)yc=22-4-4y1=x^2/8;y2=64/(x^2+16);ezplot(x,y1,[-4,4])holdonezplot(x,y2,[-4,4])holdoff运行结果：s=19.7994结论：抛物线和箕舌线所围图形的面积为19.7994。s=eval(int(abs(y1-y2),x,-4,4))所以交点为：(-4,2)，(4,2)10命令：a=1;%取a=1作图t=0:pi/20:2*pi;r=a.*(1-cos(t));polar(t,r)运行结果：s=3/2*a^2*pisymsat;r=a*(1-cos(t));s=int(r^2,t,0,2*pi)/211

解：作图并观察几何形的特征，选用公式x=x2(y)x=x1(y)02axy2a命令：symsat;x=a*(t-sin(t));y=a*(1-cos(t));vx=int(pi*y^2*diff(x,t),t,0,2*pi)vy=(int(x^2*diff(y),2*pi,pi)-int(x^2*diff(y),0,pi))*pi运行结果：vx=5*pi^2*a^3vy=6*pi^3*a^312命令：a=1;%取a=1作图t=0:pi/20:2*pi;r=a.*(1+cos(t));polar(t,r)symsat;r=a*(1+cos(t));s=2*int(sqrt(r^2+diff(r,t)^2),t,0,pi)运行结果：s=8*csgn(a)*a结论：所求的心形线的全长为8a。13下列实验试题中任选一个，按要求写出实验报告。要求：[问题描述]（即题目）[模型]（即建立数学模型）；[求解方法]（即给出命令）；[结果]（即运行结果）；[结果分析及结论]（即回答问题）。下列三题中任选二个：[实验试题1]在一个带+q

电荷所产生