2021-2022学年河北省石家庄市新乐第三中学高三数学文期末试卷含解析

2021-2022学年河北省石家庄市新乐第三中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.若，则的元素个数为A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C3.已知函数，则=、

、

、

、参考答案：B4.复数的模长为（）A． B． C． D．2参考答案：B【考点】复数求模．【专题】计算题．【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．【解答】解：复数，所以===．故选B．【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．5.设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知等比数列{an}的首项a1=2015，公比为q=，记bn=a1a2a3…an，则bn达到最大值时，n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：B【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知，bn达到最大值时，，由此能求出bn达到最大值时，n的值．【解答】解：∵等比数列{an}的首项a1=2015，公比为q=，∴，∵bn=a1a2a3…an，∴bn达到最大值时，，∵=＞1，＜1，∴bn达到最大值时，n的值为11．故选：B．【点评】本题考查满足的等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．7.已知，且则的最小值为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：因为，且所以，当且仅当时，的最小值为，故选．考点：基本不等式．8.（多选题）设抛物线的焦点为F，准线为，A为C上一点，以F为圆心，为半径的圆交l于B、D两点，若，且的面积为，则(

)A. B.是等边三角形C.点F到准线的距离为3 D.抛物C的方程为参考答案：BCD【分析】根据题意，结合圆的性质和抛物线定义，可判断，即是等边三角形，再根据正三角形面积公式，可求，再根据焦点到准线的距离为可求解抛物线方程.【详解】由题意，以为圆心，为半径的圆交于两点，且由抛物线定义，可得，所以是等边三角形，所以，，又焦点到准线的距离为，则抛物线方程为则有BCD正确，A错误.故选：BCD【点睛】本题考查抛物线定义与抛物线方程的求法，属于中等题型.9.已知条件p：x＞1，q：，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：由x＞1，推出＜1，p是q的充分条件，由＜1，得＜0，解得：x＜0或x＞1．不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式的解法，是一道基础题．10.（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+1D．y=2﹣|x|参考答案：B【考点】：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】：常规题型．【分析】：首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．解：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选：B．【点评】：本题考查基本函数的奇偶性及单调性．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数的图象过点，且图象上与点P最近的一个最高点是，把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的单调递增区间是________；参考答案：【分析】先利用给出的特殊点求出图像，再根据函数伸缩变换规律求出，进而求出的单调递增区间.【详解】因为函数的图像过，又因为图象上与点最近的一个最高点是，所以并且的横坐标差个周期，所以，故，将代入得，又因为，故，故.现将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的=2倍得到函数的图象，那么，故它的单调递增区间是【点睛】此题灵活的考查了正弦曲线各种性质和函数图像的伸缩变换，是一道好的三角函数综合题.12.从1，2，3，4，5五个数字中任取三个数字，则这三个数字能组成等差数列的概率为

。参考答案：0.413.（6分）关于曲线C：x4﹣y3=1，给出下列四个结论：①曲线C是双曲线；

②关于y轴对称；③关于坐标原点中心对称；

④与x轴所围成封闭图形面积小于2．则其中正确结论的序号是．（注：把你认为正确结论的序号都填上）参考答案：②考点： 曲线与方程．分析： 根据题意，依次分析4个命题：对于①：将曲线C的方程与双曲线的标准方程比较，可得①错误；对于②：分析关于y轴对称的两个点（x，y）点（﹣x，y），是否都在曲线上，即可得②正确；对于③：分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，即可得③错误，对于④：将曲线方程变形为y=，分析其与x轴所围成的面积，即可得答案．解答： 解：根据题意，依次分析4个命题：对于①：曲线C：x4﹣y3=1，不符合双曲线的标准方程，故不是双曲线；①错误；对于②：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于y轴对称的点（﹣x，y），也有（﹣x）4﹣y3=1成立，则点（﹣x，y）也在曲线上，故曲线关于y轴对称，②正确；对于③：若点（x，y）在曲线上，则有x4﹣y3=1，那么对于与点（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y），（﹣x）4﹣（﹣y）3=1不成立，则点（﹣x，﹣y）不在曲线上，故曲线不关于原点对称，③错误；对于④：曲线C：x4﹣y3=1，变形可得y=，分析可得其是开放性曲线，与x轴所围成的面积无最大值，故④错误；故答案为②．点评： 本题考查曲线与方程，解题的关键是根据曲线的方程，分析曲线的几何形状与具有的几何性质．14.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第个等式为

。参考答案：15.如图所示，O点在△ABC内部，D、E分别是AC，BC边的中点，且有＝，则△AEC的面积与△AOC的面积的比为

参考答案：16.定义min{a，b}=，已知实数x，y满足|x|≤2，|y|≤2，设z=min{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围为．参考答案：[﹣6，3]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合x+y与2x﹣y的大小关系分别标出不同区域，再求出x+y的最大值与2x﹣y的最小值得答案．【解答】解：由|x|≤2，|y|≤2作出可行域如图，由图可知，最大时过点（2，1），此时x+y=3；最小时过点（﹣2，2）此时2x﹣y=﹣6．∴z=min{x+y，2x﹣y}，的取值范围为[﹣6，3]．故答案为：[﹣6，3]．17.已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则?的最小值为

．参考答案：﹣

【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设A（a，b），B（c，d），由已知向量可得C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），求得=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），代入?，展开后利用配方法求得?的最小值．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），∵=（1，2），=（﹣2，2），∴C（a+1，b+2），D（c﹣2，d+2），则=（c﹣a，d﹣b），=（c﹣a﹣3，d﹣b），∴?=（c﹣a）（c﹣a﹣3）+（b﹣d）2=（c﹣a）2﹣3（c﹣a）+（b﹣d）2=．∴?的最小值为﹣．故答案为：﹣三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=sinx(cosx－sinx)．（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）先进行化简，利用代入法进行求解即可．（Ⅱ）求出角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，=…==…由此可知，．…（Ⅱ）由可知，，进而，…当时，，…所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为．…19.（8分）某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？参考答案：解：（1）∵

30000÷5000＝6,

∴

能租出24间.

…………3分（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则（30－）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，

………6分2x2－11x＋5＝0，

∴x＝5或0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.……8分略20.某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X（单位：小时）光照控制仪运行台数321

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据：，.参考答案：（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）2台.【分析】(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.【详解】（1）由已知数据可得，.∵，，.∴相关系数.∵，∴可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），，故的分布列为200060000.20.8

∴（元）.③安装3台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，3台光照控制仪都运行，周总利润（元），，故的分布列为1000500090000.20.70.1

∴（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.21.已知函数．(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性．参考答案：解：（1）时，，，，，所以所求切线方程为，即.（2），令得或.当时，，所以在单调递减，在单调递增；当时，，所以在和单调递增，在单调递减；当时，，所以在单调递增；当时，，所以在和单调递增，在单调递减；当时，，所以在单调递减，在单调递增。综上，当时，在单调递减，在单调递增；当时，在和单调递增，在单调递减；当时，在单调递增