Ch11.1-3(机械振动)课件

第三篇振动与波动学基础（VibrationandWaveMotion）振动和波在力学、声学、电学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。人类生活在振动的世界里。振动是波动的基础，波动是振动的传播。自然界的振动蜜蜂心跳本篇主要学习振动是波动的基础知识，也是波动光学等相关领域的基础。振动——某物理量在一定值附近往复变化的过程称为振动。如交流电压、电流、钟摆的摆动等。周期性振动——在T时间内运动状态能完全重复。特点：有平衡点，且具有重复性。机械振动——物体在某一位置附近来回往复的运动称为机械振动。★特征——弹性力与惯性交互作用第十一章机械振动（MechanicalVibration/Oscillation）图片伽利略观察按系统参数特征分：线性、非线性振动。

机械振动分类按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。按振动位移分：角振动、线振动。其中简谐振动是最基本的振动，存在于许多物理现象中。任何复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。按周期分：周期振动、非周期振动。谐振动Dynamicsofsimpleharmonicmotion§11-1简谐振动（Simpleharmonicmotion）

一、简谐振动的动力学特征研究：（1）在怎样的力的作用下物体作简谐振动（2）由力（力矩）求简谐振动的动力学规律1.受力情况：

物体在与位移成正比，方向与位移相反的回复力作用下围绕平衡位置的往复运动叫简谐振动。（2）平衡位置是物体静止时受合力为零的点。（equilibriumposition）ZD_0说明：（1）位移是相对平衡位置的；谐振动谐振动的动力学方程。2.动力学方程

弹簧振子Spring/HarmonicOscillator在水平方向上：由牛顿第二定律，有：令：则有：3.简谐振动的动力学定义若物理量x，满足且ω由系统性质决定，则称物理量x的运动为简谐振动（较为广泛，不仅适用于机械振动）步骤：1).确定研究对象，分析受力。2).找出平衡位置，写出回复力（或回复力矩）的表达式。3).写出动力学方程（利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。Kinematicsofsimpleharmonicmotion二、简谐振动的运动学特征1.运动学方程由：可解得：或：一般写成：我们采用余弦形式可见简谐振动是围绕平衡位置的周期运动2.描述简谐振动的物理量（A，ω，)振幅A（Amplitude）：离开平衡位置的最大距离（幅度、范围）。能量E∝A2简谐振动的运动学定义(2)角频率ω（Angularfrequency）：振动的快慢周期T：Period频率ν：(3)相位（Phase）：描述运动状态的量为初相位，InitialPhase3.简谐振动的速度和加速度由：可求得速度和加速度。对弹簧谐振子：初相不同的谐振动可得：以上结果表明：(1)v，a都是谐振动,并且与x的ω相同(2)(3)a与x方向相反，且成正比为方便起见，把v、a的表达式写成：ZD_2由：Otx,v,ax(t)v(t)a(t)(4)相位依次差π/24.由初始条件确定振幅和初相位初始条件：写为：ZD_2Otx,v,ax(t)v(t)a(t)得：即：

尚需满足（1），（2）所决定的状态。小结：（1）简谐振动为周期振动（2）状态由三要素A，ω，决定（3）ω由振动系统本身性质决定

A，由振动系统和初始条件共同确定简谐振动的判据（动力学方程——振动方程）(1)（运动方程）(2)（胡克定律）(3)★

简谐振动定义——凡满足下面方程(1)、(2)、(3)之一者即称为简谐振动（理想无阻尼自由振动）。记笔记三、坐标原点的选取对于振动方程的影响(以竖直弹簧振子为例)O'自由端，O

平衡位置以O'

为坐标原点：在建立谐振子的振动方程时，选平衡位置为坐标原点最合适。以O

为坐标原点：[例题1]单摆SimplePendulum解：单摆受力如图所示对悬挂点的力矩：由：若θ很小，则有：即得：若令：但由于摆角很小的单摆振动为谐振动单摆[例题2]复摆：一长为l的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上，如图所示，作成一复摆。此摆作微小摆动的周期为？解：杆受力如图所示，则θ很小，则：即：故：[例题3]半径为R的圆环静止于刀口O点上，令其在自身平面内作微小摆动。证明其摆动为谐振动，并计算其振动周期。证明：设圆环偏离角度为θ，则因此所作振动为谐振振动而实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。

ZD_1晶格点阵Rotatingvectormethod§11-2谐振动的旋转矢量表示法加速度与速度

在平面内作一参考轴OX，由原点O作一矢量（A为谐振动的振幅），使其以匀角速度绕O点逆时针转动。设在时，与OX轴的夹角为(为初相位)，则时刻A矢量在X轴上的投影的运动为简谐振动：旋转矢量方向如图t时刻在x轴上的投影：简谐振动的三个特征量都通过旋转矢量法表示出来，用旋转矢量法处理问题更直观、更方便，必须掌握。辅助圆[例题1]一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位移x0=0.06m，此时向x轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。(2)t=T/4时，质点的位置、速度、加速度。(3)从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时间。解：(1)取平衡位置为坐标原点设其中A亦为已知，只需求由t=0s时，x0=0.06m，可得：在－π到π之间取值：取哪一个值要看初始条件，由于：所以：由于t=0时，质点向正x方向运动，所以v0>0因此，应取于是，此简谐振动的表达式：

利用旋转矢量法求解是很直观的，根据初始条件就可画出如图所示的振幅矢量的初始位置，从而得到：(2)将t=T/4=0.5s代入上两式，以及位移表达式，可求得：此时旋转矢量位置如图：(3)通过平衡位置时，x=0，由位置表达式，可得：由此可得：第一次通过，取k=1，又由于ω=π/s，所以：

由振幅矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，振幅矢量转过的角度为：故：[例题2]以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，试写出其运动方程。解：设该简谐振动的运动方程为根据已知条件求出各量代入上式即可。由图可知，A=2cm，当t=0时因为：v0<0，画出矢量图：

又知t=1s时，位移达到正的最大值，即：故：因而有：简谐振动的势能：

§11-3简谐振动的能量以水平的弹簧振子为例ZD_0简谐振动的动能：简谐振动的总能量：即总能量不随时间变化。弹性力是保守力总机械能守恒。ZD_3说明：Ek

与Ep

振幅相同，ω相同，相位相反。E∝A2

适用于一切振动的共同形式，A

反映了振动强弱。Ek

与Ep

相互转化，系统不与外界交换能量，这样的系统叫无阻尼自由振动系统。势能的时间平均值：动能的时间平均值：

这些结论适用于任何简谐振动。*振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。*

任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比。*

即弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半。

结论：谐振动能量守恒振动方程求导振动方程[例题4]一轻弹簧与m=0.1kg的物体构成谐振子。A=0.01m，amax=4.0m/S2。求：(1)T；(2)总能量E

(3)何处Ek=EP。

解：

(1)

小结一、简谐振动的三个判据1.回复力：