平行四边形典型例题

...平行四边形典型例题1.已知如图12-1-19,所示UABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE上AD于E,OFXBC于F.AE»12-i-19求证：四边形AECF是平行四边形错证：在^AOE和^COF中••OEXAD,OFXBC../AEO=/CFO=90°•・四边形ABCD为平行四边形.OA=OC,AD//BC.1•/EAC=/ACFAOE^ACOF(AAS) ，OF=OE••・四边形AECF是平行四边形错误分析：上面证明由OF=OE,OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明 E、0、F三点共线，因此先证E、0、F三点共线.正确证明：在^AOE和^COF中••OEXADOFXBC../AEO=/CFO=90°•・四边形ABCD为平行四边形.OA=OC,AD//BC.1•/EAC=/ACF.△A0EQC0F(AAS) ，OF=OE又「AD//BC,OEXAD,OFXBC•・E、O、F三点共线•・四边形AECF^平行四边形2.如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有 45。角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形.隅12-!-22分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明 F,E,D共线.解：取AC、BC的中点E、D连结ED,则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单.证明：在Rt△ABC中•••AC=BC，/B=45°又•••E、D分别为AC、BC的中点EC=DC /CED=/CDE=45°/AEF=/CED=45° ../AEF+/AED=/CED+/AED=180°・•・F、E、D在一条直线上 •./EAF=ZC=90°..AF//CD又••,AF=CD=DB，四边形AFDB是平行四边形，且/B=45°3.如图12-1-23,在DABCD的对角线上取两点E、F,且BF=DE,请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便.国12-1口分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分.证明方法（一）在4ABF和4CDE中，AB=CD,BF=DE,ZABF=ZCDE.△ABFCDEAF=CE同理可证AE=CF,故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O在DABCD中，OA=OC,OB=OD•.BF=DE OE=OF二.四边形AECF为平行四边形.如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行.解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行， 因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行.如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形..已知如图12-1-4所示，OABCD中，AB的延长线上取一点E,使BE=AB,在CE上取一点M使CM=CD,连结DM并延长交AE的延长线于点F求证：BD=BF0912-1-4分析：由于BD,BF是^BDF的两边，所以要证BD=BF,可由证△BDF中/BDF=/F入手，易知/F=/CDM=/CMD=/EMF,故只要证BD//CE,由此由证法一又注意到BF=BE+EF,易知BE=AB=CD=CM,EF=EM,故BF=CE,从而只要证BD=CE,由此有证法二.证法（一）：二.四边形ABCD为平行四边形，AB=n=CD又E点在AB延长线上，且BE=AB AbTTcD•・四边形BECD是平行四形BD//CE/BDF=/EMF••/EMF=/CMD/BDF=/CMD又「CM=CD.CMD=ZCDM../BDF=ZCDM.AF//CD，/CDM=/F，BDF=/F即BD=BF证法（二）：二.四边形ABCD为平行四边形 ABTTCD又••・E点在AB延长线上且BE=AB BeITCD•・四边形BECD是平行四边形 BD=CE,BE=CD；....又・./又・./EMF=/CMDCD=CM CMD=/CDM，/EMF=/CDM-BE//CD，/F=/EMF..EF=EM，BF=BE+EF=CD+EM=CM+EM=CE=BD即BF=BD习题精选、填空题.过UABCD勺顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F,则四边形AECF是..延长△ABC勺中线AD到E,使DE=AD则四边形ABECM四边形..在四边形ABCm/A=500欲使四边形为平行四边形，则/B=,/C=,/D..在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是四边形..如图12-1-29,在UABCD^,E、F为ABCD的中点，连结DEEF、BF则图中共有 个平行四边形..在UABC时连结BD作AE，BRCF±BR垂足分别为E、F,连结CE>AF,点P、Q在线段BD上，且BP=DQ连结ARCRAQCQMN^b另1J交ABCDTMN连结AMCMNANC那么图中平行四边形（除UABCD/卜）有个，它们TOC\o"1-5"\h\z是 .二、判断题.平行四边形的对边分别相等（ ）.平行四边形的对角线相等（ ）.平行四边形的邻角互补（

.平行四边形的对角相等（.平行四边形的对角线互相平分一组对角（.对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（ ）三、选择题.能判断四边形是平行四边形的条件是（ ）一组对边平行，另一组对边相等一组对边平行，一组对角相等一组对边平行，一组邻角互补一组对边相等，一组邻角相等.能确定平行四边形的大小和形状的条件是（ ）A,已知平行四边形的两邻边B.已知平行四边形的两邻角C.已知平形四边形的两对角线D.已知平行四边形的两边及夹角.平行四边形一边为32,则它的两条对角线长不可能为（A.20和1840和50C.60和3032和50.如图12-1-30所示，已知UABCD勺对角线白交点是O,直直线GHMO且平行AB,则图中有（ ）个平行四边形.A.5个B.6个C.7个D.10个.能判定四边形为平行四边形的是（ ）A.一组对角相等）B.）B.D.EF过O点且平行于BGB.两条对角线互相C.两条对角线互相平分 D.一对邻角互补.以下结论正确的是（ ）A.对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形.一边长为5,两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形.一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形.D.对角线相等的四边形是平行四边形.TOC\o"1-5"\h\z7.在口ABCm，点E、F分别在边BCAD上，如果点E,F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AEC杯一定是平行四边形的是（ ）AE、CF分另I」平分/DAB/BCDAE,CF使/BEA=/CFDE、F分别是BGAD的中点3 2D,BE=BGAF=ADUABCD寸角线交点为O,△OBC勺周长为59cmi且AD=28cmi两对角线之差为14cm,则对角线长为（ ）A.12cm和9cm B.24cm和38cmC.8.5cm和22.5cm D.15.5cm和29.5cm四、解答题.如图12-1-31所示，在UABCm，AE平分/BADCF平分/BCD四边形AECF1平行四边形吗？[¥]12-1-31.如图12-1-32所示，四边形ABCm/B=/D,/1=/2,则四边形ABC此平行四边形吗？为什么？...,,.图1£■】72.如图12-1-33所示，四边形ABCD勺对角线AGBD相交于点QE、F分别是ODOB上一点，若/EC氏/FABEOAF,则四边形AEC笈平行四边形吗？为什么？.如图12-1-34所示，四边形ABCD^AB=CD/DBC=90°,FD±ADTD,求证四边形ABC北平行四边形.0S12-l-H0S12-l-H.如图12-1-35所示，△ABC中DE在BC边上，N、M在ABAC上，且EN与DM互相平分，MD/AB,NE//AC求证：BD=DE=CE图13-1-33五、证明题.已知：如图12-1-18,在UABCD^,E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：(1)AE=CF2)AE//CF阳12阳122.已知：如图12-1-19,四边形ABC时平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点,且DE=BF,求证AE=CF一、填空题.平行四边形 点拨：由一组对边平行且相等，即可判断.平行四边形.130°,50°,130°.平行四边形 点拨：由题意可得两组对边分别平行.4个点拨：UABCDUADFEUEFCBUEDFB.3个UAECFDAPCQDAMCN二、判断题1.V2.X点拨：对角线不一定相等，但互相平分3.V 4,V5.X点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 6.V三、选择题.B2.D3.A4.D5.C6.C7.B8.B四、解答题.解：四边形AECF1平行四边形点拨：由口ABC山口/BC氏/BAD又AE平分/BADCF平分/BCD故（EA已/ECF又/AF//EG故/AEC它EA已180°,即/AEC吆EC已180°,所以AE//CF,故四边形AECF是平行四边形..解：四边形ABC比平行四边形由/1=/2得DC//AB,所以/D+/DA氏180°,又/B=/D,所以/DAB它B=180°,所以AD//BC,即四边形ABC师平行四边形..解：是平行四边形,,点拨：AB//CD故/ACD=/CAB又/EC氏/FA0故/ACD上EC氏/CAB上FAB即/ACE=/CAF所以CE=AFCE=AF,故AFCEt平行四边形.4,证明：vBD±ADaZBDA=90・./DBC=90°,DC=AB,DB=DB..△AD皆ACBD..AD=BC一•四边形ABCD1平行四边形5,证明：:NE,MD互相平分「•四边形MND的平行四边形；mNdE又「MD/AB,NE//AC..四边形MNBDMNEC；平行四边形vMN=BRMN=CE..BD=DECE五、证明题1.证明：•••四边形ABC师平行四边形aBJ=DC.•./ABE=/CDF在△ABE和△CDWAB=D