同济大学钢结构教程4

第四章轴心受力构件主要内容1、轴心受拉构件的强度和刚度2、轴心受压构件的强度3、轴心受压实腹式构件的整体稳定4、轴心受压格构式构件的整体稳定5、轴心受压实腹式构件的局部稳定6、轴心受压格构式构件的局部稳定7、轴心受力构件的刚度学习目标掌握轴心受拉构件强度的计算方法、净截面的概念；掌握轴心受压构件整体失稳的形态，实腹式构件整体稳定问题的基本原理、稳定工程计算方法的特点；掌握轴心受压格构式构件绕虚轴的整体稳定原理和计算方法；掌握轴心受压实腹式构件的局部失稳临界力准则和宽（高）厚比概念以及局部稳定计算方法；掌握轴心受压格构式构件局部稳定的计算方法。一、轴心受拉构件1、截面形式一、轴心受拉构件2.轴心受拉构件强度计算条件：①为净截面，无尖锐开孔。②材料需要有较好的延性。③构造变坡应缓和。④连接时截面的各部分应均匀传力。3.连接处有一定程度偏心的“二力杆”受拉强度计算连接计算亦如此。4.轴心拉杆的刚度①一般情况下，杆件长细比②有预应力的拉杆不受限制。5.轴心受拉构件的运用类型①屋架内双角钢受拉腹杆②预应力柔性斜拉杆③板状拉杆截面削弱处应力分布截面材料分布二、轴心受压构件1.轴心受压构件的可能破坏形式轴心受压构件可能发生的破坏形式有三种：截面强度破坏（仅发生在有截面削弱之处，）；整体失稳破坏（主要破坏形式包括弯曲、弯扭、扭转失稳）；局部失稳（薄壁构件须防止）。2．轴压稳定理论的沿革

欧拉：理想轴心压杆，材料均匀弹性；

香莱：理想轴心压杆，材料非弹性。

3.轴压构件的稳定极限承载力的影响因素（1）构件不同方向的长细比（长度、支承状况）（2）截面的形状和尺寸（H，O，L，口，等）（3）截面的力学性能（E，f，不同范围）（4）残余应力的分布和大小（轧制，焊接……）（5）构件的初弯曲和初扭曲（在规范允许范围内）（6）荷载作用点的初偏心（节点连接的常见状况）（7）支座并非理想状态的弹性约束力（8）构件失稳的方向等等其中，4、5、6均属于初始缺陷。以上各因素都不是孤立的。4.轴心压杆整体稳定平衡方程的形式、物理意义以及整体弹性失稳的类型（1）具有初始缺陷的任意非对称开口薄壁轴心压杆弯扭失稳弹性微分方程，对任一截面取：扇性惯性矩翘曲应变引起约束扭矩（瓦格纳）自由扭转应变引起的扭矩（圣文南）增加弯曲应力的合力矩N-v效应同上，转y轴

式中：N——轴心压力；

Ix、Iy——对主轴x-x和y-y的惯性矩；Iω——扇性惯性矩；，其中为以扭转中心为极的扇性坐标；It——截面的抗扭常数；

u、v、θ——构件剪力中心轴的三个初始位移分量，即考虑初弯曲和初扭曲等初始缺陷；

x0、y0

——剪力中心坐标；

（2）当杆件双轴对称时，双轴对称截面因其剪力中心与形心重合

，为零，三式相互独立，代入可得：对于杆件的对称与否可分为：

上式说明双轴对称截面轴心压杆在弹性阶段工作时，三个微分方程是互相独立的，可以分别单独研究。在弹塑性阶段，当研究式（a）时，只要截面上的残余应力对称于y轴，同时又有u0=0和θ0=0，则该式将始终与其它两式无关，可以单独研究。这样，压杆将只发生y方向位移，整体失稳呈弯曲变形状态，成为弯曲失稳。

同样，式（b）也是弯曲失稳，只是弯曲失稳的方向不同而已。

对于式（c），如果残余应力对称于x轴和y轴分布，同时假定u0=0、v0=0，则压杆将只发生绕z轴的转动，失稳时杆件呈扭转变形状态，称为扭转失稳。由此可得欧拉临界力：绕x轴失稳绕y轴失稳扭转失稳，仅少数截面，如”十“形起控制式中：l0x

、l0y

——分别为构件弯曲失稳时绕x轴和y轴的计算长度；

l0θ——构件扭转失稳时绕z轴的计算长度；

l——构件计算长度；、、——计算长度系数，由构件的支承条件确定。对于常见的支承条件，可按表取用。

对于一般的双轴对称截面，弯曲失稳的极限承载力小于扭转失稳，不会出现扭转失稳现象，但对于某些特殊截面形式如十字形等，扭转失稳的极限承载力会低于弯曲失稳的极限承载力。（3）当杆件为单轴对称时，设对称轴为x，则y0＝0，绕x轴转动为弯曲失稳，绕y轴转动为弯扭失稳。由上式可以看出，在弹性阶段，单轴对称截面轴心受压构件的三个微分方程中有两个是相互联立的，即在y方向弯曲产生变形v时，必定伴随扭转变形，反之亦然。这种形式的失稳成为弯扭失稳。而上式中第2式仍可独立求解，因此单轴对称截面轴心压杆在对称平面内失稳时，仍为弯曲失稳。（4）不对称截面均为弯扭失稳。当压杆的截面无对称轴时，微分方程即为公式。这三个微分方程是互相联立的，因此，杆件失稳时必定是弯扭变形状态，属于弯扭失稳。5.弯曲失稳的极限承载力

1)弯曲失稳极限承载力的准则按弹性微分方程求解轴压杆的弯曲失稳极限承载力，目前常用的准则有二种。一种采用边缘纤维屈服准则，即当截面边缘纤维的应力达到屈服点时就认为轴心受压构件达到弯曲失稳极限承载力。另一种则采用稳定极限承载力理论，即当轴心受压构件的压力达到图所示极值型失稳的顶点时，才达到了弯曲失稳极限承载力。

2）临界应力σcr按边缘纤维屈服准则的计算方法

弯曲变形的微分方程为（a），即：

假定压杆为两端简支，杆轴具有正弦曲线的初弯曲，即，式中为压杆中点的最大初挠度。由上式可解得压杆中点的最大挠度为：

由边缘纤维屈服准则可得将代入上式，并解出平均应力后，即得perry公式：

给定即可由式求得关系。我国冷弯薄壁型钢结构技术规范采用了这个方法，并用下式计算，称为轴心压杆稳定系数：——相对长细比；3）临界应力σcr按稳定极限承载力理论的计算方法

轴心受压构件考虑初始缺陷后的受力属于压弯状态，用数值积分法求解微分方程，可以考虑影响轴心压杆稳定极限承载力的许多因素，如截面的形状和尺寸、材料的力学性能、残余应力的分布和大小、构件的初弯曲和初扭曲、荷载作用点的初偏心、构件的失稳方向等等，因此是比较精确的方法。我国钢结构设计规范采用了这个方法。下图是12种不同截面尺寸，不同残余应力值和分布以及不同钢材牌号的轴心受压构件用上述方法计算得到的曲线。从图中可以看出，由于截面形式以及初始缺陷等因素的影响，轴心受压构件的柱子曲线分布在一个相当宽的带状范围内。轴心受压构件的试验结果也说明了这一点。因此，用单一柱子曲线，即用一个变量（长细比）来反映显然是不够合理的。现在已有不少国家包括我国在内已经采用多条柱子曲线。

6.截面形式对稳定承载力的影响截面形式的影响：轧制截面比焊接截面缺陷少、偏心小、稳定承载力大。对称截面比非对称截面承载力大。（弯扭）非对称截面中绕非对称轴比绕对称轴（弯扭失稳）大；薄板比厚板均质性好，大。具体分类总结如下表：

焊接单轴对称截面，对y轴，轧制工形截面

d焊接单轴对称截面，对x轴，轧制工形截面焊接单轴对称截面，对y轴（弯扭）板宽厚比的焊接矩形截面c轧制工字型截面，对x轴其余（除本列a、c）b轧制，对x轴，轧制，对任意轴a

板厚

板厚

类别7.杆端约束的影响

轴压杆计算长度其中为计算长度系数，为实际杆长。支撑类别支撑条件值弯曲失稳弯扭失稳1两端简支两端不能转动但能翘曲1.02两端固定两端既不能转动也不能翘曲0.53一端简支，一端固定一端不能转动但能翘曲一端转动和翘曲都不能0.74一端固定，一端自由一端转动和翘曲都不能一端可自由转动和翘曲2.05两端嵌固，但能自由移动两端能自由转动但不能翘曲1.08.轴心压杆整体稳定临界力的计算方法（1）公式（2）的计算方法（实际按查表求）（3）的计算①对薄壁型钢结构，查《冷弯薄壁型钢结构技术规范》，公式考虑了初始变形，并按边缘纤维屈服准则取临界力；②对普通钢结构，查《钢结构设计规范》，考虑1/1000初弯曲，计算200条柱子曲线，通过统计方法归纳为a、b、c、d四组。属于极限承载力方法。③单角钢单面连接的轴压杆，考虑折减系数，不考虑弯扭效应。注意：有时要自己分析。8.轴压实腹杆的局部稳定由于钢材的轻质高强，钢构件的承载力往往由整体稳定承载力控制着。为合理有效使用钢材，钢结构构件截面一般设计的比较开展，板件宽而薄对整体稳定是有利的，但这又带来了局部稳定问题。除方、圆形等实体截面外一般构件都可看成由薄板按一定构成规律组成的，构件的局部稳定问题就是保证这些板件在构件整体失稳前不发生局部失稳或者在设计中合理利用板件的屈曲后性能。实腹式轴心受压构件一般由若干矩形平面板件组成，在轴心压力作用下，这些板件都承受均匀压力。如果这些板件的平面尺寸很大，而厚度又相对很薄（宽厚比较大）时，在均匀压力作用下，板件有可能在达到强度承载力之前先失去局部稳定。8.轴压实腹杆的局部稳定为了保证实腹式轴心受压构件的局部稳定，通常采用限制其板件宽(高)厚比的办法来实现。确定板件宽(高)厚比限值所采用的原则有两种：一种是使构件应力达到屈服前其板件不发生局部屈曲，即局部屈曲临界应力不低于屈服应力；另一种是使构件整体屈曲前其板件不发生局部屈曲，即局部屈曲临界应力不低于整体屈曲临界应力，常称作等稳定性准则。后一准则与构件长细比发生关系，对中等或较长构件似乎更合理，前一准则对短柱比较适合。规范GB50017在规定轴心受压构件宽（高）厚比限值时，主要采用后一准则，在长细比很小时参照前一准则予以调整。焊接截面一般都存在比较大的残余应力。例如，焊接工字形截面的翼缘，在与腹板交界处会有很大甚至达到材料屈服点的焊接拉应力。这个焊接应力随着离腹板距离的增加而迅速减小，并会出现残余应力区。残余应力的存在必定会影响板件的局部稳定。可是目前的研究都忽略残余应力的影响，即将板件的应力假设为均匀分布的，其好处是使问题得到简化。8.轴压实腹杆的局部稳定1）四边简支两端均匀受压矩形薄板的屈曲平衡微分方程：

式中

板的单位宽度的抗弯刚度可解得：当n=1时，最小，物理意义：按一个半波弯曲时最小。

注：n为沿y向屈曲的半波数；m为沿x向屈曲的半波数。注：四边简支：

若其他边界条件，k有不同值三边简支，与压力平行的一边自由的矩形板：k=0.425（长板）三边简支，与压力平行的有卷边的矩形板：k=1.35临界应力：（弹性状态）若为弹塑性状态：2）按不允许局部失稳确定宽厚比：注：若被较小应力取代，则亦可增大。实际截面由多块板件组成，在计算截面板件的临界应力时，要考虑板组间的约束因素。可用两种方式：整个截面一起考虑；板件先单独取出分析，板组间的互相作用用约束系数考虑。箱形梁板工字形腹板翼缘（一端连接板）允许宽厚比验算部位λ为构件两方向长细比的较大值。规范规定：当λ≤30时，取λ＝30；当λ≥100时，取λ＝100。3)轴心受力圆管截面压杆的局部稳定

轴心受压的圆管也有管壁局部屈曲问题。在弹性范围内，管壁局部屈曲应力的理论值为：式中的t/D是圆形管壁厚和外部直径的比值。值得注意的是圆管的局部稳定性质与板件的局部稳定性质刚好相反，它受初始变形等的影响特别明显，而且没有超屈曲强度可以利用，因此实际的局部稳定临界应力比局部屈曲应力的理论值低得多。我国钢结构设计规范规定圆管的D/t值应满足下式要求

9.轴心受压格构式构件整体稳定及局部稳定格构式受压构件也称为格构式柱，其分肢通常采用槽钢和工字钢，构件截面具有对称轴。当构件轴心受压丧失整体稳定时，不大可能发生扭转屈曲和弯扭屈曲，往往发生绕截面主轴的弯曲屈曲。因此计算格构式轴心受压构件的整体稳定时，只需计算绕截面实轴和虚轴抵抗弯曲屈曲的能力。格构式轴心受压构件绕实轴的弯曲屈曲情况与实腹式轴心受压构件没有区别，因此其整体稳定计算也相同，可以采用实腹式轴心受压构件按b类截面进行计算。1)双肢格构式轴心受压构件整体稳定实腹式轴心受压构件在弯曲屈曲时，剪切变形影响很小，对构件临界力的降低不到1%，可以忽略不计。格构式轴心受压构件绕虚轴弯曲屈曲时，由于两个分肢不是实体相连，连接两分肢的缀件的抗剪刚度比实腹式构件的腹板弱，构件在微弯平衡状态下，除弯曲变形外，还需要考虑剪切变形的影响，因此稳定承载力有所降低。根据弹性稳定理论分析，当构件采用缀条时，两端铰接等截面格构式构件绕虚轴弯曲屈曲的临界应力为：

式中－整个构件对虚轴的长细比；

A－整个构件的毛截面面积；

－一个节间内两侧斜条毛截面面积之和；

θ－缀条与构件轴线间的夹角。式（2）与实腹式轴心受压构件欧拉界应力计算公式的形式完全相同。由此可见，如果用，则可采用与实腹式轴心受压构件相同的公式计算格构式构件绕虚轴的稳定性，因此，称为换算长细比。一般斜缀条与构件轴线间的夹角θ在40°～70°范围内，在此常用范围，25.6～32.7，其值变化不大。为了简便，规范按θ＝45°计算，即取上式为常数27。由此换算长细比公式（3）简化为:(4)需要注意的是，当斜缀条与柱轴线间的夹角θ不在40°～70°范围内时，值将比27大很多，式（4）是偏于不安全的，应按式（3）计算换算长细比。此外，是按弹性屈曲推导的，但一般推广用于全部范围。当缀件为缀板时，用同样的原理可得格构式轴心受压构件的换算长细比为：

（5）式中：－缀板与分肢线刚度比值；－相邻两缀板间的净距；、－每个分肢绕其平行于虚轴方向形心轴的惯性矩和回转半径；－构件截面中垂直于虚轴的各缀板的惯性矩之和；c－两分肢的轴线间距。通常情况下，k值较大（两分肢不相等时，k按较大分肢计算）。当k=6～20时，=1.097～0.905，即在k≥6的常用范围，接近1。为简化起见，规范规定换算长细比按以下简化式计算：

（6）式中:为分肢对最小刚度轴的长细比。缀板式构件分肢在缀板连接范围内刚度较大而变形很小，因此当缀板与分肢焊接时，计算长度为相邻两缀板间的净距；当缀板与分肢螺栓连接时，计算长度为最近边缘螺栓间的距离。当k=2～6时，=1.645～1.097,按式(6)计算，误差较大。因此，当k≤６时宜用式(5)计算.其他格构式构件的换算长细比见附表。2)格构式轴心受压构件的局部稳定格构式轴心受压构件的局部稳定应包括：单肢截面板件的局部稳定、受压构件单肢自身的稳定和缀材的稳定。格构式轴心受压构件的分肢既是组成整体截面的一部分，在缀件节点之间又是一个单独的实腹式受压构件。所以，对格构式构件除需作为整体计算其强度、刚度和稳定外，还应计算各分肢的强度、刚度和稳定，且应保证各分肢失稳不先于格构式构件整体失稳。分肢稳定和强度的计算方法:分肢内力的确定式中为中点总挠度；在构件跨中处，两个分肢所受轴力分别为：式中C为两分肢轴线间距。

3）单肢自身稳定的验算

a.缀条式构件可将分肢视为桁架的受压弦杆承受轴心力，用验算其在桁架平面内（对1-1轴）的整体稳定。其中稳定系数查表，a取分肢在缀条间的节间长度，、分别为分肢绕1-1轴的回转半径和长细比，为分肢的截面面积。为了保证单肢的稳定性不低于受压构件的整体稳定性，应使不大于整个构件的最大长细比的0.7倍。b.缀板式构件一般应验算跨中处和两端处分肢受力情况下的稳定和强度。跨中处分肢处承受轴心压力同缀条式构件用验算其在刚架平面内（对1-1轴）的整体稳定。计算长度取相邻缀板间净距（缀板与分肢焊接时）。同时要求

4）格构式轴心受压构件分肢的局部稳定

格构式轴心受压构件的分肢承受压力，应进行板件的局部稳定计算。分肢常采用轧制型钢，其翼缘和腹板一般都能满足局部稳定要求。当分肢采用焊接组合截面时，其翼缘和腹板宽厚比应按实腹构件进行验算，以满足局部稳定要求。5）格构式轴心受压构件缀材的稳定格构式轴心受压构件绕虚轴弯曲时将产生剪力V=dM/dz，其中M=Nv。考虑初始缺陷的影响，经理论分析，规范采用以下实用公式计算格构式轴心受压构件中可能发生的最大剪力设计值V，即

剪力沿构件全长不变，方向可正负，由承受该剪力的各缀材面共同承担，因此双肢格构式构件有两个缀材面，V1=V/2。a.缀条的稳定当缀件采用缀条时，格构式构件的每个缀件面如同缀条与构件分肢组成的平行弦桁架体系，缀条可看作桁架的腹杆，其内力可按铰接桁架进行分析。式中－－每面缀条所受的剪力；－－缀条的倾角；n——斜缀条数，单缀条n=