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文档简介

主要内容几何形体上积分的概念二重积分的计算法三重积分的计算法对弧长的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲线积分对坐标的曲面积分各种积分的相互关系

多元函数积分学

1第一节几何形体上积分的概念2平面的有界闭区域;空间的有界闭区域;平面和空间的有限光滑(或分段光滑)曲线段;空间有限光滑(或分片光滑)曲面片.几何形体:假定都是可以度量的,也就是可以求出面积、体积或弧长的,它们称为几何形体的度量.几何形体上任何两点间距离的最大值为这个几何形体的直径.定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作5几何形体上积分的定义设f(p)是几何形体G上的有界函数.将G任意分成n个部分，记为Δgi(i=1,2,…,n，Δgi也代表该部分的几何度量).在每个部分上任取一点pi，作和式,如果当各个部分的直径的最大值λ→0时，和式的极限存在，则称这个极限为函数f(p)在几何形体G上的积分，记为6当G为不同的几何形体时，对应的积分都给出固定的名称和符号：当G为平面有界闭区域（常记为D）时，称为二重积分，记为当G为空间有界闭区域（常记为Ω）时，称为三重积分，记为7当G为平面有限曲线段（常记为L）或空间有限曲线段（常记为Γ）时，称为对弧长的曲线积分，记为当G为空间有限曲面片（常记为Σ）时，称为对面积的曲面积分，记为几何形体上积分的存在定理:若函数定理.积分在几何形体G上连续,则必定存在.几何形体上积分的性质（以二重积分为例）(k为常数)特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有为D的面积,则一般地有（如面积，体积，弧长等）7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上例2.估计下列积分之值解:

D的面积为由于积分性质即:1.96I2D几何形体上积分的物理意义如果一个非均匀物体，其形状如上述几何形体G，其密度为G上的函数ρ(p)，则在G上的元素dg上，其质量应是ρ(p)dg，于是该物体的总质量

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